Schema di Cremona

Il disegno di Cremona , che prende il nome dal suo inventore, Luigi Cremona , è un metodo di statica grafica utilizzato per il calcolo delle forze in un traliccio ( sistema triangolato , assemblaggio di travi ). Spesso troviamo l'ortografia di questo nome con un accento acuto e possibilmente un'iniziale minuscola (Cremona, cremona).

Descrizione

La struttura è divisa in regioni, che sono delimitate da travi o semirette che trasportano le forze esterne alla struttura. Nel diagramma - schizzo di Cremona, o semplicemente Cremona - le regioni sono rappresentate da un punto. In questo disegno, i punti che rappresentano due regioni contigue sono collegati da un segmento avente la direzione del raggio o della forza che li separa. I vari vincoli esercitati attorno a una regione consentono di individuare il punto che la rappresenta per costruzione geometrica (intersezione di linee). I segmenti sono infatti le forze agenti sulle travi mostrate in scala.

Rispetto al diagramma a lato, abbiamo:

forza : segmento 1–3; ${\ displaystyle {\ vec {R}} _ {A}}$
forza : segmento 3–2; ${\ displaystyle {\ vec {R}} _ {B}}$
forza : segmento 2–1; $\ vec {F}$
forze di trazione nell'elemento A - B : segmento 3–4;
forze di compressione nell'elemento B - C : segmento 2-4;
forze di compressione nell'elemento A - C : segmento 1–4.

Conoscendo il modulo delle forze esterne ( è dato, e sono calcolate dalla statica), la costruzione permette di misurare, o calcolare per trigonometria , le forze di trazione o compressione nelle travi a partire dagli orientamenti delle sole travi. È così possibile verificare che le travi siano resistenti alla trazione o all'instabilità . ${\ displaystyle \ | {\ vec {F}} \ |}$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {R}} _ {A} \ |}$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {R}} _ {B} \ |}$

Principio

La struttura è in equilibrio. Ciò significa che in ogni nodo la somma delle forze è zero. Possiamo quindi disegnare un poligono mettendo le forze un'estremità all'altra. Questo poligono di forze è anche chiamato "poligono dinamico" o semplicemente "dinamico"; nel presente esempio, questi sono triangoli poiché ci sono solo tre forze in ogni nodo. Ogni forza corrisponde ad un raggio che separa due zone, ogni angolo del triangolo può quindi essere denominato con il nome della zona comune alle due forze che costituiscono i lati adiacenti a tale angolo.

I vari triangoli così formati per ogni nodo possono essere posti come un puzzle , che costituisce il diagramma (o schizzo) di Cremona.

Metodo

Le due forze esterne ad una trave sono opposte (condizione di equilibrio); le dinamiche di ogni nodo hanno quindi un lato comune con le dinamiche di ogni nodo adiacente. Mettendo tutte le dinamiche sulla stessa figura, evitiamo quindi di dover trasferire segmenti da un disegno all'altro. Tuttavia, è necessario procedere in modo metodico affinché le dinamiche si mescolino bene.

Il primo passo è tagliare il piano in regioni, o zone, separate da travi o linee di azione di forze esterne . Queste zone sono numerate e i numeri designeranno le vette cremonesi; le direzioni degli elementi (trave o forza esterna) saranno le direzioni dei segmenti del diagramma di Cremona.

Quindi si sceglie una direzione di rotazione (ad esempio la direzione trigonometrica) e per ogni nodo si elencano le zone mentre si gira nella direzione prescelta; è indicato l'elemento che separa ciascuna zona contigua e questo è riportato in una tabella. Prendiamo qui il valore 100 N per e quindi 50 N per e $\ vec {F}$ ${\ displaystyle {\ vec {R}} _ {A}}$ ${\ displaystyle {\ vec {R}} _ {B}}$

Elenco dei segmenti di schizzo

Nodo	Elemento	Zone	Sollecitazione	Intensità
A	${\ displaystyle {\ vec {R}} _ {A}}$	1 → 3		50 N
	AB	3 → 4	trazione	?
	AC	4 → 1	compressione	?
B	${\ displaystyle {\ vec {R}} _ {B}}$	3 → 2		50 N
	AVANTI CRISTO	2 → 4	compressione	?
	AB	4 → 3	trazione	?
VS	$\ vec {F}$	2 → 1		100 N
	AC	1 → 4	compressione	?
	AVANTI CRISTO	4 → 2	compressione	?

Le sollecitazioni di “trazione” o “compressione” sono ottenute dal triangolo di forze al nodo interessato.

Scegliamo una scala per le forze. Quindi, prendiamo un nodo di cui conosciamo una forza e ne tracciamo la dinamica:

partendo dalla forza nota: tracciamo questa forza sulla dinamica, e diamo alle estremità i numeri indicati sulla riga della tabella;
ad esempio, per il nodo A, iniziamo con il tracciamento , posizioniamo il punto 1 nella parte inferiore del segmento e il punto 3 in alto (poiché va dal basso verso l'alto e va da 1 a 3); ${\ displaystyle {\ vec {R}} _ {A}}$ ${\ displaystyle {\ vec {R}} _ {A}}$
da ogni estremità tracciamo la direzione dell'elemento che parte da questa estremità; l'intersezione dei segmenti permette di trovare il terzo punto;
ad esempio partiamo da 3 e tracciamo un orizzontale (direzione di AB, poiché AB separa le zone 3 e 4), quindi partiamo da 1 e tracciamo il parallelo ad AC; questo ci dà il punto 4.

Andiamo a un nodo contiguo e ricominciamo; uno dei lati della dinamica è comune alla dinamica precedente.

La lunghezza dei segmenti costruiti consente di determinare l'intensità delle forze in gioco nelle corrispondenti travi.

Vedi anche

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