Teoria di Froude

La teoria di Froude è in fluidodinamica , una formulazione matematica delle eliche fisiche basata sul cambiamento della quantità di moto. È stato sviluppato nel XIX °  secolo da William John Macquorn Rankine e Robert Edmund Froude (1889). Questa teoria si applica ai rotori degli elicotteri , alle eliche e agli aerei delle navi , al vento e alle turbine marine .

Ipotesi

La teoria di Froude considera l'elica un disco uniforme. Il disco dell'elica appare come un'elica avente un'infinità di pale di spessore infinitamente piccolo.

Le ipotesi della teoria di Froude sono le seguenti:

• Il flusso è irrotazionale
• Il fluido è incomprimibile
• Il disco dell'elica non causa un vortice di scia elicoidale
• Il flusso è rigorosamente assiale e uniforme su tutta la superficie del disco elicoidale così come in qualsiasi sezione del flusso di fluido. Il flusso è quindi unidirezionale
• Le forze di attrito vengono trascurate.

Il disco dell'elica è considerato in spostamento uniforme e rettilineo nel fluido di velocità V all'infinito a monte. L'effetto principale del disco dell'elica è l'accelerazione del fluido durante il suo passaggio. Questa accelerazione è accompagnata da una discontinuità di pressione e da una contrazione del flusso di fluido. Il disco dell'elica, infatti, esercita una spinta T (in inglese: spinta ) sul fluido al variare della sua quantità di movimento .

La figura mostra una velocità V all'infinito a monte. Questa velocità è algebrica, il che significa che può essere positiva (caso di eliche e rotore di elicottero in volo verticale ascendente), zero (rotore di elicottero in volo stazionario) o negativa (caso di turbine eoliche e rotore di elicottero in volo verticale discendente) . Nell'ordine verranno rispettivamente studiati i casi di volo stazionario, volo ascendente e quindi volo discendente.

Volo in bilico

V=0{\ displaystyle V = 0}

La velocità al passaggio del disco dell'elica è chiamata velocità indotta. Quindi produce la velocità all'infinito a valle. L'equazione di conservazione del flusso è scritta: vio{\ displaystyle {{vb} _ {i}}}v∞{\ displaystyle {{vb} _ {\ infty}}}

ρSvio=ρS2v∞{\ displaystyle \ rho S {{v} _ {i}} = \ rho {{S} _ {2}} {{v} _ {\ infty}}}

La spinta è data dalla variazione della quantità di moto:

T=ρSviov∞{\ displaystyle T = \ rho S {{v} _ {i}} {{v} _ {\ infty}}}

La spinta può essere espressa anche in funzione della discontinuità di pressione:

T=S(p+-p-){\ displaystyle T = S \ sinistra ({{p} _ {+}} - {{p} _ {-}} \ destra)}

Scriviamo la relazione di Bernoulli a monte ea valle del disco elicoidale:

p∞=p-+12ρvio2p++12ρvio2=p∞+12ρv∞2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {\ infty}} = {{p} _ {-}} + {\ frac {1} {2}} \ rho v_ {i} ^ {2 } \\ & {{p} _ {+}} + {\ frac {1} {2}} \ rho v_ {i} ^ {2} = {{p} _ {\ infty}} + {\ frac { 1} {2}} \ rho v _ {\ infty} ^ {2} \\\ end {align}}}

Da ciò si deduce la seguente relazione:

v∞=2vio{\ displaystyle {{v} _ {\ infty}} = 2 {{v} _ {i}}}

Dimostrazione:

Teorema di Bernoulli: v22+g⋅z+pρ=vsononStanonte{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + g \ cdot z + {\ frac {p} {\ rho}} = \ mathrm {costante}}  Consideriamo che non ci sia variazione di altitudine quindi: v22+pρ=vsononStanonte{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + {\ frac {p} {\ rho}} = \ mathrm {costante}}  Si ottengono quindi a monte ea valle del disco elicoidale: p∞=p-+12ρvio2p++12ρvio2=p∞+12ρv∞2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {\ infty}} = {{p} _ {-}} + {\ frac {1} {2}} \ rho v_ {i} ^ {2 } \\ & {{p} _ {+}} + {\ frac {1} {2}} \ rho v_ {i} ^ {2} = {{p} _ {\ infty}} + {\ frac { 1} {2}} \ rho v _ {\ infty} ^ {2} \\\ end {align}}} Sostituendo, p++12ρvio2=12ρv∞2+p-+12ρvio2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {+}} + {\ frac {1} {2}} \ rho v_ {i} ^ {2} = {\ frac {1} {2} } \ rho v _ {\ infty} ^ {2} + {{p} _ {-}} + {\ frac {1} {2}} \ rho v_ {i} ^ {2} \\\\\ end {align}}} Riduciamo: p+=12ρv∞2+p-{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {+}} = {\ frac {1} {2}} \ rho v _ {\ infty} ^ {2} + {{p} _ {- }} \\\ fine {allineato}}} Δp=12ρv∞2{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta p = {\ frac {1} {2}} \ rho v _ {\ infty} ^ {2} \ end {align}}} Sappiamo però che la spinta può essere data sia dalla variazione di pressione, sia dalla variazione di velocità: T=ρSviov∞{\ displaystyle T = \ rho S {{v} _ {i}} {{v} _ {\ infty}}} T=S(p+-p-){\ displaystyle T = S \ sinistra ({{p} _ {+}} - {{p} _ {-}} \ destra)} Otteniamo : ρviov∞=Δp{\ displaystyle \ rho {{v} _ {i}} {{v} _ {\ infty}} = \ Delta p} Quindi abbiamo: 12ρv∞2=ρviov∞{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ rho v _ {\ infty} ^ {2} = \ rho {{v} _ {i}} {{v} _ {\ infty}}} Semplifichiamo: 12v∞=vio{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} v _ {\ infty} = {{v} _ {i}}} L'espressione della spinta data dalla variazione della quantità di moto può essere semplificata: T=2ρSvio2{\ displaystyle T = 2 \ rho S {{v} _ {i}} ^ {2}}

Pertanto, la velocità della scia all'infinito a valle è il doppio della velocità indotta. Abbiamo la relazione:

vio=T2ρS{\ displaystyle {{v} _ {i}} = {\ sqrt {\ frac {T} {2 \ rho S}}}}

Pertanto, la velocità indotta carica superficiale varia con il disco dell'elica: . La potenza necessaria per l'accelerazione del fluido è data dall'espressione TS{\ displaystyle {\ frac {T} {S}}}

Pio=Tvio{\ displaystyle {{P} _ {i}} = T {{v} _ {i}}}

Questo potere è chiamato potenza indotta. Si osserva facilmente che la potenza indotta varia con la velocità indotta e con il carico superficiale del disco dell'elica. Va notato che la potenza indotta dal volo stazionario costituisce la maggior parte della potenza richiesta per il volo di un elicottero. Appare quindi chiaramente l'importanza del dimensionamento del rotore.

Coefficienti adimensionali

Per fare confronti rilevanti tra le diverse eliche, dovrebbero essere definiti coefficienti adimensionali. Per quanto riguarda la velocità, il riferimento è costituito dalla velocità all'estremità della lama:

vT=Rω{\ displaystyle {{v} _ {T}} = R \ omega}

L'ipotesi di incomprimibilità corrisponde al limite del dominio subsonico per la velocità alla punta della pala. Il coefficiente di velocità indotto è scritto:

λio=vioRω{\ displaystyle {{\ lambda} _ {i}} = {\ frac {{v} _ {i}} {R \ omega}}}

Per la spinta, consideriamo una portanza uniforme del disco dell'elica:

VST=T12ρ(Rω)2S{\ displaystyle {{C} _ {T}} = {\ frac {T} {{\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (R \ omega \ right)} ^ {2}} S }}} o S=πR2{\ displaystyle S = \ pi {{R} ^ {2}}}

Notare la presenza di un coefficiente al denominatore. Il suo utilizzo non è generalizzato. Di conseguenza, si dovrebbe prestare attenzione a fare riferimento alla definizione del coefficiente di spinta prima di qualsiasi confronto. Qualsiasi omissione in quest'area può essere molto fastidiosa o addirittura fastidiosa. 12{\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}

Otteniamo le relazioni:

λio=12VSTVST=4λio2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{\ lambda} _ {i}} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {{C} _ {T}}} \\ & {{C } _ {T}} = 4 \ lambda _ {i} ^ {2} \\\ fine {allineato}}}

Un coefficiente di potenza indotta viene definito allo stesso modo:

VSPio=Pio12ρ(Rω)3S{\ displaystyle {{C} _ {Pi}} = {\ frac {{P} _ {i}} {{\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (R \ omega \ right)} ^ {3}} S}}}

Abbiamo le seguenti relazioni:

VSPio=VSTλioVSPio=12VST3/2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{C} _ {Pi}} = {{C} _ {T}} {{\ lambda} _ {i}} \\ & {{C} _ {Pi} } = {\ frac {1} {2}} {{C} _ {T}} ^ {{3} / {2} \;} \\\ fine {allineato}}}

Volo ascendente

L'equazione di conservazione del flusso è scritta:

ρS0V=ρS(V+vio)=ρS2(V+v∞){\ displaystyle \ rho {{S} _ {0}} V = \ rho S \ sinistra (V + {{v} _ {i}} \ destra) = \ rho {{S} _ {2}} \ sinistra (V + {{v} _ {\ infty}} \ right)}

La variazione della quantità di moto dà la spinta:

T=ρS(V+vio)v∞{\ displaystyle T = \ rho S \ sinistra (V + {{v} _ {i}} \ destra) {{v} _ {\ infty}}}

Scriviamo la relazione di Bernoulli a monte ea valle del disco elicoidale:

p∞+12ρV2=p-+12ρ(V+vio)2p++12ρ(V+vio)2=p∞+12ρ(V+v∞)2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {\ infty}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{V} ^ {2}} = {{p} _ {- }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} \\ & {{p} _ {+ }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} = {{p} _ {\ infty} } + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {\ infty}} \ right)} ^ {2}} \\\ end {align}}}

Ne deduciamo la relazione:

v∞=2vio{\ displaystyle {{v} _ {\ infty}} = 2 {{v} _ {i}}}

Dimostrazione:

Otteniamo con il teorema di Bernoulli a monte ea valle del disco elicoidale: p∞+12ρV2=p-+12ρ(V+vio)2p++12ρ(V+vio)2=p∞+12ρ(V+v∞)2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {\ infty}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{V} ^ {2}} = {{p} _ {- }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} \\ & {{p} _ {+ }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} = {{p} _ {\ infty} } + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {\ infty}} \ right)} ^ {2}} \\\ end {align}}} Sostituendo, p++12ρ(V+vio)2=p-+12ρ(V+vio)2-12ρV2+12ρ(V+v∞)2{\ displaystyle {{p} _ {+}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} = {{p} _ {-}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} - { \ frac {1} {2}} \ rho {{V} ^ {2}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {\ infty}} \ right)} ^ {2}}} Riduciamo: Δp=12ρ(V+v∞)2-12ρV2{\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V + {{v} _ {\ infty}} \ right)} ^ {2}} - {\ frac { 1} {2}} \ rho {{V} ^ {2}}} Sviluppiamo: Δp=ρVv∞+12ρv∞2{\ displaystyle \ Delta p = \ rho V {v} _ {\ infty} + {\ frac {1} {2}} \ rho {v} _ {\ infty} ^ {2}} Sappiamo però che la spinta può essere data sia dalla variazione di pressione, sia dalla variazione di velocità: T=ρS(V+vio)v∞{\ displaystyle T = \ rho S \ sinistra (V + {{v} _ {i}} \ destra) {{v} _ {\ infty}}} T=S(p+-p-){\ displaystyle T = S \ sinistra ({{p} _ {+}} - {{p} _ {-}} \ destra)} Otteniamo : Δp=ρ(V+vio)v∞{\ displaystyle \ Delta p = \ rho \ sinistra (V + {{v} _ {i}} \ destra) {{v} _ {\ infty}}} Quindi abbiamo: ρVv∞+12ρv∞2=ρ(V+vio)v∞{\ displaystyle \ rho V {v} _ {\ infty} + {\ frac {1} {2}} \ rho {v} _ {\ infty} ^ {2} = \ rho \ left (V + {{v } _ {i}} \ right) {{v} _ {\ infty}}} Semplifichiamo: 12v∞=vio{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {v} _ {\ infty} = {{v} _ {i}}}

Nota che questa relazione è la stessa del volo in stazionamento. Sostituendo nell'espressione della spinta, arriva: v∞{\ displaystyle {{vb} _ {\ infty}}}

T=2ρS(V+vio)vio{\ Displaystyle T = 2 \ rho S \ sinistra (V + {{v} _ {i}} \ destra) {{v} _ {i}}}

Notando la velocità indotta che dà la stessa spinta in volo stazionario, calcoliamo: v0=T2ρS{\ displaystyle {{v} _ {0}} = {\ sqrt {\ frac {T} {2 \ rho S}}}}

viov0=-V2v0+(V2v0)2+1{\ displaystyle {\ frac {{v} _ {i}} {{v} _ {0}}} = - {\ frac {V} {2 {{v} _ {0}}}} + {\ sqrt {{{\ left ({\ frac {V} {2 {{v} _ {0}}}} \ right)} ^ {2}} + 1}}}

Nei coefficienti adimensionali, impostando il coefficiente di velocità si ottiene: μ=VRω{\ displaystyle \ mu = {\ frac {V} {R \ omega}}}

VSPVST=μ+λio{\ displaystyle {\ frac {{C} _ {P}} {{C} _ {T}}} = \ mu + {{\ lambda} _ {i}}}

Concetto di efficienza propulsiva

Nel caso di un aeroplano, la potenza utile è:

Pu=TV{\ displaystyle {{P} _ {u}} = TV}

La potenza sviluppata per questo scopo è data dall'aumento dell'energia cinetica del fluido, ovvero la potenza indotta:

Pio=T(V+vio){\ displaystyle {{P} _ {i}} = T \ sinistra (V + {{v} _ {i}} \ destra)}

L'efficienza propulsiva è definita da:

Rp=PuPio=21+vioV=21+1+VST{\ displaystyle {{R} _ {p}} = {\ frac {{P} _ {u}} {{P} _ {i}}} = {\ frac {2} {1 + {\ frac {{ v} _ {i}} {V}}}} = {\ frac {2} {1 + {\ sqrt {1 + {{C} _ {T}}}}}}}

La conseguenza è che a parità di spinta si otterrà la massima efficienza quando l'accelerazione dell'aria è minima, cioè la massima portata. In altre parole, maggiore è il diametro dell'elica, maggiore è l'efficienza del propellente.

Volo discendente

L'equazione di conservazione del flusso è scritta:

ρS0(V-v∞)=ρS(V-vio)=ρS2V{\ displaystyle \ rho {{S} _ {0}} \ left (V - {{v} _ {\ infty}} \ right) = \ rho S \ left (V - {{v} _ {i}} \ right) = \ rho {{S} _ {2}} V}

La variazione della quantità di moto dà la spinta:

T=ρS(V-vio)v∞{\ Displaystyle T = \ rho S \ sinistra (V - {{v} _ {i}} \ destra) {{v} _ {\ infty}}}

Scriviamo la relazione di Bernoulli a monte ea valle del disco elicoidale:

p∞+12ρV2=p++12ρ(V-vio)2p-+12ρ(V-vio)2=p∞+12ρ(V-v∞)2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {\ infty}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{V} ^ {2}} = {{p} _ {+ }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V - {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} \\ & {{p} _ {- }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V - {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} = {{p} _ {\ infty} } + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V - {{v} _ {\ infty}} \ right)} ^ {2}} \\\ end {align}}}

Ne deduciamo la relazione:

v∞=2vio{\ displaystyle {{v} _ {\ infty}} = 2 {{v} _ {i}}}

Dimostrazione:

Otteniamo con il teorema di Bernoulli a monte ea valle del disco elicoidale: p∞+12ρV2=p++12ρ(V-vio)2p-+12ρ(V-vio)2=p∞+12ρ(V-v∞)2{\ displaystyle {\ begin {align} & {{p} _ {\ infty}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{V} ^ {2}} = {{p} _ {+ }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V - {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} \\ & {{p} _ {- }} + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V - {{v} _ {i}} \ right)} ^ {2}} = {{p} _ {\ infty} } + {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V - {{v} _ {\ infty}} \ right)} ^ {2}} \\\ end {align}}} Sostituendo, p-=p+-12ρV2+12ρ(V-v∞)2{\ displaystyle {{p} _ {-}} = {{p} _ {+}} - {\ frac {1} {2}} \ rho V ^ {2} + {\ frac {1} {2} } \ rho {{\ left (V - {{v} _ {\ infty}} \ right)} ^ {2}}} Δp=12ρV2-12ρ(V-v∞)2{\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {1} {2}} \ rho V ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ rho {{\ left (V - {{v} _ { \ infty}} \ right)} ^ {2}}} Sviluppiamo: Δp=ρVv∞-12ρv∞2{\ displaystyle \ Delta p = \ rho V {v} _ {\ infty} - {\ frac {1} {2}} \ rho {v} _ {\ infty} ^ {2}} Sappiamo però che la spinta può essere data sia dalla variazione di pressione, sia dalla variazione di velocità: T=ρS(V-vio)v∞{\ Displaystyle T = \ rho S \ sinistra (V - {{v} _ {i}} \ destra) {{v} _ {\ infty}}} T=S(p+-p-){\ displaystyle T = S \ sinistra ({{p} _ {+}} - {{p} _ {-}} \ destra)} Otteniamo : Δp=ρ(V-vio)v∞{\ displaystyle \ Delta p = \ rho \ sinistra (V - {{v} _ {i}} \ destra) {{v} _ {\ infty}}} Quindi abbiamo: ρ(V-vio)v∞=ρVv∞-12ρv∞2{\ displaystyle \ rho \ left (V - {{v} _ {i}} \ right) {{v} _ {\ infty}} = \ rho V {v} _ {\ infty} - {\ frac {1 } {2}} \ rho {v} _ {\ infty} ^ {2}} Semplifichiamo: 12v∞=vio{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {v} _ {\ infty} = {{v} _ {i}}}

Nota che questa relazione è la stessa del volo in bilico e del volo ascendente. Sostituendo nell'espressione della spinta, arriva: v∞{\ displaystyle {{vb} _ {\ infty}}}

T=2ρS(V-vio)vio{\ Displaystyle T = 2 \ rho S \ sinistra (V - {{v} _ {i}} \ destra) {{v} _ {i}}}

Alla luce di questi risultati, sembra che il volo discendente non presenti particolari difficoltà in quanto i rapporti sono simili a quelli del volo ascendente. Questa apparente somiglianza è fuorviante: infatti, confrontiamo le due espressioni di spinta:

T=2ρS(V+vio)vio{\ Displaystyle T = 2 \ rho S \ sinistra (V + {{v} _ {i}} \ destra) {{v} _ {i}}}

T=2ρS(V-vio)vio{\ Displaystyle T = 2 \ rho S \ sinistra (V - {{v} _ {i}} \ destra) {{v} _ {i}}}

Nel volo in bilico ascendente, abbiamo:

V=0vio=v0=T2ρS{\ displaystyle {\ begin {align} & V = 0 \\ & {{v} _ {i}} = {{v} _ {0}} = {\ sqrt {\ frac {T} {2 \ rho S }}} \\\ fine {allineato}}}

Se sostituiamo queste espressioni in quella della spinta in volo discendente, otteniamo:

T=-2ρSv02{\ displaystyle T = -2 \ rho Sv_ {0} ^ {2}}

Questo non è appropriato in quanto la spinta è sempre verso l'alto e positiva. Pertanto, e diversamente dal caso del volo ascendente, l'espressione della spinta nel volo discendente non può essere estesa al caso del volo stazionario. C'è quindi un dominio da definire in cui la teoria di Froude non è adatta per modellare un volo discendente.

Considera una velocità algebrica (positiva in volo ascendente e negativa in volo discendente). Introduciamo le velocità adimensionali: V{\ displaystyle V}

V¯=Vv0v¯io=viov0{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ bar {V}} = {\ frac {V} {{v} _ {0}}} \\ & {{\ bar {v}} _ {i}} = {\ frac {{v} _ {i}} {{v} _ {0}}} \\\ end {align}}}

Otteniamo le relazioni:

(V¯+v¯io)v¯io=1(V¯+v¯io)v¯io=-1{\ displaystyle {\ begin {align} & \ left ({\ bar {V}} + {{\ bar {v}} _ {i}} \ right) {{\ bar {v}} _ {i}} = 1 \\ & \ left ({\ bar {V}} + {{\ bar {v}} _ {i}} \ right) {{\ bar {v}} _ {i}} = - 1 \\ \ end {allineato}}}

È:

V¯=±1v¯io-v¯io{\ displaystyle {\ bar {V}} = \ pm {\ frac {1} {{\ bar {v}} _ {i}}} - {{\ bar {v}} _ {i}}}

La teoria di Froude presuppone un flusso uniassiale. Tuttavia, vicino al valore:

V¯=-1{\ displaystyle {\ bar {V}} = - 1}

Sembra che a livello locale possa esserci un'inversione della direzione del flusso. Di conseguenza, l'intervallo tra e deve essere rimosso dal dominio di validità delle formule ottenute: -2{\ displaystyle -2}0{\ displaystyle 0}

(V¯+v¯io)v¯io=1V¯≥0(V¯+v¯io)v¯io=-1V¯≤-2{\ displaystyle {\ begin {align} & \ left ({\ bar {V}} + {{\ bar {v}} _ {i}} \ right) {{\ bar {v}} _ {i}} = 1 \ quad {\ bar {V}} \ geq 0 \\ & \ left ({\ bar {V}} + {{\ bar {v}} _ {i}} \ right) {{\ bar {v }} _ {i}} = - 1 \ quad {\ bar {V}} \ leq -2 \\\ end {align}}}

link esterno

• (en) [PDF] Teoria del momento (Froude)

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