Pendolo invertito
In fisica , un pendolo invertito è un semplice pendolo . Mostra una posizione di equilibrio instabile se mantenuta verticale a 180 °, ma questa posizione è mantenuta da un sistema di controllo o dall'eccitazione di Kapitza . È un problema di fisica non lineare .
Equazione del moto
La situazione è esattamente la stessa di quella descritta per il pendolo semplice , considerando un'asta rigida ma di massa trascurabile. Definiamo quindi:
Indichiamo le derivate temporali con un punto:
θ˙=dθdt{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ frac {d \ theta} {dt}}}
e .
θ¨=dθ˙dt{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = {\ frac {d {\ dot {\ theta}}} {dt}}}
Possiamo quindi stabilire il periodo delle oscillazioni:
ω02=gl{\ displaystyle \ omega _ {0} ^ {2} = {\ frac {g} {l}}}
.
L' energia cinetica è:
Evs=ml2θ˙22{\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {ml ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}} {2}}}
.
L' energia potenziale della gravità :
Ep=mgl(1+cosθ){\ displaystyle E_ {p} = mgl (1+ \ cos \ theta)}
.
Se il pendolo viene lasciato libero, la conservazione può essere scritto di energia meccanica , . Quindi, otteniamo:
E=Evs+Ep{\ displaystyle E = E_ {c} + E_ {p}}
θ¨-ω02peccatoθ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} - \ omega _ {0} ^ {2} \ sin \ theta = 0}
.
La differenza con il pendolo semplice è che ci interessa la situazione θ ≈ π [2π]; ciò corrisponde ad un massimo dell'energia potenziale, cioè ad un equilibrio instabile .
Pendolo invertito su un carrello
Possiamo stabilire le equazioni del moto dalla meccanica lagrangiana: rilevando x (t) la posizione del carrello, l'angolo formato tra l'asta e la verticale, essendo il sistema sottoposto a gravità e ad una forza esterna F e lungo l'asse x , la lagrangiana è:
θ(t){\ displaystyle \ theta (t)}
L=T-V{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = TV}
con T l'energia cinetica e V l'energia potenziale. Abbiamo così:
L=12Mv12+12mv22-mgℓcosθ{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} Mv_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} mv_ {2} ^ {2} -mg \ ell \ cos \ theta}
con la velocità del carrello e quella della massa . Possiamo esprimere e da x e :
v1{\ displaystyle v_ {1}}
v2{\ displaystyle v_ {2}}
m{\ displaystyle m}
v1{\ displaystyle v_ {1}}v2{\ displaystyle v_ {2}}θ{\ displaystyle \ theta}
v12=X˙2{\ displaystyle v_ {1} ^ {2} = {\ dot {x}} ^ {2}}
v22=(X˙-ℓθ˙cosθ)2+(-ℓθ˙peccatoθ)2{\ displaystyle v_ {2} ^ {2} = {\ left ({\ dot {x}} - \ ell {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \ right)} ^ {2} + {\ left (- \ ell {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta \ right)} ^ {2}}
che è ancora scritto:
v22=X˙2-2X˙ℓθ˙cosθ+ℓ2θ˙2{\ displaystyle v_ {2} ^ {2} = {\ dot {x}} ^ {2} -2 {\ dot {x}} \ ell {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta + \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}}
La lagrangiana è data da:
L=12(M+m)X˙2-mℓX˙θ˙cosθ+12mℓ2θ˙2-mgℓcosθ{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} \ sinistra (M + m \ destra) {\ dot {x}} ^ {2} -m \ ell {\ dot {x }} {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta + {\ frac {1} {2}} m \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} -mg \ ell \ cos \ theta}
e le equazioni del moto sono quindi:
ddt∂L∂X˙-∂L∂X=F{\ displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ partial {\ mathcal {L}} \ over \ partial {\ dot {x}}} - {\ partial {\ mathcal {L} } \ over \ partial x} = F}
ddt∂L∂θ˙-∂L∂θ=0{\ displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ partial {\ mathcal {L}} \ over \ partial {\ dot {\ theta}}} - {\ partial {\ mathcal {L }} \ over \ partial \ theta} = 0}
Semplificando queste equazioni, otteniamo le equazioni non lineari del movimento del pendolo:
(M+m)X¨-mℓθ¨cosθ+mℓθ˙2peccatoθ=F{\ displaystyle \ left (M + m \ right) {\ ddot {x}} - m \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ theta + m \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2 } \ sin \ theta = F}
ℓθ¨-X¨cosθ=gpeccatoθ{\ displaystyle \ ell {\ ddot {\ theta}} - {\ ddot {x}} \ cos \ theta = g \ sin \ theta}
Vedi anche
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