Pendolo invertito
In fisica , un pendolo invertito è un semplice pendolo . Mostra una posizione di equilibrio instabile se mantenuta verticale a 180 °, ma questa posizione è mantenuta da un sistema di controllo o dall'eccitazione di Kapitza . È un problema di fisica non lineare .
Equazione del moto
La situazione è esattamente la stessa di quella descritta per il pendolo semplice , considerando un'asta rigida ma di massa trascurabile. Definiamo quindi:
Indichiamo le derivate temporali con un punto:
θ˙=dθdt{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ frac {d \ theta} {dt}}}![\ dot {\ theta} = \ frac {d \ theta} {dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460aaecf136b26445b19123669fc4a9da09eaa36)
e .
θ¨=dθ˙dt{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = {\ frac {d {\ dot {\ theta}}} {dt}}}![{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = {\ frac {d {\ dot {\ theta}}} {dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012d5bb3c5b17d02b0a54b10652db1671a302f98)
Possiamo quindi stabilire il periodo delle oscillazioni:
ω02=gl{\ displaystyle \ omega _ {0} ^ {2} = {\ frac {g} {l}}}![\ omega _ {0} ^ {2} = {\ frac {g} {l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a88ab26e2289438281a872d7f0e72720b07ed93)
.
L' energia cinetica è:
Evs=ml2θ˙22{\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {ml ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}} {2}}}![{\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {ml ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81495cd9e3b1473c6c504c0470d9322ee27eaee2)
.
L' energia potenziale della gravità :
Ep=mgl(1+cosθ){\ displaystyle E_ {p} = mgl (1+ \ cos \ theta)}![{\ displaystyle E_ {p} = mgl (1+ \ cos \ theta)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48954e83ba93fd0eb14f01d041f1c203eb1feba2)
.
Se il pendolo viene lasciato libero, la conservazione può essere scritto di energia meccanica , . Quindi, otteniamo:
E=Evs+Ep{\ displaystyle E = E_ {c} + E_ {p}}![{\ displaystyle E = E_ {c} + E_ {p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82e0a960bb555cbfefda9addc2ce085c1823a2a)
θ¨-ω02peccatoθ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} - \ omega _ {0} ^ {2} \ sin \ theta = 0}![{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} - \ omega _ {0} ^ {2} \ sin \ theta = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c152f78112b8e073b4d0f2d33af4e87971ce63)
.
La differenza con il pendolo semplice è che ci interessa la situazione θ ≈ π [2π]; ciò corrisponde ad un massimo dell'energia potenziale, cioè ad un equilibrio instabile .
Pendolo invertito su un carrello
Possiamo stabilire le equazioni del moto dalla meccanica lagrangiana: rilevando x (t) la posizione del carrello, l'angolo formato tra l'asta e la verticale, essendo il sistema sottoposto a gravità e ad una forza esterna F e lungo l'asse x , la lagrangiana è:
θ(t){\ displaystyle \ theta (t)}![\ theta (t)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92e767769c09cc676d3b32facf194677e467fc1)
L=T-V{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = TV}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = TV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9140ce092d84f622d2314ebe710e2700953d042a)
con T l'energia cinetica e V l'energia potenziale. Abbiamo così:
L=12Mv12+12mv22-mgℓcosθ{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} Mv_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} mv_ {2} ^ {2} -mg \ ell \ cos \ theta}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} Mv_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} mv_ {2} ^ {2} -mg \ ell \ cos \ theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a4f2befff44b468d48076d3ce3c92cd5f337bb)
con la velocità del carrello e quella della massa . Possiamo esprimere e da x e :
v1{\ displaystyle v_ {1}}
v2{\ displaystyle v_ {2}}
m{\ displaystyle m}
v1{\ displaystyle v_ {1}}
v2{\ displaystyle v_ {2}}
θ{\ displaystyle \ theta}![\ theta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)
v12=X˙2{\ displaystyle v_ {1} ^ {2} = {\ dot {x}} ^ {2}}
v22=(X˙-ℓθ˙cosθ)2+(-ℓθ˙peccatoθ)2{\ displaystyle v_ {2} ^ {2} = {\ left ({\ dot {x}} - \ ell {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \ right)} ^ {2} + {\ left (- \ ell {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta \ right)} ^ {2}}![{\ displaystyle v_ {2} ^ {2} = {\ left ({\ dot {x}} - \ ell {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \ right)} ^ {2} + {\ left (- \ ell {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta \ right)} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc488858e8518633e9acd61240478e6c6f8db9b)
che è ancora scritto:
v22=X˙2-2X˙ℓθ˙cosθ+ℓ2θ˙2{\ displaystyle v_ {2} ^ {2} = {\ dot {x}} ^ {2} -2 {\ dot {x}} \ ell {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta + \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}}
La lagrangiana è data da:
L=12(M+m)X˙2-mℓX˙θ˙cosθ+12mℓ2θ˙2-mgℓcosθ{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} \ sinistra (M + m \ destra) {\ dot {x}} ^ {2} -m \ ell {\ dot {x }} {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta + {\ frac {1} {2}} m \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} -mg \ ell \ cos \ theta}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} \ sinistra (M + m \ destra) {\ dot {x}} ^ {2} -m \ ell {\ dot {x }} {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta + {\ frac {1} {2}} m \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} -mg \ ell \ cos \ theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d413e82415f361b9a2c8f7a069ab8a7a1700dc)
e le equazioni del moto sono quindi:
ddt∂L∂X˙-∂L∂X=F{\ displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ partial {\ mathcal {L}} \ over \ partial {\ dot {x}}} - {\ partial {\ mathcal {L} } \ over \ partial x} = F}![{\ displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ partial {\ mathcal {L}} \ over \ partial {\ dot {x}}} - {\ partial {\ mathcal {L} } \ over \ partial x} = F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9835e8616db7358a7645ecd2381bce1b6dbb3cf9)
ddt∂L∂θ˙-∂L∂θ=0{\ displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ partial {\ mathcal {L}} \ over \ partial {\ dot {\ theta}}} - {\ partial {\ mathcal {L }} \ over \ partial \ theta} = 0}![{\ displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ partial {\ mathcal {L}} \ over \ partial {\ dot {\ theta}}} - {\ partial {\ mathcal {L }} \ over \ partial \ theta} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ac7185645a7c6207706d5bc750da18f505074d)
Semplificando queste equazioni, otteniamo le equazioni non lineari del movimento del pendolo:
(M+m)X¨-mℓθ¨cosθ+mℓθ˙2peccatoθ=F{\ displaystyle \ left (M + m \ right) {\ ddot {x}} - m \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ theta + m \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2 } \ sin \ theta = F}
ℓθ¨-X¨cosθ=gpeccatoθ{\ displaystyle \ ell {\ ddot {\ theta}} - {\ ddot {x}} \ cos \ theta = g \ sin \ theta}
Vedi anche
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