Teorema di Ulam

Il teorema di Ulam è un teorema riguardante le tribù (o σ-algebra), in misura teoria e probabilità . Questo teorema giustifica in parte l'introduzione di questi concetti. È stato dimostrato in un articolo scritto da Stefan Banach e Kazimierz Kuratowski nel 1929 usando l'ipotesi del continuum , poi da Stanislaw Ulam nel 1930 sotto ipotesi più deboli.

stati

Misurazione diffusa

Definizione  -  Sia uno spazio misurato . Diciamo che un elemento è un atomo per se . Diciamo che la misura è diffusa se è priva di atomi. (Ω,A,μ){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mu)}X∈X{\ displaystyle x \ in X}μ{\ displaystyle \ mu}μ({X})>0{\ Displaystyle \ mu \ left (\ left \ {x \ right \} \ right)> 0}

Ad esempio, se , una misura diversa da zero non può essere diffusa. Infatti, se una misura è diversa da zero, allora per σ-additività quindi necessariamente, è diversa da zero per almeno una . Arriviamo alla stessa conclusione per qualsiasi universo al più numerabile fornito con la sua tribù discreta . (Ω,A)=(NON,P(NON)){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}} \ right) = \ left (\ mathbb {N}, {\ mathcal {P}} \ left (\ mathbb {N} \ right) \ right) }μ(NON)=∑non∈NONμ({non})>0{\ textstyle \ mu \ left (\ mathbb {N} \ right) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} \ mu \ left (\ {n \} \ right)> 0}μ({non}){\ displaystyle \ mu \ left (\ {n \} \ right)}non∈NON{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}

Teorema di Ulam (1930)

Teorema di Ulam (1930)  -  Non c'è probabilità diffusa su . (R,P(R)){\ displaystyle \ left (\ mathbb {R}, {\ mathcal {P}} \ left (\ mathbb {R} \ right) \ right)}

Questo teorema mostra che le probabilità su un tale spazio sono necessariamente discrete . In effetti, così sia . Quindi otteniamo , ed è sempre cardinale al massimo . Pertanto, è al massimo numerabile . Tuttavia l'evento è trascurabile, altrimenti sarebbe una probabilità diffusa su chi ha il potere del continuum, cosa impossibile in virtù del teorema di Ulam. è quindi quasi sicuro. D={ω∈Ω|P({ω})>0}{\ Displaystyle D = \ left \ {\ omega \ in \ Omega | \ mathbb {P} \ left (\ left \ {\ omega \ right \} \ right)> 0 \ right \}}D=⋃non∈NON∗{ω∈Ω|P({ω})>1non}{\ textstyle D = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} \ left \ {\ omega \ in \ Omega | \ mathbb {P} \ left (\ left \ {\ omega \ right \ } \ right)> {\ frac {1} {n}} \ right \}}{ω∈Ω|P({ω})>1non}{\ textstyle \ left \ {\ omega \ in \ Omega | \ mathbb {P} \ left (\ left \ {\ omega \ right \} \ right)> {\ frac {1} {n}} \ right \} }non{\ displaystyle n}D{\ displaystyle D}Ω′=Ω∖D{\ displaystyle \ Omega '= \ Omega \ setminus D}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}PP(Ω′){\ textstyle {\ frac {\ mathbb {P}} {\ mathbb {P} (\ Omega ')}}}(Ω′,P(Ω′)){\ displaystyle \ left (\ Omega ', {\ mathcal {P}} \ left (\ Omega' \ right) \ right)}D{\ displaystyle D}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}

Osservazioni

• Come mostra la prova presentata di seguito, il risultato di Ulam è più generale:

Teorema  -  Se c'è un cardinale per il quale c'è una probabilità diffusa , allora questo è maggiore di un cardinale debolmente accessibile. ℵα{\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}(ℵα,P(ℵα)){\ displaystyle (\ aleph _ {\ alpha}, {\ mathcal {P}} (\ aleph _ {\ alpha}))}

Quindi è sufficiente presumere che sia inferiore a qualsiasi cardinale debolmente inaccessibile affinché il teorema di Ulam sia vero. 2ℵ0{\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}

• Il teorema è falso se sostituiamo "probabilità diffusa" con "misura diffusa". In effetti, l'applicazione è una misura, poiché un'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile ed è diffusa.μ:P(R)→[0;+∞]A↦{0SecartaA⩽ℵ0+∞altrimenti{\ displaystyle \ mu: {\ begin {array} {ccl} {\ mathcal {P}} (\ mathbb {R}) & \ rightarrow & [0; + \ infty] \\ A & \ mapsto & {\ begin {case} 0 & {\ textrm {si}} \; {\ textrm {card}} \, A \ leqslant \ aleph _ {0} \\ + \ infty & {\ textrm {altrimenti}} \ end {cases} } \ end {array}}}

Dimostrazione

Lemmi utili

Lemma (i)  -  Se non c'è probabilità diffusa su , non c'è nemmeno misura diversa da zero che è limitata e diffusa. (Ω,A){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}

Se è attiva una misura limitata e diffusa diversa da zero , allora è attiva una probabilità diffusa . μ{\ displaystyle \ mu}(Ω,A){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}μμ(Ω){\ textstyle {\ frac {\ mu} {\ mu (\ Omega)}}}(Ω,A){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}

Lemma (ii)  -  Se esiste una probabilità diffusa su e se è un evento non trascurabile, allora esiste una probabilità diffusa su mun con la traccia tribù di suP{\ displaystyle \ mathbb {P}}(Ω,A){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}Ω′∈A{\ displaystyle \ Omega '\ in {\ mathcal {A}}}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}Ω′{\ displaystyle \ Omega '}A{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}Ω′{\ displaystyle \ Omega '}

Q:{A∩Ω′|A∈A}→[0;1]A′↦P(A′){\ displaystyle \ mathbb {Q}: {\ begin {array} {ccl} \ {A \ cap \ Omega '| A \ in {\ mathcal {A}} \} & \ rightarrow & [0; 1] \\ A '& \ mapsto & \ mathbb {P} (A') \ end {array}}} è una misura diffusa delimitata diversa da zero, quindi per il Lemma (i) esiste una probabilità diffusa sulla traccia tribù.

Con l'ipotesi del continuo

Consideriamo un insieme di cardinali . Secondo l'ipotesi del continuo, ha la potenza del continuo , cioè è equipotente all'insieme dei numeri reali. Ω{\ displaystyle \ Omega}ℵ1{\ displaystyle \ aleph _ {1}}

Lemma  -  Esiste un buon ordine su tale che tutti i segmenti iniziali siano al massimo numerabili, vale a dire: ⪯{\ displaystyle \ preceq}Ω{\ displaystyle \ Omega}

∀ω∈Ω,{X∈Ω|X≺ω}{\ displaystyle \ forall \ omega \ in \ Omega, \ left \ {x \ in \ Omega | x \ prec \ omega \ right \}} è al massimo numerabile.

La seguente dimostrazione di questo lemma utilizza sia l'ipotesi del continuo che l'assioma della scelta tramite il teorema di Zermelo .

Dimostrazione

Secondo l'ipotesi del continuo, è equipotente al cardinale più piccolo non numerabile e quindi anche al più piccolo ordinale non numerabile. Sia una biiezione. Se denotiamo la stretta relazione d'ordine tra gli ordinali, allora definiamo la relazione d'ordine tale che . Per costruzione, è in aumento ed è un buon ordine. Ciascun segmento iniziale appropriato di è quindi isomorfo a un segmento iniziale appropriato di , che è al massimo numerabile per minimalità di . Ω{\ displaystyle \ Omega}ℵ1{\ displaystyle \ aleph _ {1}}f:Ω→≈ℵ1{\ displaystyle f: \ Omega {\ overset {\ approx} {\ to}} \ aleph _ {1}}<{\ displaystyle <}X≺y⟺f(X)<f(y){\ Displaystyle x \ prec y \ iff f (x) <f (y)}f{\ displaystyle f}⪯{\ displaystyle \ preceq}(Ω,⪯){\ displaystyle (\ Omega, \ preceq)}ℵ1{\ displaystyle \ aleph _ {1}}ℵ1{\ displaystyle \ aleph _ {1}}

Nota . L'assioma della scelta ci consente di considerare, per un'intera iniezione , che estendiamo in un'applicazione posando per . Quindi impostiamo, per eS(z)={X∈Ω|X≺z}{\ textstyle S (z) = \ {x \ in \ Omega | x \ prec z \}}z∈Ω{\ textstyle z \ in \ Omega}φz:S(z)↪NON{\ displaystyle \ varphi _ {z}: S (z) \ hookrightarrow \ mathbb {N}}φz′:Ω→NON∪{+∞}{\ displaystyle \ varphi '_ {z}: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {N} \ cup \ {+ \ infty \}}φz′(X)=+∞{\ displaystyle \ varphi '_ {z} (x) = + \ infty}X∉S(z){\ displaystyle x \ notin S (z)}non∈NON{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}X∈Ω{\ displaystyle x \ in \ Omega}

FXnon={z∈Ω|z≻X,φz′(X)=non}{\ displaystyle F_ {x} ^ {n} = \ {z \ in \ Omega | z \ succ x, \ varphi '_ {z} (x) = n \}} La collezione di si chiama Ulam Matrix . Abbiamo i set come segue:(FXnon){\ displaystyle (F_ {x} ^ {n})} FX00FX10⋯FX01FX11⋮⋱{\ displaystyle {\ begin {matrix} F_ {x_ {0}} ^ {0} & F_ {x_ {1}} ^ {0} & \ cdots \\ F_ {x_ {0}} ^ {1} & F_ {x_ {1}} ^ {1} \\\ vdots && \ ddots \ end {matrix}}} Notiamo quindi che:

• su ogni riga, gli insiemi sono due a due disgiunti dall'iniettività di .φz{\ displaystyle \ varphi _ {z}}
• su ogni colonna abbiamo: ⋃non∈NONFXnon={y∈Ω|y≻X}=Ω∖S(X+1){\ textstyle \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} F_ {x} ^ {n} = \ {y \ in \ Omega | y \ succ x \} = \ Omega \ setminus S (x + 1) }

Ora, qualunque cosa , e finito, quindi è

sommabile e necessariamente è al massimo numerabile, quindi è anche al massimo numerabile. Di conseguenza, poiché è di cardinalità strettamente maggiore di quella di , esiste necessariamente una colonna di indice i cui tutti sono di probabilità zero. Quindi per σ-additività, quindi e . As è al massimo numerabile e σ-additivo, e quindi c'è almeno un atomo in . non∈NON{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}J⊂Ω{\ displaystyle J \ subset \ Omega}P(⨄X∈JFXnon)=∑X∈JP(FXnon)⩽1{\ textstyle \ mathbb {P} \ sinistra (\ biguplus _ {x \ in J} F_ {x} ^ {n} \ right) = \ sum _ {x \ in J} \ mathbb {P} (F_ {x } ^ {n}) \ leqslant 1}(P(FXnon))X∈Ω{\ textstyle \ sinistra (\ mathbb {P} \ sinistra (F_ {x} ^ {n} \ destra) \ destra) _ {x \ in \ Omega}}{X∈Ω|P(FXnon)>0}{\ displaystyle \ {x \ in \ Omega | \ mathbb {P} (F_ {x} ^ {n})> 0 \}}⋃non∈NON{X∈Ω|P(FXnon)>0}{\ textstyle \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} \ {x \ in \ Omega | \ mathbb {P} (F_ {x} ^ {n})> 0 \}}Ω{\ displaystyle \ Omega}NON{\ displaystyle \ mathbb {N}}X0∈Ω{\ displaystyle x_ {0} \ in \ Omega}FX0non{\ displaystyle F_ {x_ {0}} ^ {n}}P(⋃non∈NONFX0non)=0{\ textstyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} F_ {x_ {0}} ^ {n} \ right) = 0}P(Ω∖S(X0+1))=0{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ Omega \ setminus S (x_ {0} +1) \ right) = 0}P(S(X0+1))=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (S (x_ {0} +1)) = 1}S(X0+1){\ displaystyle S (x_ {0} +1)}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}P(S(X0+1))=∑X∈S(X0+1)P({X})=1{\ textstyle \ mathbb {P} \ left (S (x_ {0} +1) \ right) = \ sum _ {x \ in S (x_ {0} +1)} \ mathbb {P} (\ {x \}) = 1}S(X0+1){\ displaystyle S (x_ {0} +1)}

Con le ipotesi di Ulam

L'ipotesi di Ulam è più debole: presume che qualsiasi cardinale inferiore a è

accessibile (in senso debole). Più precisamente, se si suppone l'esistenza del più piccolo cardinale (infinito) per il quale esiste una probabilità diffusa , allora è necessariamente debolmente inaccessibile. 2ℵ0{\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}

La proposizione I  -  è limite, cioè non è della forma . ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}μ{\ displaystyle \ mu}ν+1{\ displaystyle \ nu +1}

In effetti, se assumiamo , per definizione , non vi è alcuna misura diffusa diversa da zero limitata né per i cardinali inferiori. Si esibisce quindi con una dimostrazione dello stesso tipo in modo che non possa essere diffusa. Impostiamo e scegliamo un'iniezione per tutti , che necessariamente esiste poiché i segmenti iniziali propri di sono di cardinale . Abbiamo quindi impostato a  : .μ=ν+1{\ displaystyle \ mu = \ nu +1}ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}(ℵν,P(ℵν)){\ displaystyle (\ aleph _ {\ nu}, {\ mathcal {P}} (\ aleph _ {\ nu}))}μ=1{\ displaystyle \ mu = 1}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}S(z)={X∈ℵμ|X<z}{\ displaystyle S (z) = \ {x \ in \ aleph _ {\ mu} | x <z \}}φz:S(z)↪ℵν{\ displaystyle \ varphi _ {z}: S (z) \ hookrightarrow \ aleph _ {\ nu}}z∈ℵμ{\ displaystyle z \ in \ aleph _ {\ mu}}ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}<ℵμ{\ displaystyle <\ aleph _ {\ mu}}X∈ℵμ,non∈ℵν{\ Displaystyle x \ in \ aleph _ {\ mu}, n \ in \ aleph _ {\ nu}}FXy={non∈ℵμ|z>X,φz(X)=non}{\ displaystyle F_ {x} ^ {y} = \ {n \ in \ aleph _ {\ mu} | z> x, \ varphi _ {z} (x) = n \}}

F00F10⋯F01F11⋮⋱{\ displaystyle {\ begin {matrix} F_ {0} ^ {0} & F_ {1} ^ {0} & \ cdots \\ F_ {0} ^ {1} & F_ {1} ^ {1} \\ \ vdots && \ ddots \ end {matrix}}}

Su ogni riga, gli insiemi sono disgiunti e ogni colonna . Per finito, quindi è sommabile e necessariamente è al massimo numerabile, quindi è al massimo cardinale (anzi, questo insieme è iniettato in quindi in ). Come , c'è tale che . Allora mettiamoci in posa . Controlliamo che sia una misura limitata diffusa, quindi è necessariamente zero secondo il Lemma (i), quindi e . Per il Lemma (ii), esiste una probabilità diffusa che sia al massimo cardinale , che contraddice la minimalità di . ⋃non∈ℵνFXnon={y∈ℵμ|y>X}=ℵμ∖S(X+1){\ textstyle \ bigcup _ {n \ in \ aleph _ {\ nu}} F_ {x} ^ {n} = \ {y \ in \ aleph _ {\ mu} | y> x \} = \ aleph _ { \ mu} \ setminus S (x + 1)}non∈ℵν,J⊂ℵμ{\ Displaystyle n \ in \ aleph _ {\ nu}, J \ subset \ aleph _ {\ mu}}P(⨄X∈JFXnon)=∑X∈JP(FXnon)⩽1{\ textstyle \ mathbb {P} \ sinistra (\ biguplus _ {x \ in J} F_ {x} ^ {n} \ right) = \ sum _ {x \ in J} \ mathbb {P} (F_ {x } ^ {n}) \ leqslant 1}(P(FXnon))X∈ℵμ{\ textstyle \ sinistra (\ mathbb {P} \ sinistra (F_ {x} ^ {n} \ destra) \ destra) _ {x \ in \ aleph _ {\ mu}}}{X∈ℵμ|P(FXnon)>0}{\ displaystyle \ {x \ in \ aleph _ {\ mu} | \ mathbb {P} (F_ {x} ^ {n})> 0 \}}⋃non∈ℵν{X∈ℵμ|P(FXnon)>0}{\ textstyle \ bigcup _ {n \ in \ aleph _ {\ nu}} {\ displaystyle \ {x \ in \ aleph _ {\ mu} | \ mathbb {P} (F_ {x} ^ {n})> 0 \}}}ℵν{\ displaystyle \ aleph _ {\ nu}}ℵ0×ℵν{\ displaystyle \ aleph _ {0} \ times \ aleph _ {\ nu}}ℵν2≈ℵν{\ textstyle \ aleph _ {\ nu} ^ {2} \ circa \ aleph _ {\ nu}}ℵν<ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ nu} <\ aleph _ {\ mu}}X0∈ℵμ{\ displaystyle x_ {0} \ in \ aleph _ {\ mu}}∀non∈ℵν,P(FX0non)=0{\ displaystyle \ forall n \ in \ aleph _ {\ nu}, \ mathbb {P} (F_ {x_ {0}} ^ {n}) = 0}μ:P(ℵν)→[0;1]A↦P(⨄non∈AFX0non){\ displaystyle \ mu: {\ begin {array} {ccl} {\ mathcal {P}} (\ aleph _ {\ nu}) & \ rightarrow & [0; 1] \\ A & \ mapsto & \ mathbb { P} \ left (\ biguplus _ {n \ in A} F_ {x_ {0}} ^ {n} \ right) \ end {array}}}P(ℵμ∖S(X0+1))=0{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ aleph _ {\ mu} \ setminus S (x_ {0} +1)) = 0}P(S(X0+1))=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (S (x_ {0} +1)) = 1}S(X0+1){\ displaystyle S (x_ {0} +1)}ℵν{\ displaystyle \ aleph _ {\ nu}}ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}

Proposizione II  -  è regolare cioè non esiste una sequenza e , con cardinale tale che . ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}ν<μ{\ displaystyle \ nu <\ mu}(Anon)non∈ℵν{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ aleph _ {\ nu}}}Anon{\ displaystyle A_ {n}}<ℵμ{\ displaystyle <\ aleph _ {\ mu}}⋃non∈ℵνAnon=ℵμ{\ displaystyle \ bigcup _ {n \ in \ aleph _ {\ nu}} A_ {n} = \ aleph _ {\ mu}}

Supponiamo infatti che esista e una serie di insiemi, ciascuno dei cardinali tale che . Ci si può allora chiedere, e , . Così costruiti, sono disgiunti a due a due. è quindi una probabilità su , che ha almeno un atomo altrimenti sarebbe in contraddizione con la minimalità di . C'è quindi tale che , da qui una probabilità diffusa su secondo il Lemma (ii), che è falsa per minimalità di . ν<μ{\ displaystyle \ nu <\ mu}(Anon)non∈ℵν{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ aleph _ {\ nu}}}<ℵμ{\ displaystyle <\ aleph _ {\ mu}}⋃non∈ℵνAnon=ℵμ{\ textstyle \ bigcup _ {n \ in \ aleph _ {\ nu}} A_ {n} = \ aleph _ {\ mu}}A0′=A0{\ displaystyle A '_ {0} = A_ {0}}non∈ℵμ{\ displaystyle n \ in \ aleph _ {\ mu}}Anon′=Anon∖(⋃K<nonAK){\ textstyle A '_ {n} = A_ {n} \ setminus \ left (\ bigcup _ {k <n} A_ {k} \ right)}Anon′{\ displaystyle A '_ {n}}Q:P(ℵν)→[0;1]A↦P(⨄non∈AAnon′){\ displaystyle \ mathbb {Q}: {\ begin {array} {ccl} {\ mathcal {P}} (\ aleph _ {\ nu}) & \ rightarrow & [0; 1] \\ A & \ mapsto & \ mathbb {P} (\ biguplus _ {n \ in A} A '_ {n}) \ end {array}}}(ℵν,P(ℵν)){\ displaystyle (\ aleph _ {\ nu}, {\ mathcal {P}} (\ aleph _ {\ nu}))}ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}non0∈ℵν{\ displaystyle n_ {0} \ in \ aleph _ {\ nu}}P(Anon0′)>0{\ displaystyle \ mathbb {P} (A '_ {n_ {0}})> 0}(Anon0′,P(Anon0′)){\ displaystyle (A '_ {n_ {0}}, {\ mathcal {P}} (A' _ {n_ {0}}))}ℵμ{\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}}

Riferimenti

1. Stefan Banach e Casimir Kuratowski , "  Sulla generalizzazione del problema della misurazione  ", Fundamenta Mathematicae , vol.  14,1929, p.  127-131 ( ISSN  0016-2736 e 1730-6329 , DOI  10.4064 / fm-14-1-127-131 , letto online , accesso 3 febbraio 2020 )
2. Stanisław Ulam , "  Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre  ", Fundamenta Mathematicae , vol.  16, n o  1,1930, p.  140-150 ( ISSN  0016-2736 , letto online , accesso 4 febbraio 2020 )
3. Daniel Saada, "  I fondamenti del calcolo delle probabilità  ", Conferenza APMEP ,23 ottobre 2005( leggi online )
4. Daniel SAADA , Tribes et Probabilities sur les universes infinite: seconda edizione , Rambouillet, Art et Poésie,25 febbraio 2014, 340  p. ( ISBN  978-2-9525437-5-0 , leggi online ) , p.  capitolo 3

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