Triangolo di Pascal (2.1)

In matematica , il triangolo di Pascal (2,1) (o il triangolo di Lucas ) è un insieme triangolare .

Le righe del triangolo di Pascal (2,1) - continua A029653 da OEIS - sono classicamente ordinate a partire dalla riga n = 0 in alto (la th riga). Le voci in ogni riga sono numerate da sinistra a partire da k = 0 e sono solitamente sfalsate dai numeri nelle righe adiacenti, in modo da formare un triangolo.

Il triangolo è basato sul triangolo di Pascal con la seconda riga (2,1) e la prima cella di ogni riga 2.

Questa costruzione è correlata ai coefficienti binomiali , uno dei termini è . ${\ displaystyle 2x + y}$

{\ displaystyle (2x + y) (x + y) ^ {n-1}}

Proprietà

Il triangolo di Pascal (2,1) ha molte proprietà e contiene molti modelli di numeri. Possiamo pensarla come una sorella del triangolo di Pascal, allo stesso modo in cui una sequenza di Lucas è una sequenza sorella della sequenza di Fibonacci .

Riga

Ad eccezione della prima riga n = 0, 1, la somma degli elementi in una singola riga è il doppio della somma della riga precedente. Ad esempio, la riga 1 ha un valore di 3, la riga 2 ha un valore di 6, la riga 3 ha un valore di 12 e così via. Questo perché ogni elemento di una riga produce due elementi nella riga successiva: uno a sinistra e uno a destra. La somma degli elementi della riga n è uguale a . (seguito A003945 della OEIS prosecuzione A007283 del OEIS ) ${\ displaystyle 3 \ times 2 ^ {n-1}}$
Il valore di una riga , se ogni voce è considerata un decimale è una potenza di 11 moltiplicata per 21 ( , per la riga n). Quindi, nella riga due, ⟨2, 3, 1⟩ diventa , e ⟨2, 9, 16, 14, 6, 1⟩ nella riga cinque diventa (dopo il riarrangiamento) 307461, cioè . Questa proprietà è spiegata da x = 10 nell'espansione binomiale di (2 x + 1) ( x + 1) n −1 . Ma x può essere scelto per consentire alle righe di rappresentare valori in qualsiasi base . 21×11non-1{\ displaystyle 21 \ times 11 ^ {n-1}} ${\ displaystyle 21 \ times 11 ^ {n-1}}$ 21×11{\ displaystyle 21 \ times 11} ${\ displaystyle 21 \ times 11}$ 21×114{\ displaystyle 21 \ times 11 ^ {4}} ${\ displaystyle 21 \ times 11 ^ {4}}$
- In base 3 : ${\ displaystyle 231_ {3} = 7 \ times 4 (28)}$
- ${\ displaystyle (2,5,4,1) \ rightarrow 11011_ {3} = 7 \ times 4 ^ {2} (112)}$
- In base 9: ${\ displaystyle 231_ {9} = 19 \ times 10 (190)}$
- , ${\ displaystyle 2541_ {9} = 19 \ times 10 ^ {2} (1900)}$
- ${\ displaystyle (2,9,16,14,6,1) \ rightarrow 318561_ {9} = 19 \ times 10 ^ {4} (190000)}$
Polarità: quando le righe triangolari di Pascal vengono aggiunte e sottratte insieme in successione, ogni riga con un numero medio, cioè con un numero dispari di interi, sarà sempre 0. Ad esempio, la riga 4 è 2 7 9 5 1, quindi la formula sarebbe 9 - (7 + 5) + (2 + 1) = 0, la riga 6 è 2 11 25 30 20 7 1, quindi la formula sarebbe 30 - (25 + 20) + (11 + 7) - (2 + 1) = 0. Quindi ogni riga nel triangolo Pascal è uguale a 0 quando prendi il numero al centro, quindi sottrai gli interi direttamente accanto al centro, quindi aggiungi gli interi seguenti, quindi sottrai e così via fino a raggiungere la fine della riga.
- Oppure possiamo dire che quando prendiamo il primo termine di fila, sottraiamo il secondo termine, quindi aggiungiamo il terzo termine, poi sottraiamo e così via, fino a raggiungere la fine della riga, il risultato è sempre uguale a 0.
- riga 3: 2-3 + 1 = 0
- riga 4: 2 - 5 + 4 - 1 = 0
- riga 5: 2 - 7 + 9 - 5 + 1 = 0
- riga 6: 2 - 9 + 16 - 14 + 6 - 1 = 0
- riga 7: 2-11 + 25-30 + 20-7 + 1 = 0
- riga 8: 2 - 13 + 36 - 55 + 50 - 27 + 8 - 1 = 0

Diagonali

Le diagonali del triangolo di Pascal (2,1) contengono numeri figurati :

Le diagonali che passano per i bordi di destra contengono solo 1, mentre le diagonali che passano per i bordi di destra contengono solo 2 secondi, ad eccezione della prima cella.
Le diagonali accanto alla diagonale del bordo sinistro contengono i numeri dispari in ordine.
Le diagonali accanto alla diagonale del bordo destro contengono i numeri naturali in ordine.
Spostandosi verso l'interno, la successiva coppia di diagonali contiene i numeri del quadrato e del triangolo meno 1, in ordine.
La successiva coppia di diagonali contiene i numeri piramidali quadrati in ordine, e la successiva coppia di numeri fornisce piramidali in 4 dimensioni (continua A002415 di OEIS ).

Paterns globali

Il modello ottenuto colorando solo i numeri dispari nel triangolo di Pascal ricorda da vicino il frattale chiamato triangolo di Sierpinski . Questa somiglianza diventa sempre più precisa man mano che vengono considerate nuove righe; Nel limite, quando il numero di righe si avvicina all'infinito, il modello risultante è il triangolo di Sierpinski, assumendo un perimetro fisso. Più in generale, i numeri possono essere colorati in modo diverso a seconda che siano multipli di 3, 4, ecc. Ciò si traduce in altri modelli simili.
Immagina che ogni numero nel triangolo sia un nodo in una griglia che è connesso ai numeri adiacenti sopra e sotto. Ora, per qualsiasi nodo nella griglia, contando il numero di percorsi nella griglia (senza ritorno) che collegano quel nodo al nodo superiore del triangolo. La risposta è il numero Pascal (2,1) associato a questo nodo.
Una proprietà del triangolo viene rivelata se le righe sono giustificate a sinistra. Nel triangolo sotto le strisce diagonali colorate riassumono il numero di Fibonacci e il numero di Lucas .

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2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

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Questa costruzione è anche correlata all'espansione di , ponendo . ${\ displaystyle x ^ {n} + {\ frac {1} {x ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle y = x + {\ frac {1} {x}}}$
allora

{\ displaystyle {\ begin {align} x ^ {0} + {\ frac {1} {x ^ {0}}} & = 2 \\ [5pt] x ^ {1} + {\ frac {1} { x ^ {1}}} & = y \\ [5pt] x ^ {2} + {\ frac {1} {x ^ {2}}} & = y ^ {2} -2 \\ [5pt] x ^ {3} + {\ frac {1} {x ^ {3}}} & = y ^ {3} -3y \\ [5pt] x ^ {4} + {\ frac {1} {x ^ {4 }}} & = y ^ {4} -4y ^ {2} +2 \\ [5pt] x ^ {5} + {\ frac {1} {x ^ {5}}} & = y ^ {5} -5 anni ^ {3} + 5 anni \ end {allineato}}}

Riferimenti

(in) " (1.2) -Pascal triangle - OeisWiki " su oeis.org (visitato il 23 febbraio 2016 )
" A029653 - OEIS " , su oeis.org (consultato il 24 dicembre 2015 )
Wolfram, S., " Teoria di calcolo degli automi cellulari ", comm. Matematica. Phys. , vol. 96,1984, p. 15–57 ( DOI 10.1007 / BF01217347 , codice biblico 1984CMaPh..96 ... 15W )
“ Un valore esatto per la costante di struttura fine. - Pagina 7 - Fisica e Matematica " su Science Forum (accessibile il 1 ° febbraio 2016 )

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2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

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