Diofanto di Alessandria

Diofanto

Descrizione di questa immagine, commentata anche di seguito

Frontespizio dell'edizione del 1621 di Arithmétiques . Dati chiave

Nascita	data sconosciuta vissuta ad Alessandria
Attivo a	II ° secoloo III ° secolo
le zone	Matematica ( aritmetica )
Rinomato per la	l' aritmetica

Diofanto (in greco antico : Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς Dióphantos ho Alexandreús ) è stato un matematico, che parla greco vissuto ad Alessandria tra il I ° secolo aC. DC e il IV ° secolo , forse II e secolo o III e secolo . Conosciuto per la sua Arithmétique , opera di cui una parte è andata perduta, e dove studia alcune equazioni diofantine , è talvolta soprannominato il "padre dell'algebra ".

Biografia

Poco o nulla si sa della vita di Diofanto, anche il tempo in cui visse rimane molto incerto. Ha vissuto ad Alessandria . Il suo lavoro è in parte perso.

Mentre da un lato egli cita nel suo trattato di numeri poligonali matematico Ipsicle , vissuto nel II ° secolo aC. DC , e in secondo luogo è citato da Teone di Alessandria , che il IV ° secolo, menzionato in un commento sul Almagesto di Claudio Tolomeo , sappiamo che visse tra queste due epoche, e queste sono le uniche certezze che abbiamo su questo argomento. Sulla base di una tarda primavera, e il prezzo di una serie di ipotesi che sono state contestate, Paul Tannery fa vivo nel III ° secolo. Wilbur Knorr argomenti critici Conceria e giudice "attraente" il presupposto che Diofanto era un contemporaneo di Erone di Alessandria nel I ° secolo. Marwan Rashed , analisi delle fonti antiche, ha detto intanto che Diofanto potesse vivere al di là del II ° secolo.

Opera

È noto per il suo studio di equazioni con variabili su numeri razionali positivi (quozienti di due numeri interi ) studio che ha dato il nome alle equazioni diofantine . L'aggettivo Diophantine è spesso usato nella teoria dei numeri per descrivere un problema relativo a queste equazioni.

La sua opera più importante, Aritmetica , influenzò i matematici arabi e molto più tardi quelli del Rinascimento . Diofanto scrisse anche un trattato sui numeri poligonali , di cui ci sono pervenuti frammenti. A differenza di Arithmetic , Polygonal Numbers non è strettamente parlando una cartella di lavoro. Secondo fonti antiche, Diofanto è anche autore di un libro intitolato Porismi e di un trattato sulle frazioni intitolato Moriastic , entrambi purtroppo andati perduti.

Diofanto usa numeri negativi - che definisce assurdi - e ha formulato la regola dei segni: "Meno con meno è uguale di più, meno con più è uguale meno" .

Diofanto è particolarmente interessato ai seguenti problemi

Risoluzione di equazioni quadratiche (del tipo ax 2 = bx + c);
determinazione di valori realizzando 2 espressioni lineari quadrati (es: trova x tale che 10x + 9 e 5x + 4 siano entrambi quadrati);
scomposizione di un numero in una somma di 2 quadrati. Sembra che Diofanto sappia per esperienza che gli interi della forma 4n + 3 non sono scritti come la somma di 2 quadrati;
divisione di un quadrato in 2 quadrati: spiega in particolare come dividere 16 in somma di 2 quadrati: (16/5) 2 + (12/5) 2 . È a margine di questo problema che Fermat ha scritto sulla sua copia di Arithmetica la sua famosa nota, secondo la quale è impossibile dividere un cubo in 2 cubi, una quarta potenza in 2 quarte potenze, e più in generale qualsiasi potenza oltre la quadrato, in 2 potenze dello stesso esponente. Non è stato fino al 1995 per avere una dimostrazione di questo risultato da parte di Andrew Wiles .
un gran numero di lavori sono stati dedicati alle equazioni diofantine quadratiche.
- il primo si occupa di risolvere l'equazione ${\ displaystyle ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2} + dx + ey + f = 0}$ dove a , b , c , d , e e f sono numeri interi. Nel 1769 Lagrange trovò un algoritmo per questa equazione. Nel 1770 dimostrò un risultato dichiarato da Diofanto, noto con il nome di teorema dei quattro quadrati di Lagrange .
- la seconda di queste grandi opere riguarda quella che viene chiamata equazione di Pell-Fermat , un caso speciale dell'equazione diofantina di secondo grado della forma ${\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = n.}$ dove d è un numero intero positivo che non è un quadrato perfetto e n è un numero intero diverso da zero
- nel 1657, alla fine della sua vita, Pierre de Fermat lanciò una sfida ai matematici inglesi ${\ displaystyle dx ^ {2} + 1 = y ^ {2}}$ in altre parole, se d non è un quadrato, c'è un'infinità di quadrati X² tale che se moltiplichiamo loro da d e aggiunge 1 al risultato, si ottiene un quadrato (che indicheremo y² )? Pierre de Fermat specifica nel preambolo che deve essere una questione di soluzioni intere. Il metodo generale per calcolare soluzioni di questo tipo è attribuito al matematico inglese John Pell (1611-1685), che gli ha dato il nome.

Il suo epitaffio

Ma è noto anche per il suo epitaffio : problema , attribuito a Metrodoro (circa 500), che permette di ritrovare l'età di Diofanto di Alessandria alla sua morte. Questo problema divide la vita di Diofanto in parti disuguali rappresentate da frazioni e permette di calcolare la durata della sua vita, cioè 84 anni. Ecco il problema in breve:

“L'infanzia di Diofanto ha occupato un sesto di tutta la sua vita. Il dodicesimo è stato preso dalla sua adolescenza. Dopo un ulteriore periodo equivalente al settimo della sua vita, si sposò. Cinque anni dopo ha avuto un figlio. La vita di questo figlio era esattamente la metà di quella di suo padre. Diofanto morì quattro anni dopo la morte di suo figlio. "

Una versione di questo problema, tratta dall'Antologia greca , è stata pubblicata da Orly Terquem , accompagnata da una traduzione in latino di Bachet e da un'imitazione in alessandrino di un collaboratore che firma H. Eutrope:

Passando, sotto questa tomba riposa Diofanto,
e alcuni versi tracciati da una mano sapiente
ti faranno sapere a che età morì:
Dei giorni abbastanza numerosi che il destino contava per lui,
il sesto segnò il tempo della sua infanzia;
Il dodicesimo è stato preso dalla sua adolescenza.
Delle sette parti della sua vita, ne passò un'altra,
poi, essendosi sposata, sua moglie gli diede
Cinque anni dopo un figlio che, dal grave destino
ricevette giorni, ahimè! la metà di suo padre.
Di quattro anni, in lacrime, questo è sopravvissuto:
dì, se sai contare, a che età è morto.
Soluzione.
Rappresenta per $x$ il numero in questione
E, senza dimenticare nulla, poni un'equazione
Dove nel primo membro troviamo il sesto,
Quindi il dodicesimo di $x$ , aumentato del settimo.
Aggiungi nove anni: il tutto sarà uguale a
L'inconnue $x$ . Trasponi, aggiungi ... e così via.
Vedrai facilmente, senza che nessuno sia in grado di ridurlo,
che l'età del vecchio è davvero ottantaquattro .

Più esplicitamente: la soluzione di $x / 6 + x / 12 + x / 7 + 5 + x / 2 + 4 = x$ è $x = 84$ .

I posteri

Diofanto fu “riscoperto” nell'Europa occidentale da Regiomontanus nel 1463 grazie ad un manoscritto portato a Roma dopo la presa di Costantinopoli nel 1453 . Regiomontanus affermava di aver visto 13 libri ma, fino al 1971, ne rimanevano solo sei.

Le prime traduzioni di data di Diofanto dalla fine del XVI ° secolo : Raffaele Bombelli l'tradotto in italiano nel 1572 nella sua Algebra , Xylander in latino nel 1575, e Simon Stevin in francese nel 1585 (solo i primi quattro libri). Albert Girard nel 1625 e 1634 pubblicherà nelle opere matematiche di Simon Stevin la traduzione del quinto e sesto libro seguendo lo stesso modello di Simon Stevin.

Nel 1621 Claude-Gaspard Bachet dà un'edizione del testo di Diofanto (in greco ), con una traduzione in latino , accompagnata da commenti. È questa edizione che Pierre de Fermat aveva , e che dopo la morte di questo suo figlio, ripubblicherà le annotazioni aumentate di suo padre a Tolosa nel 1670 . Dopo averlo studiato in gioventù, Descartes affermerà di lui nelle sue Regole per la direzione dello spirito , nel 1628, che mostra nelle sue opere, come Pappo d'Alessandria , le "tracce di questa vera matematica" , frutti di "semi di verità, depositato dalla natura nella mente umana ” , che “ ebbe tanta forza in questa antichità aspra e semplice ” . Alcune caratteristiche dei metodi di risoluzione dei problemi di Diofanto hanno ispirato i fondatori moderni del metodo algebrico, come Viète e Fermat . Nel 1971 , altri quattro libri tradotti in arabo furono scoperti a Mechhed da Roshdi Rashed .

Patrimonio matematico di Diofanto

Una delle applicazioni importanti del suo patrimonio matematico riguarda la sicurezza informatica, in cui le equazioni diofantine giocano un ruolo importante, siano esse le più note o le più sofisticate, come quelle studiate da Louis Mordell nel suo libro Diophantine Equations. , del tipo . Queste ultime danno origine a curve ellittiche che giocano un ruolo molto importante nel campo della sicurezza informatica e della crittografia dei dati. Queste equazioni sono coinvolte nella crittografia RSA con chiave pubblica e nel protocollo crittografico Diffie-Hellman , utilizzato per proteggere la trasmissione dei dati su Internet, in particolare nelle transazioni bancarie e nella riservatezza delle comunicazioni. Le equazioni del tipo giocano un ruolo fondamentale nell'aritmetica modulare , che viene utilizzata, ad esempio, per determinare la validità dei codici a barre . ${\ displaystyle ax + by = c}$ ${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ascia + b}$ ${\ displaystyle ax + by = c}$

Tributi

Nel 1935 , l' Unione Astronomica Internazionale diede il nome di Diofanto a un cratere lunare .

Note e riferimenti

Appunti

Per quanto riguarda il fatto che egli visse nel III ° secolo, Paul Tannery che dedurre da numero 30 del libro V del aritmetica . Questo problema, che richiede una risposta ad una domanda circa il prezzo e la qualità delle anfore vinarie, ha portato lo storico francese alla congettura che Diofanto aveva vissuto nella seconda metà del III ° secolo. Sarebbe stato quindi il contemporaneo di Pappo d'Alessandria
"... potrebbe essere possibile per Diofanto essere un contemporaneo di Hero, già nel I secolo dC Questa nozione ha alcune caratteristiche attraenti, e non conosco prove esplicite che la escluderebbero assolutamente"
Una dichiarazione esplicita della regola dei segni appare in Arithmetica : “Ciò che manca, moltiplicato per ciò che manca, dà ciò che è positivo; mentre ciò che manca, moltiplicato per ciò che è relativo e positivo, dà ciò che manca "
Il matematico irlandese William Brouncker (1620-1684) è il primo inventore. Purtroppo, il matematico svizzero Leonhard Euler ha riportato nelle sue opere che il metodo per risolvere questo tipo di equazione è stato inventato dal matematico inglese John Pell (1611-1685). Il prestigio di Eulero era tale che questo errore, a causa di un malinteso, fu ampiamente distribuito e fu ripreso dalla comunità matematica.

Riferimenti

Questo articolo include estratti dal Dizionario Bouillet . È possibile rimuovere questa indicazione, se il testo riflette le attuali conoscenze sull'argomento, se si citano le fonti, se soddisfa i requisiti linguistici correnti e se non contiene parole contrarie alle regole Neutralità di Wikipedia.

Roshdi Rashed e Christian Houzel , The Arithmetic of Diophantus: Historical and Mathematical Reading , Parigi, Walter de Gruyter , coll. "Scientia Graeco-Arabica" ( n o 11)2013, 639 p. ( ISBN 978-3-11-033648-1 , leggi online ) , p. 3
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Wilbur Knorr , articolo "Matematica" p. 434-435 in Jacques Brunschwig e Geoffrey Lloyd , Le Savoir grec, Dictionnaire critique , Flammarion, 1996.
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Vedi anche

Bibliografia

: documento utilizzato come fonte per questo articolo.

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Les Arithmétiques , volume 4, ed. e tr. Roshdi Rashed, Parigi, Les Belles Lettres, 1984, Collection of the Universities of France, cxxxiv-322p. ( ISBN 2-251-00376-2 )
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