Varietà abeliana

In matematica, e in particolare, nella geometria algebrica e nella geometria complessa , una varietà abeliana A è una varietà algebrica proiettiva che è un gruppo algebrico . La condizione di "proiettività" è l'equivalente di compattezza per le varietà differenziali o analitiche, e conferisce una certa rigidità alla struttura. È un oggetto centrale nella geometria aritmetica .

Definizione

Una varietà abeliana su un campo k è un gruppo algebrico A su k , la cui varietà algebrica sottostante è proiettiva, connessa e geometricamente ridotta. Quest'ultima condizione significa che quando estendiamo il campo base k ad una chiusura algebrica di k , la nuova varietà viene ridotta (questo implica che A viene ridotto). Se k ha caratteristica zero, la condizione "geometricamente ridotta" è automaticamente soddisfatta per ogni gruppo algebrico su k (teorema di Cartier).

Esempio : le varietà abeliane di dimensione 1 sono curve ellittiche .

Lo Jacobiano di una curva algebrica proiettiva non singolare geometricamente connessa, di genere g , è una varietà abeliana di dimensione g .

Se A è una varietà abeliana di dimensione su ℂ, allora A (ℂ) è naturalmente una varietà analitica complessa, e anche un gruppo di Lie. È il quoziente (nel senso di geometria analitica complessa) di ℂ da una rete , il quoziente che ammette un'immersione in uno spazio proiettivo . $g$ $^ {g}$ $\ Lambda$

Proprietà di base

Una varietà abeliana è sempre non singolare e la legge di gruppo di è commutativa. $A$ $A$

Se e sono varietà abeliane sopra , e se è un morfismo di varietà algebriche che invia lo zero di sopra lo zero di , allora è un omomorfismo di gruppi algebrici (cioè è compatibile con le strutture dei gruppi algebrici su e ). $A$ $B$ $K$ $f: A \ a B$ $A$ $B$ $f$ $f$ $A$ $B$

Struttura della torsione Se A è una varietà abeliana di dimensione g definita su un campo k e se n è un numero naturale primo alla caratteristica di k , allora l'insieme degli elementi di A con coordinate in una chiusura algebrica di k e che sono di ordine che divide n (è quindi il nocciolo della moltiplicazione della mappa per n nel gruppo ) è un gruppo finito, isomorfo a . In particolare, i punti di con coordinate in e che sono di ordine di divisione è un sottogruppo di . $A ({\ bar {k}}) [n]$ ${\ abbaiare}}$ $A ({\ bar {k}})$ $({\ mathbb {Z}} / n {\ mathbb {Z}}) ^ {{2g}}$ $A$ $K$ $non$ $({\ mathbb {Z}} / n {\ mathbb {Z}}) ^ {{2g}}$

Se ha caratteristica , allora esiste un numero intero compreso tra 0 e tale che per ogni potenza di , è isomorfo a . Chiamiamo il -rank di . Diciamo che è normale se il suo -rang assume il valore massimo, vale a dire . $K$ $p> 0$ $r$ $g$ $non$ $p$ $A ({\ bar {k}}) [n]$ $({\ mathbb {Z}} / n {\ mathbb {Z}}) ^ {{r}}$ $r$ $p$ $A$ $A$ $p$ $g$

Isogenesi

Un omomorfismo di varietà abeliane è un'isogenesi se A e B hanno la stessa dimensione e se il nucleo di f è finito. Quest'ultimo è quindi lo spettro di un'algebra finita su , la cui dimensione vettoriale è chiamata grado di . È anche il grado di estensione dei campi delle funzioni razionali indotto da . $f: A \ a B$ $K$ $f$ $k (B) \ a k (A)$ $f$

Un tipico esempio di isogenesi è la moltiplicazione per n :

n_ {A}: A \ to A, a \ to na

per ogni numero naturale n (anche quando è divisibile per la caratteristica di k ). Questa isogenia è di grado si . $n ^ {{2g}}$ $g = \ dim A$

Teorema Se è un'isogenesi, allora esiste un'isogenesi tale che e . $f: A \ a B$ $g: B \ ad A$ $fg = n_ {B}$ $gf = n_ {A}$

Diciamo che è semplice se non ha altra sottovarietà abeliana oltre a {0} e se stesso. Ad esempio, qualsiasi curva ellittica è semplice, ma non è il prodotto di due curve ellittiche. Diciamo che è assolutamente semplice se è semplice su una recinzione algebrica di . $A$ $A$ $K$

Teorema (riducibilità completa di Poincaré) Se è un omomorfismo di varietà abeliane suriettive, allora esiste una sottovarietà abeliana C di A tale che A è isogeno a . $f: A \ a B$ $B \ volte C$

Si deduce che qualsiasi varietà abeliana A è isogena a un prodotto di semplici varietà abeliane. Tutti questi semplici fattori sono unici tranne che per le permutazioni e le isogene.

Anelli di endomorfismo

Sia A una varietà abeliana su k di dimensione g . Fine Nota ( A ) l'insieme di endomorfismi di A .

Teorema L'insieme End ( A ) è naturalmente un anello. Come modulo su ℤ, è privo di rango al massimo 4 g .

La struttura dell'anello End ( A ) è più semplice quando è possibile invertire le isogenesi. Indichiamo con End 0 ( A ) il prodotto tensoriale su ℤ di End ( A ) con il campo dei numeri razionali . ${\ mathbb Q}$

Teorema Se A è isogeno al prodotto con semplice ,, e non isogenico a se i è diverso da j , allora è isomorfo al prodotto , dove è un campo sinistro di dimensione finita su k , e dove denota l'algebra della matrice quadrata di ordine n . $\ prod _ {i} A_ {i} ^ {{r_ {i}}}$ $Avere}$ $r_ {i} \ geq 1$ $Avere}$ $A_ {j}$ ${\ mathrm {End}} ^ {0} (A)$ $\ prod _ {i} M _ {{r_ {i}}} (k_ {i})$ $k_ {i} = {\ mathrm {End}} ^ {0} (A_ {i})$ $M_ {n}$

Modulo Tate

Abbiamo visto che su ℂ, è un quoziente (come varietà analitica) di ℂ da un reticolo . Su un corpo , c'è una rete equivalente è il modulo Tate (in) . $A$ $^ {n}$ $\ Lambda$ $K$ $\ Lambda$

Definizione. - Sia un numero primo distinto dall'esponente caratteristico di k . Abbiamo un sistema proiettivo , dove le mappe di transizione sono la moltiplicazione per . Quindi il modulo di Tate (dal nome del matematico John Tate ) di è il limite proiettivo, indicato di . $l$ $(A ({\ bar {k}}) [l ^ {n}]) _ {n}$ $l$ $A$ $Sei qui)$ $(A ({\ bar {k}}) [l ^ {n}]) _ {n}$

Il modulo di Tate è naturalmente un modulo sull'anello ℤ di interi -adici. $_{{l}}$ $l$

Proposta. - è isomorfo a ℤ . $Sei qui)$ $_ {{l}} ^ {{2g}}$

Il gruppo assoluto di Galois Gal ( ) agisce naturalmente attraverso la sua azione sui punti di torsione (che sono tutti definiti sulla staccionata separabile di in ). La struttura di un modulo di Galois è molto importante nella geometria aritmetica, ad esempio quando il campo base è un campo numerico. $k ^ {s} / k$ $Sei qui)$ $A ({\ bar {k}}) [l ^ {n}]$ $k ^ {s}$ $K$ ${\ abbaiare}}$ $Sei qui)$ $K$

Doppia varietà abeliana

Definizione Sia una varietà abeliana su un campo . Mostriamo che il funtore di Picard relativo è rappresentabile da uno schema di gruppo regolare su . La sua componente neutra (componente connessa dell'elemento neutro) è una varietà abeliana su , chiamata la varietà doppia abeliana di . A volte è notato . $A$ $K$ ${{\ rm {Pic}}} _ {{A / k}}$ $K$ ${{\ rm {Pic}}} _ {{A / k}} ^ {0}$ $K$ $A$ $A'$
Descrizione Se è un punto razionale, indichiamo con la traduzione di . È un automorfismo di (come varietà algebrica, non come gruppo algebrico, poiché la traduzione non mantiene l'elemento neutro). Consideriamo l'insieme di (classi di isomorfismo) di fasci invertibili su tali che sia isomorfo a per qualsiasi punto razionale . Quando è algebricamente chiuso, denotiamo questo sottogruppo . Nel caso generale, denotiamo il sottogruppo di fasci invertibili appartenenti a una chiusura algebrica di . Quindi si identifica con . $a \ in A (k)$ $il tuo}$ $a$ $A$ $L$ $A$ $t_ {a} ^ {*} L$ $L$ $a \ in A (k)$ $K$ ${{\ rm {Pic}}} ^ {0} (A)$ ${{\ rm {Pic}}} ^ {0} (A)$ ${{\ rm {Pic}}} (A)$ $L$ ${{\ rm {Pic}}} ^ {0} (A _ {{{\ bar {k}}}})$ ${\ abbaiare}}$ $K$ $A '(k)$ ${{\ rm {Pic}}} ^ {0} (A)$
Fibra Poincaré C'è un fascio invertibile sulla , chiamata fibra Poincaré come P{\ displaystyle P} $P$ A×KA′{\ displaystyle A \ times _ {K} A '} $A \ times _ {K} A '$
- La restrizione è banale (cioè isomorfa a ) e appartiene a qualsiasi punto chiuso . $P | _ {{0 \ times A '}}$ $O _ {{A '}}$ $P | _ {{A \ volte {a}}}$ ${{\ rm {Pic}}} ^ {0} (A _ {{k (a)}})$ $a \ in A '$
- Il covone è universale nel seguente senso: per qualsiasi schema su , e per ogni fascio invertibile su che soddisfi le proprietà di cui sopra (invece di ), esiste un morfismo unico tale che è isomorfo a . $P$ $T$ $K$ $L$ $A \ times _ {k} T$ $P$ $f: T \ to A '$ $(1 \ volte f) ^ {*} P$ $L$
Riflessività Il duale del duale è isomorfo a . $(A')'$ $A$

Polarizzazione

Quando il campo base è algebricamente chiuso, una polarizzazione su è un'isogenesi di nel suo duale, associata a un fascio ampio su . Sui punti, questa isogenesi è data da , dove denota la traduzione di . $K$ $A$ $\ varphi _ {L}: dalla A \ alla A '$ $A$ $L$ $A$ $a \ mapsto t_ {a} ^ {*} L \ otimes L ^ {{- 1}}$ $il tuo}$ $a$

Su qualsiasi campo base, una polarizzazione su è un'isogenesi che è della forma su chiusura algebrica di . $A$ $A \ ad A '$ $\ varphi _ {L}$ $K$

Un teorema di Frobenius dice che il grado di questa isogenia è uguale al quadrato di dove g è la dimensione di A , D è un divisore su A il cui fascio associato è isomorfo a L , e dove è il numero di intersezione di D con se stesso g volte. $D ^ {g} / g!$ $D ^ {g}$

Una varietà abeliana dotata di polarizzazione è chiamata varietà abeliana polarizzata . Il grado di polarizzazione è semplicemente il grado di isogenesi. Una polarizzazione principale è una polarizzazione di grado 1, quindi un isomorfismo. Una varietà abeliana prevalentemente polarizzata è una varietà abeliana con una polarizzazione principale. Ogni curva Jacobiana è principalmente polarizzata (quindi isomorfa al suo duale) con la polarizzazione definita dal divisore theta.

Modelli abeliani

La nozione di varietà abeliane è generalizzata in famiglie di varietà abeliane. Uno schema abeliano su uno schema S è uno schema di gruppo su S proprio e le cui fibre sono varietà abeliane. Alcune nozioni come isogenie, polarizzazione, varietà duale, si generalizzano a schemi abeliani (proiettivi).

Appunti

(in) Kiyosi Ito , Dizionario enciclopedico di matematica , MIT Press ,1993, 2 ° ed. , 2148 p. ( ISBN 978-0-262-59020-4 , leggi online ) , p. 6
chiamato anche (perché segue) teorema di Riemann-Roch, cfr. Mumford, varietà abeliane, III.16, pagina 150

Riferimenti

(en) Marc Hindry e Joseph H. Silverman , Diophantine Geometry: An Introduction , coll. " GTM " (n ° 201), Springer, 2000
(it) James Milne, "Varietà abeliane", in Arithmetical Geometry (a cura di Cornell e Silverman), Springer, 1984
(it) James Milne , varietà abeliane , dispense
(en) David Mumford , varietà abeliane , 1974 (canna. 1985)
André Weil , Curve algebriche e varietà abeliane , 1948