Varietà algebrica non singolare

Una varietà algebrica non singolare (o liscia) è una varietà senza punto singolare (en) . È la cornice naturale di molti teoremi fondamentali della geometria algebrica.

Definizione

Diciamo che una varietà algebrica è regolare quando il suo anello locale è un anello locale regolare per qualsiasi punto . $X$ $O_ {X, x}$ $x \ in X$

Sia una varietà algebrica su un campo . Sia una chiusura algebrica di . Si dice che non sia singolare o liscia se la varietà ottenuta dopo il cambio di base è una varietà regolare. $X$ $K$ ${\ abbaiare}}$ $K$ $X$ $X _ {{{\ bar {k}}}}$ ${\ bar {k}} / k$

Esempi

Gli spazi affini e gli spazi proiettivi non sono singolari. ${\ mathrm {Spm}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]$ ${\ mathrm {Proj}} k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]$
Una curva piana è non singolare se e solo se i polinomi non hanno uno zero comune in (il che equivale a dire che generano l'unità ideale di ). ${\ displaystyle \ mathrm {Spm} (k [T, S] / (F (T, S)))}$ $F, \ parziale F / \ parziale T, \ parziale F / \ parziale S$ ${\ bar {k}} ^ {2}$ $k [T, S]$
Se è un corpo imperfetto (cioè un corpo che non è perfetto ), allora esiste che non è un potere -esimo, dov'è la caratteristica di . Sia l' estensione radiale definita dalla -esima radice di . Allora è una varietà algebrica , regolare ma non singolare. $K$ $\ lambda \ in k$ $p$ $p$ $K$ $k '= k [T] / (T ^ {p} - \ lambda)$ $p$ $\ lambda$ ${\ mathrm {Spm}} (k ')$ $K$

Nota Essere regolari è una proprietà assoluta della varietà algebrica, mentre essere non singolari dipende dal campo base che consideriamo. Nell'esempio sopra, non è non singolare come -varietà, ma è come -varietà. ${\ mathrm {Spm}} (k ')$ $K$ $K '$

Proprietà

Se non è singolare, allora è regolare. Se è perfetto è vero il contrario . $X$ $K$
Criterio Jacobiano : Sia una varietà algebrica affine connessa di dimensione d . Allora è non singolare se e solo se il rango della matrice Jacobiana è uguale an - d per tutti . $X = {\ mathrm {Spm}} [T_ {1}, ..., T_ {n}] / (F_ {1}, ..., F_ {m})$ $X$ $Jac_ {x} (F_ {1}, ..., F_ {m})$ $X$
Sia una varietà algebrica complessa (cioè definita nel campo dei numeri complessi). Sia lo spazio analitico complesso (en) associato a . Allora è non singolare se e solo se è una varietà analitica complessa , cioè localmente biolomorfa a un insieme aperto di n . $X$ $X ^ {{{\ mathrm {an}}}}$ $X$ $X$ $X ^ {{{\ mathrm {an}}}}$
Se è non singolare e connesso di dimensione n , allora è irriducibile e persino integrale , e il fascio di forme differenziali su è localmente privo di rango n . In altre parole, è un fascio vettoriale di rango n (chiamato fascio cotangente ) su . $X$ $X$ $X$ $X$
Struttura locale : a differenza delle varietà analitiche complesse o differenziali, una varietà algebrica, anche non singolare, non è localmente (per la topologia di Zariski) isomorfa a un'apertura di uno spazio affine. Ma questo diventa vero se sostituiamo la topologia Zariski con la topologia étale . In termini più concreti, ogni punto di una varietà algebrica non singolare ha un intorno aperto (di Zariski!) Che si sviluppa su uno spazio aperto di uno spazio affine.