Equazione di Blasio

In fisica , e più particolarmente in meccanica dei fluidi , l'equazione di Blasius descrive il flusso stazionario e incomprimibile in 2 dimensioni nello strato limite che si forma su una piastra piana semi-infinita parallela al flusso. Più precisamente, il campo di velocità tangenziale adimensionale è la soluzione di questa equazione:

f″(θ)+12f′(θ)∫0θf(t)dt=0{\ Displaystyle f '' (\ theta) + {1 \ over 2} f '(\ theta) \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t = 0 }

Equazione del moto dello strato limite (teoria di Prandtl )

Generale

Analizziamo il flusso bidimensionale stazionario nel piano in prossimità di una piastra piana posta all'interno , per un potenziale flusso esterno che supponiamo parallelo alla parete. (XOy){\ displaystyle (xOy)}y=0{\ displaystyle y = 0}U(X){\ displaystyle U (x)}

La dimensione caratteristica nella direzione parallela al flusso è una lunghezza arbitraria che si assume essere molto grande rispetto alla dimensione caratteristica perpendicolare al flusso (spessore dello strato limite): L{\ displaystyle L}δ{\ displaystyle \ delta}

δ≪L{\ displaystyle \ delta \ ll L}

Il seguente ragionamento si basa sull'esistenza di queste 2 scale.

Confronto dei termini

Consideriamo che un fluido di densità e viscosità dinamica ( viscosità cinematica ) scorre lungo la nostra piastra piana. Partiamo dall'equazione di Navier-Stokes in regime stazionario con la condizione di incomprimibilità: ρ{\ displaystyle \ rho} η{\ displaystyle \ eta} ν{\ displaystyle \ nu}

ρ(v→.∇→)v→=-∇→p+ηΔv→{\ displaystyle \ rho ({\ vec {v}}. {\ overrightarrow {\ nabla}}) {\ vec {v}} = - {\ overrightarrow {\ nabla}} p + \ eta \ Delta {\ vec { v}}}

∇→.v→=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}}. {\ vec {v}} = 0}

Con il vettore v→=(uv){\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ begin {pmatrix} u \\ v \ end {pmatrix}}}

Scriviamo questo sistema nella sua forma proiettata:

∂u∂X+∂v∂y=0{\ Displaystyle {\ partial u \ over \ partial x} + {\ partial v \ over \ partial y} = 0}

u∂u∂X+v∂u∂y=-1ρ∂p∂X+ν(∂2u∂X2+∂2u∂y2){\ Displaystyle u {\ partial u \ over \ partial x} + v {\ partial u \ over \ partial y} = - {1 \ over \ rho} {\ partial p \ over \ partial x} + {\ nu} \ left ({\ partial ^ {2} u \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} u \ over \ partial y ^ {2}} \ right)}

u∂v∂X+v∂v∂y=-1ρ∂p∂y+ν(∂2v∂X2+∂2v∂y2){\ Displaystyle u {\ partial v \ over \ partial x} + v {\ partial v \ over \ partial y} = - {1 \ over \ rho} {\ partial p \ over \ partial y} + {\ nu} \ left ({\ partial ^ {2} v \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} v \ over \ partial y ^ {2}} \ right)}

Con uno studio degli ordini di grandezza, possiamo dimostrare che le equazioni da risolvere possono essere semplificate (trascurando alcuni termini di fronte ad altri). Spieghiamo questo nuovo sistema:

∂u∂X+∂v∂y=0{\ Displaystyle {\ partial u \ over \ partial x} + {\ partial v \ over \ partial y} = 0}

u∂u∂X+v∂u∂y=ν∂2u∂y2{\ Displaystyle u {\ partial u \ over \ partial x} + v {\ partial u \ over \ partial y} = \ nu {\ partial ^ {2} u \ over \ partial y ^ {2}}}

Dimostrazione

La definizione stessa dello strato limite è che rappresenta la regione del flusso in cui gli effetti viscosi sono importanti quanto gli effetti inerziali. Quindi confronteremo separatamente i termini diffusivi e i termini convettivi. Cominciamo usando l'equazione di continuità:

∂u∂X≈uLet∂v∂y≈vδ⇒vδ≈uL{\ displaystyle {{\ dfrac {\ partial u} {\ partial x}} \ approx {\ dfrac {u} {L}}} \ quad e \ quad {{\ dfrac {\ partial v} {\ partial y} } \ approx {\ dfrac {v} {\ delta}}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {v} {\ delta}} \ approx {\ frac {u} {L}}}

Continuiamo con i termini di diffusione, si nota che si può così facilmente trascurare il fenomeno in senso longitudinale:

∂2∂X2≈1L2≪1δ2≈∂2∂y2{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ approx {\ frac {1} {L ^ {2}}} \ ll {\ frac {1} {\ delta ^ {2}}} \ approx {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}}}

Per quanto riguarda invece la convezione, i termini sono comparabili:

u∂u∂X≈uuL≈uvδ≈v∂u∂yev∂v∂y≈vvδ≈vuL≈u∂v∂X{\ Displaystyle u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ approx u {\ frac {u} {L}} \ approx u {\ frac {v} {\ delta}} \ approx v {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} \ quad {\ text {et}} \ quad v {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} \ approx v {\ frac {v} {\ delta }} \ approx v {\ frac {u} {L}} \ approx u {\ frac {\ partial v} {\ partial x}}}

Infine, poiché la convezione e la diffusione sono dello stesso ordine di grandezza, deduciamo:

u∂u∂X≈ν∂2u∂y2⇒U2L≈νUδ2{\ Displaystyle u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ approx \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {U ^ {2}} {L}} \ approx {\ frac {\ nu U} {\ delta ^ {2}}}}

Sia che coinvolge il numero di Reynolds nel complesso abbiamo la relazione: . Possiamo aggiungere che con l'equazione di continuità abbiamo la relazione tra gli ordini di grandezza delle velocità tangenziali e normali:ReL=ULν{\ displaystyle \ mathrm {Re} _ {L} = {\ frac {UL} {\ nu}}}δL=1ReL{\ displaystyle {\ frac {\ delta} {L}} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ mathrm {Re} _ {L}}}}}vu=1ReL{\ displaystyle {\ frac {v} {u}} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ mathrm {Re} _ {L}}}}}

Con lo studio degli ordini di grandezza non si può considerare solo l'equazione per la velocità tangenziale (senza diffusione tangenziale). In effetti, i termini sono tutti molto deboli riducendo la seconda proiezione a . Ciò significa che la pressione è costante nello spessore dello strato limite (con ascisse fissa) e può quindi essere determinata tramite l' equazione di Bernoulli al di fuori dello strato limite. Va notato che nel caso dello strato limite di Blasius, si presume che il flusso esterno sia uniforme in velocità . Quindi mostriamo che il gradiente di pressione è zero: u{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}∂p∂y=0{\ displaystyle {\ partial p \ over \ partial y} = 0}U{\ displaystyle U}

p(X)+12ρU2=VSte⇒-dpdX=ddX(12ρU2)=0{\ displaystyle p (x) + {1 \ over 2} \ rho U ^ {2} = \ mathrm {Cte} \ quad \ Rightarrow \ quad - {\ frac {dp} {dx}} = {\ frac {d } {dx}} {\ Bigl (} {1 \ over 2} \ rho U ^ {2} {\ Bigl)} = 0}

Equazioni dimensionali

Si tratta ora di ridimensionare queste equazioni. Per questo, ridurremo le variabili con giudizio.

Per maggiori dettagli sulle scelte di riduzione, si ispirano allo studio degli ordini di grandezza. Ad esempio, quando lo si confronta con è necessario confrontare con . Lo stesso vale per le variabili spaziali. Le nuove variabili sono quindi: u{\ displaystyle u}U{\ displaystyle U}v{\ displaystyle v}UReL{\ displaystyle {\ dfrac {U} {\ sqrt {\ mathrm {Re} _ {L}}}}}

u′=uUv′=vReLU{\ displaystyle u '= {u \ over U} \ qquad v' = {\ frac {v {\ sqrt {\ mathrm {Re} _ {L}}}} {U}}}

X′=XLy′=yReLL{\ displaystyle x '= {x \ over L} \ qquad y' = {\ frac {y {\ sqrt {\ mathrm {Re} _ {L}}}} {L}}}

Con queste nuove variabili, il sistema diventa semplicemente:

∂u′∂X′+∂v′∂y′=0{\ Displaystyle {\ partial u '\ over \ partial x'} + {\ partial v '\ over \ partial y'} = 0}

u′∂u′∂X′+v′∂u′∂y′=ν∂2u′∂y′2{\ Displaystyle u '{\ partial u' \ over \ partial x '} + v' {\ partial u '\ over \ partial y'} = \ nu {\ partial ^ {2} u '\ over \ partial {y '} ^ {2}}}

Ottenere l'equazione di Blasius

Nuova variabile

Chiaramente stiamo cercando il campo di velocità tangenziale della forma . Tuttavia, rimane un'imprecisione: la lunghezza caratteristica . In effetti, essendo questo arbitrario, è essenziale che la soluzione non dipenda da esso. In questo approccio, sembrerebbe che la soluzione dipenda solo da una singola variabile, che si combina e quindi è indipendente da questa lunghezza . Chiediamo solo: u′=f(X′,y′){\ Displaystyle u '= f (x', y ')}L{\ displaystyle L}X′{\ displaystyle x '}y′{\ displaystyle y '}L{\ displaystyle L}

θ=y′X′=yXUν{\ displaystyle \ theta = {\ frac {y '} {\ sqrt {x'}}} = {\ frac {y} {\ sqrt {x}}} {\ sqrt {\ dfrac {U} {\ nu} }}}

Questa variabile è indipendente dalla lunghezza . L{\ displaystyle L}

Dimostrazione

θ=y′X′=yReLLXL=yXReLL=yXUν{\ displaystyle \ theta = {\ dfrac {y '} {\ sqrt {x'}}} = {\ dfrac {\ dfrac {y {\ sqrt {\ mathrm {Re} _ {L}}}} {L} } {\ sqrt {\ dfrac {x} {L}}}} = {\ frac {y} {\ sqrt {x}}} {\ sqrt {\ dfrac {\ mathrm {Re} _ {L}} {L }}} = {\ frac {y} {\ sqrt {x}}} {\ sqrt {\ dfrac {U} {\ nu}}}}

Si deduce che la soluzione ricercata è della forma:

uU=f(θ)èu=Uf(θ){\ displaystyle {\ frac {u} {U}} = f (\ theta) \ quad {\ text {sia}} \ quad u = Uf (\ theta)}

Equazione di Blasio

Con questa nuova variabile, è sufficiente esprimere ogni termine dell'equazione del moto per arrivare all'equazione di Blasius:

f″(θ)+12f′(θ)∫0θf(t)dt=0{\ Displaystyle f '' (\ theta) + {1 \ over 2} f '(\ theta) \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t = 0 } Dimostrazione

Innanzitutto, va notato che la variabile . Quindi avremo bisogno delle derivate parziali di seguito: θ=θ(X′,y′){\ displaystyle \ theta = \ theta (x ', y')}

∂θ∂X′=-12X′θe∂θ∂y′=1y′θ=1X′{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial x '}} = - {\ frac {1} {2x'}} \ theta \ quad {\ text {e}} \ quad {\ frac {\ parziale \ theta} {\ parziale y '}} = {\ frac {1} {y'}} \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {x '}}}}

Si tratta ora di esprimere ciascuno dei termini dell'equazione del moto. Partiamo dal termine diffusione:

∂2u′∂2y′=∂2u′∂2θ(∂θ∂y′)2=1X′f″(θ){\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u '} {\ partial ^ {2} y'}} = {\ frac {\ partial ^ {2} u '} {\ partial ^ {2} \ theta }} \ left ({\ frac {\ partial \ theta} {\ partial y '}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {x'}} f '' (\ theta)}

Il primo termine convettivo è facile da esprimere:

u′=f(θ)⇒u′∂u′∂X′=u′∂u′∂θ∂θ∂X′=-12X′θf(θ)f′(θ){\ Displaystyle u '= f (\ theta) \ quad \ Rightarrow \ quad u' {\ frac {\ partial u '} {\ partial x'}} = u '{\ frac {\ partial u'} {\ partial \ theta}} {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial x '}} = - {\ frac {1} {2x'}} \ theta f (\ theta) f '(\ theta)}

A differenza del secondo che richiede di passare attraverso l'equazione di continuità:

∂u′∂X′+∂v′∂y′=0⇒∂v′∂θ∂θ∂y′=-∂u′∂θ∂θ∂X′⇒∂v′∂θ=-f′(θ)∂θ∂X′∂θ∂y′=12X′θf′(θ){\ Displaystyle {\ partial u '\ over \ partial x'} + {\ partial v '\ over \ partial y'} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ partial v '} {\ partial \ theta }} {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial y '}} = - {\ frac {\ partial u'} {\ partial \ theta}} {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial x ' }} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ partial v '} {\ partial \ theta}} = - f' (\ theta) {\ dfrac {\ dfrac {\ partial \ theta} {\ partial x '} } {\ dfrac {\ partial \ theta} {\ partial y '}}} = {1 \ over 2 {\ sqrt {x'}}} \ theta f '(\ theta)}

Per trovare la velocità, integriamo questa equazione secondo a fisso: v′{\ displaystyle v '}θ{\ displaystyle \ theta}X{\ displaystyle x}

∫0θ∂v′∂tdt=12X′∫0θtf′(t)dt{\ Displaystyle \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} {\ frac {\ partial v '} {\ partial t}} \, \ mathrm {d} t = {1 \ over 2 {\ sqrt {x '}}} \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} tf' (t) \, \ mathrm {d} t}

Quindi utilizzando un'integrazione per parti:

v′(θ)-v′(θ=0)=12X′[θf(θ)]0θ-12X′∫0θf(t)dt{\ displaystyle v '(\ theta) -v' (\ theta = 0) = {1 \ over 2 {\ sqrt {x '}}} {\ big [} \ theta f (\ theta) {\ big]} _ {0} ^ {\ theta} - {1 \ over 2 {\ sqrt {x '}}} \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t}

Ricorda che quando è quando è a livello del muro. Tuttavia, la velocità normale è zero a questo livello (il fluido non penetra nel muro) che alla fine dà: θ=0{\ displaystyle \ theta = 0}y=0{\ displaystyle y = 0}

v′=12X′θf(θ)-12X′∫0θf(t)dt{\ displaystyle v '= {1 \ over 2 {\ sqrt {x'}}} \ theta f (\ theta) - {1 \ over 2 {\ sqrt {x '}}} \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t}

Viene quindi scritto il secondo termine di convezione:

v′∂u′∂y′=1X′f′(θ)(12θf(θ)-12∫0θf(t)dt){\ Displaystyle v '{\ partial u' \ over \ partial y '} = {1 \ over x'} f '(\ theta) \ left ({1 \ over 2} \ theta f (\ theta) - {1 \ over 2} \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t \ right)}

Raggruppiamo insieme tutti i termini espressi come segue:

-12X′θf(θ)f′(θ)+1X′f′(θ)(12θf(θ)-12∫0θf(t)dt)=1X′f″(θ){\ displaystyle - {\ frac {1} {2x '}} \ theta f (\ theta) f' (\ theta) + {1 \ over x '} f' (\ theta) \ left ({1 \ over 2 } \ theta f (\ theta) - {1 \ over 2} \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t \ right) = {\ frac {1} {x '}} f' '(\ theta)}

Dopo le semplificazioni, otteniamo l'equazione di Blasius:

f″(θ)+12f′(θ)∫0θf(t)dt=0{\ Displaystyle f '' (\ theta) + {1 \ over 2} f '(\ theta) \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t = 0 }

Viene verificato che l'unica variabile del problema sia effettivamente. θ{\ displaystyle \ theta}

Risoluzione approssimativa

Caso di valori bassi di θ{\ displaystyle \ theta}

Ricordiamo che a fisso, varia allo stesso modo di , quindi la variabile è rappresentativa della distanza rispetto al muro a livello dello strato limite. Applichiamo un'espansione limitata della funzione per  : X{\ displaystyle x}θ{\ displaystyle \ theta}y{\ displaystyle y}θ≃0{\ displaystyle \ theta \ simeq 0}

f(θ)=f(0)+θf′(0)+θ22f″(0)+θ36f(3)(0)+θ424f(4)(0)+o(θ4){\ Displaystyle f (\ theta) = f (0) + \ theta f '(0) + {\ theta ^ {2} \ over 2} f' '(0) + {\ theta ^ {3} \ over 6 } f ^ {(3)} (0) + {\ theta ^ {4} \ oltre 24} f ^ {(4)} (0) + o (\ theta ^ {4})}

Lo sappiamo già , questo permette di affermare, usando l'equazione di Blasius, quello . Possiamo dimostrare che è lo stesso per e per di piùf(0)=0{\ displaystyle f (0) = 0}f″(0)=0{\ displaystyle f '' (0) = 0}f(3)(0){\ displaystyle f ^ {(3)} (0)}f(4)(0)=-12f′2(0){\ displaystyle f ^ {(4)} (0) = - {1 \ oltre 2} {f '} ^ {2} (0)}

Dimostrazione

Deriviamo per la prima volta l'equazione di Blasius:

f(3)(θ)=-12(f′(θ)f(θ)+f″(θ)∫0θf(t)dt){\ Displaystyle f ^ {(3)} (\ theta) = - {1 \ over 2} \ left (f '(\ theta) f (\ theta) + f' '(\ theta) \ int \ limits _ { 0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t \ right)}

Lo otteniamo quindi direttamente . E se andiamo alla deriva ancora una volta: f(3)(0){\ displaystyle f ^ {(3)} (0)}

f(4)(θ)=-12(f″(θ)f(θ)+f′2(θ)+f″(θ)f(θ)+f(3)(θ)∫0θf(t)dt){\ Displaystyle f ^ {(4)} (\ theta) = - {1 \ over 2} \ left (f '' (\ theta) f (\ theta) + {f '} ^ {2} (\ theta) + f '' (\ theta) f (\ theta) + f ^ {(3)} (\ theta) \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t \ giusto)}

Allo stesso modo otteniamo: f(4)(0)=-12f′2(0){\ displaystyle f ^ {(4)} (0) = - {1 \ oltre 2} {f '} ^ {2} (0)}

Per valori bassi di abbiamo quindi la seguente approssimazione: θ{\ displaystyle \ theta}

f(θ)=(θ-θ448f′(0))f′(0){\ Displaystyle f (\ theta) = \ left (\ theta - {\ theta ^ {4} \ over 48} f '(0) \ right) f' (0)}

Si deduce quindi che in prossimità del muro, il profilo della velocità tangenziale varia linearmente quindi segue un profilo più concavo (termine in ) θ4{\ displaystyle \ theta ^ {4}}

Caso di grandi valori di θ{\ displaystyle \ theta}

Valori elevati di significano che ci allontaniamo sempre più dal muro e dal campo di velocità nello strato limite . In altre parole, come abbiamo fatto allora . Viene quindi scritta l'equazione del limite di Blasius: θ{\ displaystyle \ theta}u→U{\ displaystyle u \ rightarrow U}u=Uf(θ){\ displaystyle u = Uf (\ theta)}f(θ)→1{\ displaystyle f (\ theta) \ rightarrow 1}

f″(θ)≈-12θf′(θ){\ displaystyle f '' (\ theta) \ approx - {1 \ over 2} \ theta f '(\ theta)}

Integriamo facilmente:

f′(θ)=f′(0)e-θ24{\ displaystyle f '(\ theta) = f' (0) \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ theta ^ {2}} {4}}}}

Questa espressione mostra che converge esponenzialmente verso l' implicito che raggiunge allo stesso modo il suo valore asintotico . Inoltre, l'esponenziale raggiunge il 98% del suo valore finale quando il suo parametro è dell'ordine di 6, deduciamo che stiamo lasciando lo strato limite per . Quindi il dominio della funzione è dato: perf′(θ){\ displaystyle f '(\ theta)}0{\ displaystyle 0}f{\ displaystyle f}1{\ displaystyle 1}θ≈5{\ displaystyle \ theta \ circa 5}f{\ displaystyle f}f(θ)∈[0,1]{\ displaystyle f (\ theta) \ in [0,1]}θ∈[0,5]{\ displaystyle \ theta \ in [0,5]}

Questi risultati sono in accordo con il principio dello strato limite: appena ci allontaniamo dal muro troviamo il flusso uniforme e combinando i due comportamenti ai bordi immaginiamo che il profilo di velocità passerà bruscamente dal suo comportamento lineare al suo comportamento asintotico.

Vedi anche

Articoli Correlati

• Strato limite
• Numero di Reynolds
• Flusso laminare

Bibliografia

• Idrodinamica fisica , Étienne Guyon, Jean Pierre Hulin, Luc Petit, (EDP Sciences, 2001) ( ISBN  2-86883-502-3 )

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