Teorema di Gua
In matematica , il teorema di De Gua è un'estensione del teorema di Pitagora alla geometria nello spazio . Fu enunciato da René Descartes e Johann Faulhaber già nel 1622. De Gua lo dimostrò nel 1783 utilizzando le formule di Airone d'Alessandria .
stati
Siano O, A, B, C un tetraedro a tre rettangoli in O.
Il quadrato dell'area della faccia ABC è la somma dei quadrati delle aree delle altre tre facce.
AABVS2=AABO2+AAVSO2+ABVSO2{\ displaystyle A_ {ABC} ^ {2} = A _ {\ color {blu} ABO} ^ {2} + A _ {\ color {verde} ACO} ^ {2} + A _ {\ color {rosso} BCO} ^ {2}}
Dimostrazione
Indichiamo con a, b, c le rispettive lunghezze dei bordi OA, OB, OC
Considera il volume interno tagliato dal tetraedro, è uguale a ABC/6=vs/3AABO{\ displaystyle A _ {\ color {blue} ABO}}=b/3AAVSO{\ displaystyle A _ {\ color {green} ACO}}=a/3ABVSO{\ displaystyle A _ {\ color {red} BCO}} ma anche a h/3AABVS{\ displaystyle A_ {ABC}} dove h indica l'altezza associata alla faccia ABC.
Poiché il vettore è normale al piano ABC, vale questa altezzanon→=(bvs)2OA→+(avs)2OB→+(ab)2OVS→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {n}} = (bc) ^ {2} {\ overrightarrow {OA}} + (ac) ^ {2} {\ overrightarrow {OB}} + (ab) ^ {2} {\ overrightarrow {OC}}}h=<OA→|non→>||non→||{\ displaystyle \ scriptstyle h = {<{\ overrightarrow {OA}} | {\ overrightarrow {n}}> \ over || {\ overrightarrow {n}} ||}}
Quindi noi, in volumi corrispondenti . O semplificando ; la formula richiesta.
abvs6=13abvs(bvs)2+(avs)2+(ab)2AABVS{\ displaystyle {\ frac {abc} {6}} = {\ frac {1} {3}} {\ frac {abc} {\ sqrt {(bc) ^ {2} + (ac) ^ {2} + (ab) ^ {2}}}} A_ {ABC}}4AABVS2=(ab)2+(bvs)2+(avs)2{\ displaystyle 4A_ {ABC} ^ {2} = (ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ac) ^ {2}}
Estensione
La formula si estende alle dimensioni superiori, che Descartes osserva per la dimensione 4, nelle sue note del 1619/1623.
Una dimostrazione di questo caso generale può essere trovata nel numero 6 dell'American Monthly 2006.
Riferimenti
-
Storia della Royal Academy of Sciences ,1 ° gennaio 1786, 374 e seguenti. p. ( leggi online ).
-
Adam and Tannery, Complete Works of Descartes ( leggi online ) , p. 256 e seguenti.
-
(in) Quadrat, " Teorema di Pitagora per le aree. " , Mensile americano ,giugno 2006( leggi online ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">