Teoria del profilo sottile
La teoria dei profili sottili è una teoria che consente il calcolo della portanza in base all'angolo di incidenza .
Teoria del profilo sottile
Questa teoria propone di calcolare la portanza di un profilo sotto determinate ipotesi. È una risoluzione della teoria dei flussi potenziali di velocità in un caso particolare.
Questa teoria è stata sviluppata dal matematico tedesco Max Michael Munk (in) e perfezionata dall'aerodinamico inglese Hermann Glauert (in) nel 1920. Questa teoria approssima la realtà:
- il flusso del fluido è bidimensionale, vale a dire che l'ala ha un allungamento infinito,
- il profilo è sottile, vale a dire che il profilo ha uno spessore basso (Spessore relativo ) e un camber basso ( Camber relativo ), e/L≤10%{\ displaystyle \ e / L \ leq 10 \%} f/L≤5%{\ displaystyle \ f / L \ leq 5 \%}
- il flusso è incomprimibile,
- il flusso è stazionario.
Questa teoria è ancora utilizzata oggi perché è una solida base teorica per spiegare i seguenti risultati:
- (1) su un profilo simmetrico, il centro di spinta si trova a un quarto della lunghezza totale della fune dal bordo d'attacco.
- (2) sui profili asimmetrici curvi di George Cayley , il centro di spinta si sposta. D'altra parte, si può definire il punto in cui il momento dovuto al centro di spinta è indipendente dall'incidenza. Questo punto si trova a un quarto della lunghezza totale della corda dal bordo d'attacco.
- (3) la pendenza della curva portanza / incidenza è per radiante.2π{\ displaystyle 2 \ pi}
La conseguenza del risultato (3), il coefficiente di portanza per un profilo simmetrico di allungamento infinito, è:
vsL=2πα{\ displaystyle \ c_ {L} = 2 \ pi \ alpha}
dov'è il coefficiente di portanza per unità di superficie,
vsL{\ displaystyle c_ {L} \!}
α è l'
incidenza (spesso chiamata angolo di attacco, angolo di attacco ) in radianti, misurata rispetto alla corda.
L'espressione precedente è applicabile anche per un profilo asimmetrico curvo di George Cayley , dove è l'incidenza rispetto all'incidenza dove la portanza è zero. Di conseguenza, il coefficiente di portanza per un profilo curvo asimmetrico di George Cayley con proporzioni infinite è
α{\ displaystyle \ alpha \!}
vsL=vsL0+2πα{\ displaystyle \ c_ {L} = c_ {L_ {0}} + 2 \ pi \ alpha}
dove è il coefficiente di portanza per unità di area quando l'angolo di attacco è zero.
vsL0{\ displaystyle \ c_ {L_ {0}}}
Questa teoria riflette bene la realtà fintanto che non c'è zona morta sul profilo (l'aria è attaccata al profilo, nessuna turbolenza), vale a dire fino ad angoli di attacco da 10 ° a 15 ° per la maggior parte dei profili.
Calcolo
Il calcolo è un calcolo bidimensionale, cioè il profilo ha un allungamento infinito. Il profilo è generalmente posizionato lungo l'asse x, la corda coincide con l'asse x. Il flusso è considerato stazionario, vale a dire che i risultati sono validi finché non c'è separazione delle linee di flusso della velocità del profilo, o per una bassa incidenza.
Profilo
Il profilo è delimitato dall'intradosso e dall'estradosso.
La superficie superiore è definita da z=E(X){\ displaystyle z = E (x)}
L'intradosso è definito da z=io(X){\ displaystyle z = I (x)}
dov'è la posizione lungo la stringa.
X{\ displaystyle x}
La corda è definita come la linea retta dal bordo iniziale al bordo finale.
Linea di mezzo
La linea media è definita da .
z(X)=E(X)+io(X)2{\ displaystyle z (x) = {\ frac {E (x) + I (x)} {2}}}
Nel caso di un profilo simmetrico, la corda e la linea media sono identiche.
Si nota un punto di ascissa e di ordinata sulla linea media dove si trova l'ascissa curvilinea lungo la linea media.
X{\ displaystyle \ x} z{\ displaystyle \ z} (X;z)=(X;z(X))=(X(l);z(X(l))){\ Displaystyle \ (x; z) = (x; z (x)) = (x (l); z (x (l)))} l{\ displaystyle \ l}
Modellazione del profilo
Linea di rilevamento
L'idea si basa sull'osservazione dell'effetto Magnus . Un'asta rotante è immersa in un fluido. Grazie alla viscosità vengono trascinate le particelle del fluido in prossimità dell'asta. Una parte del fluido ruota quindi attorno all'asta. Più velocemente ruota l'asta, più velocemente le particelle ruotano attorno all'asta. L'intensità della messa in moto è direttamente collegata alla velocità di rotazione dell'asta e della sua superficie esterna S, si noti questa intensità (o circolazione espressa in m² / s). Allo stesso modo, più una particella è lontana dalla bacchetta, meno l'effetto è presente. È stato osservato che l'effetto diminuisce quasi secondo il quadrato della distanza.
ω{\ displaystyle \ \ omega} Γ(w,S){\ displaystyle \ \ Gamma (w, S)}
Se l'asta è immersa in un fluido con un moto rettilineo uniforme, la velocità di una particella è la somma della velocità di avanzamento attorno all'asta e del moto uniforme. Sotto l'asta, come mostrato nell'illustrazione, le particelle si muovono più velocemente che sopra l'asta. Le linee di flusso si avvicinano all'asta sottostante e si allontanano dall'asta sopra.
Considerando l'asta infinitamente piccola, si nota sempre questo effetto dell'intensità rotazionale . Questa asta infinitamente piccola è chiamata linea di rilevamento. Il paradosso di d'Alembert ha mostrato rigorosamente che senza viscosità (senza effetto guida) c'è un bilanciamento naturale di tutte le velocità attorno al cilindro, il fluido scivola sulla superficie del rullo senza creare effetto, non c'è portanza. Quindi rappresenta il disturbo delle velocità del fluido dovuto all'effetto viscosità, è il "inscatolamento" della viscosità. Questa "boxe" è relativamente semplice e limitata al profilo. Quindi gli effetti rimangono vicini al profilo, quindi questa teoria non modella il passo laminare, quindi gli effetti della turbolenza o delle forti incidenze.
Γ{\ displaystyle \ \ Gamma} Γ{\ displaystyle \ \ Gamma} Γ{\ displaystyle \ \ Gamma}
Questo "inscatolamento" è chiamato teoria delle linee portanti di Prandtl .
In 2 dimensioni, nel piano (x, z), consideriamo un'asta infinita nell'asse e assumiamo che la circolazione sia Γ .
j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}
V→(h,ϕ)=Γ2πhξ→{\ displaystyle {\ vec {V}} (h, \ phi) = {\ Gamma \ over 2 \ pi h} {\ vec {\ xi}}}dove e h è la distanza del punto dall'asta. Il modulo di velocità quindi non dipende dall'angolo φ. Si noti inoltre che Γ è la circolazione del vettore velocità.
ξ→=zio→-XK→‖Xio→+zK→‖{\ displaystyle {\ vec {\ xi}} = {z {\ vec {i}} - x {\ vec {k}} \ over \ | x {\ vec {i}} + z {\ vec {k} } \ |}}
Se la radice è semi-infinita, allora abbiamo:
V→(h,ϕ)=Γ4πhξ→{\ displaystyle {\ vec {V}} (h, \ phi) = {\ Gamma \ over 4 \ pi h} {\ vec {\ xi}}}
Dimostrazione di formule
Il fluido dovrebbe essere incomprimibile e quindi abbiamo e poiché il problema è 2 D, esiste un campo di potenziale scalare tale che
∇→⋅V→=0{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {V}} = 0}
V→=∇→ϕ{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ vec {\ nabla}} \ phi}.
Il campo φ obbedisce all'equazione di Poisson che è
Δϕ=ω{\ displaystyle \ Delta \ phi = \ omega}dove ω è il vortice (sorgente), chiamato in inglese vorticity , lungo il cilindro infinitamente piccolo. Sia δ Ω il volume totale occupato da questo cilindro infinitamente piccolo e sia un punto all'interno di detto cilindro infinitamente piccolo. Notare che δ l 1 e δ l_ 3 sono numeri infinitamente piccoli . La soluzione formale di questa equazione è la seguente:
l→=lj→+δl1io→+δl3K→{\ displaystyle {\ vec {l}} = l {\ vec {j}} + \ delta l_ {1} {\ vec {i}} + \ delta l_ {3} {\ vec {k}}}
ϕ(X)=14π∫δΩω(l→)‖X→-l→‖d3l→{\ Displaystyle \ phi (x) = {1 \ over 4 \ pi} \ int _ {\ delta \ Omega} {\ omega ({\ vec {l}}) \ over \ | {\ vec {x}} - {\ vec {l}} \ |} d ^ {3} {\ vec {l}}}Questo potenziale è equivalente al potenziale di un campo magnetico dove la corrente I è stata sostituita dalla vorticità ω. Derivando, troviamo una formula equivalente alla legge di Biot e Savart come segue.
Ragioniamo in coordinate cilindriche. Abbiamo
d3l→=rldrldϕdl{\ displaystyle d ^ {3} {\ vec {l}} = r_ {l} dr_ {l} d \ phi dl}r l è un numero infinitamente piccolo. Sia δ R il raggio di detto cilindro. Il triplo supra integrale diventa:
∫δΩω(rl,ϕ)‖X→-l→‖d3l→=∫0δR∫02π∫-∞+∞ω(lj→+δl1io→+δl3K→)‖X→-(lj→+δl1io→+δl3K→)‖dlrldrldθ{\ displaystyle \ int _ {\ delta \ Omega} {\ omega (r_ {l}, \ phi) \ over \ | {\ vec {x}} - {\ vec {l}} \ |} d ^ {3 } {\ vec {l}} = \ int _ {0} ^ {\ delta R} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ omega (l {\ vec {j}} + \ delta l_ {1} {\ vec {i}} + \ delta l_ {3} {\ vec {k}}) \ over \ | {\ vec {x}} - (l {\ vec {j}} + \ delta l_ {1} {\ vec {i}} + \ delta l_ {3} {\ vec {k}}) \ |} dlr_ {l} dr_ {l} d \ theta}
Trascuriamo i termini infinitamente piccoli e quindi l'ombra (reale) di questa quantità diventa:
∫δΩω(rl,ϕ→)‖X→-l→‖d3l→=∫0δR∫02π∫-∞+∞ω(lj→)‖X→-lj→)‖rldrldϕdl{\ displaystyle \ int _ {\ delta \ Omega} {\ omega ({\ vec {r_ {l}, \ phi}}) \ over \ | {\ vec {x}} - {\ vec {l}} \ |} d ^ {3} {\ vec {l}} = \ int _ {0} ^ {\ delta R} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ omega (l {\ vec {j}}) \ over \ | {\ vec {x}} - l {\ vec {j}}) \ |} r_ {l} dr_ {l} d \ phi dl}Possiamo quindi separare l'integrale e otteniamo
∫δΩω(rl,ϕ→)‖X→-l→‖d3l→=∫-∞+∞dl∫0δRdrl∫02πdϕω(rl,ϕ)‖X→-lj→)‖{\ displaystyle \ int _ {\ delta \ Omega} {\ omega ({\ vec {r_ {l}, \ phi}}) \ over \ | {\ vec {x}} - {\ vec {l}} \ |} d ^ {3} {\ vec {l}} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dl \ int _ {0} ^ {\ delta R} dr_ {l} \ int _ { 0} ^ {2 \ pi} d \ phi {\ omega (r_ {l}, \ phi) \ over \ | {\ vec {x}} - l {\ vec {j}}) \ |}}Poiché il denominatore non dipende da r l e φ, possiamo scrivere:
∫δΩω(rl,ϕ→)‖X→-l→‖d3l→=∫-∞+∞dl‖X→-lj→)‖∫0δRdrl∫02πdϕω(rl,ϕ){\ displaystyle \ int _ {\ delta \ Omega} {\ omega ({\ vec {r_ {l}, \ phi}}) \ over \ | {\ vec {x}} - {\ vec {l}} \ |} d ^ {3} {\ vec {l}} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {dl \ over \ | {\ vec {x}} - l {\ vec {j} }) \ |} \ int _ {0} ^ {\ delta R} dr_ {l} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ phi \ omega (r_ {l}, \ phi)}Definiamo:
∫0δRdrl∫02πdϕω(rl,ϕ)=Γ{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ delta R} dr_ {l} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ phi \ omega (r_ {l}, \ phi) = \ Gamma}Quindi il potenziale diventa quindi:
ϕ(X→)=14πΓ∫-∞+∞dl‖X→-lj→)‖{\ displaystyle \ phi ({\ vec {x}}) = {1 \ over 4 \ pi} \ Gamma \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {dl \ over \ | {\ vec {x }} - l {\ vec {j}}) \ |}}Ricordati che
V→=j→∧∇→ϕ=∂ϕ∂X→{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ vec {j}} \ wedge {\ vec {\ nabla}} \ phi = {\ partial \ phi \ over \ partial {\ vec {x}}}}Deriviamo sotto il segno della somma e quindi:
V→=Γ4πj→∧∫-∞+∞dl∂∂X→(1(X→-lj→)2){\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ Gamma \ over 4 \ pi} {\ vec {j}} \ wedge \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dl {\ partial \ over \ parziale {\ vec {x}}} \ sinistra ({1 \ over {\ sqrt {({\ vec {x}} - l {\ vec {j}}) ^ {2}}}} \ right)}Quindi abbiamo:
∂∂X(1(X2+z2+l2)12)=-X(X2+z2+l2)32{\ displaystyle {\ partial \ over \ partial x} \ left ({1 \ over (x ^ {2} + z ^ {2} + l ^ {2}) ^ {1 \ over 2}} \ right) = - {x \ over (x ^ {2} + z ^ {2} + l ^ {2}) ^ {3 \ over 2}}}Allo stesso modo,
∂∂z(1(X2+z2+l2)12)=-z(X2+z2+l2)32{\ displaystyle {\ partial \ over \ partial z} \ left ({1 \ over (x ^ {2} + z ^ {2} + l ^ {2}) ^ {1 \ over 2}} \ right) = - {z \ over (x ^ {2} + z ^ {2} + l ^ {2}) ^ {3 \ over 2}}}Pertanto :
j→∧∂∂X→(1(X→-lj→)2)=-j→∧X→‖X→-lj→‖3{\ displaystyle {\ vec {j}} \ wedge {\ partial \ over \ partial {\ vec {x}}} \ left ({1 \ over {\ sqrt {({\ vec {x}} - l {\ vec {j}}) ^ {2}}}} \ right) = - {\ vec {j}} \ wedge {{\ vec {x}} \ over \ | {\ vec {x}} - l {\ vec {j}} \ | ^ {3}}}E così :
V→(X→)=Γ4π∫-∞+∞j→∧X→‖X→-lj→‖3dl{\ displaystyle {\ vec {V}} ({\ vec {x}}) = {\ Gamma \ over 4 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ vec {j}} \ wedge {{\ vec {x}} \ over \ | {\ vec {x}} - l {\ vec {j}} \ | ^ {3}} dl}
Definiamo:
X→=Xio→+yj→+zK→{\ displaystyle {\ vec {x}} = x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}} + z {\ vec {k}}}Otteniamo quindi:
V→(X,z)=Γ4π∫-∞+∞j→∧Xio→+yj→+zK→‖X→-lj→‖3dl{\ displaystyle {\ vec {V}} (x, z) = {\ Gamma \ over 4 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ vec {j}} \ wedge {x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}} + z {\ vec {k}} \ over \ | {\ vec {x}} - l {\ vec {j}} \ | ^ {3 }} dl}La velocità è nel piano ( x , z ) e quindi abbiamo:
V→(X,z)=Γ4π∫-∞+∞zio→-XK→‖X→-lj→‖3dl{\ displaystyle {\ vec {V}} (x, z) = {\ Gamma \ over 4 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {z {\ vec {i}} - x {\ vec {k}} \ over \ | {\ vec {x}} - l {\ vec {j}} \ | ^ {3}} dl}Definiamo il vettore normalizzato ξ→=zio→-XK→‖Xio→+zK→‖{\ displaystyle {\ vec {\ xi}} = {z {\ vec {i}} - x {\ vec {k}} \ over \ | x {\ vec {i}} + z {\ vec {k} } \ |}}
In entrambi i casi . h è la distanza del punto dall'asta. Otteniamo quindi:
h=‖zio→-XK→‖=X2+z2{\ displaystyle h = \ | z {\ vec {i}} - x {\ vec {k}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + z ^ {2}}}}
V→(X,z)=Γ4π∫-∞+∞hξ→‖X→-lj→‖3dl{\ displaystyle {\ vec {V}} (x, z) = {\ Gamma \ over 4 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {h {\ vec {\ xi}} \ su \ | {\ vec {x}} - l {\ vec {j}} \ | ^ {3}} dl}Pertanto,
V→(X,z)=Γ4πhξ→∫-∞+∞1(h2+l2)32dl{\ displaystyle {\ vec {V}} (x, z) = {\ Gamma \ over 4 \ pi} h {\ vec {\ xi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {1 \ over (h ^ {2} + l ^ {2}) ^ {3 \ over 2}} dl}Definiamo . Quindi abbiamo e quindi,
l=habbronzaturaθ{\ displaystyle l = h \ tan \ theta}dl=h(1+abbronzatura2θ)dθ{\ displaystyle dl = h (1+ \ tan ^ {2} \ theta) d \ theta}
V→(X,z)=Γ4πhξ→∫-π2+π21(h2+h2abbronzatura2θ)32h(1+abbronzatura2θ)dθ{\ displaystyle {\ vec {V}} (x, z) = {\ Gamma \ over 4 \ pi} h {\ vec {\ xi}} \ int _ {- {\ pi \ over 2}} ^ {+ {\ pi \ over 2}} {1 \ over (h ^ {2} + h ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta) ^ {3 \ over 2}} h (1+ \ tan ^ {2 } \ theta) d \ theta}Pertanto :
V→(X,z)=Γ4πh2ξ→∫-π2+π21h3(1+abbronzatura2θ)12dθ{\ displaystyle {\ vec {V}} (x, z) = {\ Gamma \ over 4 \ pi} h ^ {2} {\ vec {\ xi}} \ int _ {- {\ pi \ over 2} } ^ {+ {\ pi \ over 2}} {1 \ over h ^ {3} (1+ \ tan ^ {2} \ theta) ^ {1 \ over 2}} d \ theta}Notiamo che:
1(1+abbronzatura2θ)12=cosθ{\ displaystyle {1 \ over (1+ \ tan ^ {2} \ theta) ^ {1 \ over 2}} = \ cos \ theta}
e così :
V→(X,z)=Γ4πh2h3ξ→∫-π2+π2cosθdθ{\ displaystyle {\ vec {V}} (x, z) = {\ Gamma \ over 4 \ pi} {h ^ {2} \ over h ^ {3}} {\ vec {\ xi}} \ int _ {- {\ pi \ over 2}} ^ {+ {\ pi \ over 2}} \ cos \ theta d \ theta}E quindi semplicemente:
V→(h,ϕ)=Γ2πhξ→{\ displaystyle {\ vec {V}} (h, \ phi) = {\ Gamma \ over 2 \ pi h} {\ vec {\ xi}}}Il modulo di velocità quindi non dipende dall'angolo φ. Si noti inoltre che Γ è la circolazione del vettore velocità.
Se la linea portante non è di lunghezza infinita ma semilavorato allora:
V=Γ4πh{\ displaystyle V = {\ frac {\ Gamma} {4 \ pi h}}}
Lift (euristico)
La portanza è la forza perpendicolare al movimento uniforme di un fluido nella direzione esercitata dalla pressione attorno a un volume.
L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}non→′{\ displaystyle {\ vec {n}} '}
L→=F→-F→⋅non→′{\ displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {F}} - {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {n}} '}La pressione esercitata su una piccola superficie esterna del volume è:
dF→⋅non→=pdS{\ displaystyle d {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {n}} = p \, dS}D'altra parte in condizioni particolari (fluido omogeneo, stazionario incomprimibile e senza scambio termico), il Teorema di Bernoulli dimostra su una linea corrente:
v22.g+z+pρ.g=vsononStanonte{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2.g}} + z + {\ frac {p} {\ rho .g}} = \ mathrm {costante}} o :
p{\ displaystyle p \,} è la pressione in un punto (in Pa o N / m²)
ρ{\ displaystyle \ rho \,} è la densità in un punto (in kg / m³)
v{\ displaystyle v \,} è la velocità del fluido in un punto (in m / s)
g{\ displaystyle g \,} è l'accelerazione di gravità (in N / kg om / s²)
z{\ displaystyle z \,} è l'altitudine (in m)
trascurando le variazioni di altitudine:
v22+pρ=vsononStanonte{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + {\ frac {p} {\ rho}} = \ mathrm {costante}}da dove
v2ρ2+costante=p{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2} \ rho} {2}} + {\ text {constant}} = p}Il volume qui è un profilo. È posto in un fluido avente una velocità uniforme. Per due linee di rilevamento molto lontane dal profilo (all'infinito) e prima che siano disturbate dal profilo, essendo il fluido a velocità uniforme, ciascuna linea di rilevamento è identica alla sua vicina; questo equivale a dire è identico indipendentemente dalla riga corrente.
vsononStanonte{\ displaystyle \ \ mathrm {costante}}
È sufficiente integrare su tutto il volume. La costante scomparirà. Grazie alla relazione , gli scienziati Kutta e Jukowski hanno dimostrato che anche la portanza ( L y ) per unità di lunghezza è quindi uguale a (vedi teorema di Kutta-Jukowski # Dimostrazione formale ):
vsononStanonte{\ displaystyle \ \ mathrm {costante}}V=Γ4πh{\ displaystyle V = {\ frac {\ Gamma} {4 \ pi h}}}
Ly=ρ∞V∞Γ∞{\ displaystyle L_ {y} = \ rho _ {\ infty} V _ {\ infty} \ Gamma _ {\ infty}}Se l'ala ha un'apertura alare b , la portanza L diventa:
L=ρ∞V∞Γ∞b{\ displaystyle L = \ rho _ {\ infty} V _ {\ infty} \ Gamma _ {\ infty} b} Γ∞{\ displaystyle \ \ Gamma _ {\ infty}}deve controllare le condizioni di Jukowski :
Γ∞=∮VS∞V→⋅dS→{\ displaystyle \ Gamma _ {\ infty} = \ anint _ {C _ {\ infty}} {\ vec {V}} \ cdot {\ vec {ds}}}con
-
VS∞{\ displaystyle \ C _ {\ infty}} un contorno che avvolge il profilo,
-
S{\ displaystyle \ s} l'ascissa curvilinea lungo questo contorno,
-
V→{\ displaystyle \ {\ vec {V}}} la velocità nel punto s dell'ascissa curvilinea.
Il contorno scelto è un contorno molto vicino al profilo, così vicino da essere assimilato al profilo.
Γ∞=∮superficie superiore + superficie inferioreV→⋅dS→{\ displaystyle \ Gamma _ {\ infty} = \ anint _ {\ text {superficie superiore + inferiore}} {\ vec {V}} \ cdot {\ vec {ds}}}Per realizzare il contorno del profilo è quindi necessario passare attraverso la superficie superiore e quella inferiore.
Γ∞=∫estradossoV→⋅dS→+∫intradossoV→⋅dS→{\ displaystyle \ Gamma _ {\ infty} = \ int _ {\ text {superficie superiore}} {\ vec {V}} \ cdot {\ vec {ds}} + \ int _ {\ text {superficie inferiore}} {\ vec {V}} \ cdot {\ vec {ds}}}Quindi vai dal bordo d'attacco al bordo d'uscita e poi torna indietro. In questa teoria, il profilo è ridotto alla corda centrale. Quindi la posizione sul bordo del profilo viene confusa con la posizione lungo la corda centrale, es . Viene annotata la lunghezza della corda media .
S{\ displaystyle \ s} l{\ displaystyle \ l} dS=dl{\ displaystyle \ ds = dl} vsl{\ displaystyle \ c_ {l}}
da dove
Γ∞=∫0vslV→estradosso⋅dl→+∫vsl0V→intradosso⋅dl→{\ displaystyle \ Gamma _ {\ infty} = \ int _ {0} ^ {c_ {l}} {\ vec {V}} _ {\ text {extrados}} \ cdot {\ vec {dl}} + \ int _ {c_ {l}} ^ {0} {\ vec {V}} _ {\ text {intrados}} \ cdot {\ vec {dl}}}
Γ∞=∫0vsl(V→estradosso-V→intradosso)⋅dl→{\ displaystyle \ Gamma _ {\ infty} = \ int _ {0} ^ {c_ {l}} ({\ vec {V}} _ {\ text {extrados}} - {\ vec {V}} _ { \ text {intrados}}) \; \ cdot {\ vec {dl}}}
Impostiamo la differenza di velocità tra la superficie superiore e quella inferiore, quindi:
γ→{\ displaystyle \ {\ vec {\ gamma}}}
γ→=V→estradosso-V→intradosso{\ displaystyle \ {\ vec {\ gamma}} = {\ vec {V}} _ {\ text {superficie superiore}} - {\ vec {V}} _ {\ text {superficie inferiore}}}da dove
Γ∞=∫0vslγ→⋅dl→{\ displaystyle \ Gamma _ {\ infty} = \ int _ {0} ^ {c_ {l}} {\ vec {\ gamma}} \ cdot {\ vec {dl}}}da dove
L=ρ∞V∞∫0vslγ→⋅dl→{\ displaystyle L = \ rho _ {\ infty} V _ {\ infty} \ int _ {0} ^ {c_ {l}} {\ vec {\ gamma}} \ cdot {\ vec {dl}}}Espressione formale di portanza
Il cuore della teoria del profilo sottile è ridurre il profilo alla sua corda centrale in cui ogni piccolo pezzo della corda centrale genera un vortice o vortice modellato da una linea portante (la canna da spinning infinitamente piccola). Ogni piccola vasca idromassaggio crea ascensore.
Il campo in cui è immerso il profilo può essere scomposto in due parti:
- flusso del fluido uniforme con un angolo di incidenza α{\ displaystyle \ alpha}
- a cui si aggiunge una moltitudine di vortici lungo la corda centrale.
La corda crea una distribuzione di vortici . Grazie alla condizione di Kutta , il vortice è zero sul bordo di uscita e quindi integrabile. Poiché il profilo è considerato sottile (la posizione sulla corda) può essere utilizzato al posto di (posizione sul bordo del profilo) e gli angoli sono considerati piccoli . Inoltre, la curvatura del profilo è considerata bassa, quindi (la posizione sulla corda) può essere utilizzata al posto di (la posizione sulla corda centrale) e la lunghezza della corda è quasi uguale alla lunghezza della corda media .
dz(X){\ displaystyle \ dz (x)} γ(S){\ displaystyle \ \ gamma (s)} l{\ displaystyle \ l} S{\ displaystyle \ s}peccato(θ)=θ{\ displaystyle \ sin (\ theta) = \ theta} X{\ displaystyle \ x} l{\ displaystyle \ l} vs=vsl{\ displaystyle \ c = c_ {l}}
Grazie alla legge di Biot e Savart e al risultato precedente, una linea di rilevamento infinitesimale retta (o vortice ) localizzata genera una velocità in .
δΓ{\ displaystyle \ \ delta \ Gamma} χ{\ displaystyle \ \ chi} dw→(X){\ displaystyle \ d {\ vec {w}} (x)} X{\ displaystyle \ x}
Consideriamo un'ala camber con angolo di attacco α e camber e (x) . Sia S la superficie alare ec la lunghezza media della corda. Eseguiamo il cambio di variabile:
X=vs(1-cos(θ))/2{\ displaystyle x = c (1- \ cos (\ theta)) / 2}Il sollevamento verticale L può essere scritto come
L=12ρSV∞2VSL{\ displaystyle L = {1 \ over 2} \ rho S {V _ {\ infty}} ^ {2} C_ {L}}dove C L è chiamato coefficiente di portanza e dove
VSL=2πα+2∫0π(cosθ-1)e′(X).dθ{\ displaystyle C_ {L} = 2 \ pi \ alpha +2 \ int _ {0} ^ {\ pi} (\ cos \ theta -1) e '(x) .d \ theta}
Dettagli del calcolo del coefficiente di portanza
Sia la coordinata elementare del vortice in questo punto e qualsiasi punto del profilo lungo la corda.
χ{\ displaystyle \ chi}X→{\ displaystyle {\ vec {x}}}
dw→(X)=δΓ2π‖X→-χ→‖j→∧X→-χ→‖X→-χ→‖{\ displaystyle d {\ vec {w}} (x) = {\ delta \ Gamma \ over 2 \ pi \ | {\ vec {x}} - {\ vec {\ chi}} \ |} {\ vec { j}} \ wedge {{\ vec {x}} - {\ vec {\ chi}} \ over \ | {\ vec {x}} - {\ vec {\ chi}} \ |}}Pertanto,
dw→(X)=δΓj→∧(X→-χ→2π(X→-χ→)2){\ displaystyle d {\ vec {w}} (x) = \ delta \ Gamma {\ vec {j}} \ wedge \ left ({{\ vec {x}} - {\ vec {\ chi}} \ over 2 \ pi ({\ vec {x}} - {\ vec {\ chi}}) ^ {2}} \ right)}Confondiamo il profilo dell'ala con la sua corda. Sia il vettore medio dell'accordo. Otteniamo quindi:
vs→{\ displaystyle {\ vec {c}}}
dw→(X)=δΓ(X -χ)j→∧vs→2π(X-χ)2vs→2{\ displaystyle d {\ vec {w}} (x) = {\ delta \ Gamma (x \ - \ chi) {\ vec {j}} \ wedge {\ vec {c}} \ over 2 \ pi (x - \ chi) ^ {2} {\ vec {c}} ^ {2}}}Pertanto,
dw→(X)=δΓ2π(X-χ)j→∧vs→{\ displaystyle d {\ vec {w}} (x) = {\ delta \ Gamma \ over 2 \ pi (x- \ chi)} {\ vec {j}} \ wedge {\ vec {c}}}La velocità totale è quindi la somma delle velocità elementari per ciascuna delle piccole circolazioni in . Sommando tutte le linee portanti lungo la corda centrale, l'insieme dei vortici produce un movimento del seguente fluido :
χ{\ displaystyle \ chi} w(S){\ displaystyle \ w (s)}
w→(X)=12π∫0vsγ(χ)(X-χ)dχj→∧vs→{\ displaystyle {\ vec {w}} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {c} {\ frac {\ gamma (\ chi)} {(x - \ chi)}} d \ chi {\ vec {j}} \ wedge {\ vec {c}}}
o
- x rappresenta il luogo di movimento del fluido dovuto al vortice (fisico) lungo la corda centrale,
-
χ{\ displaystyle \ \ chi}è il luogo del Tourbillon (fisico) lungo la corda centrale,
- c è la lunghezza della fune.
La velocità infinita è . La velocità totale è quindi:
V∞io→{\ displaystyle V _ {\ infty} {\ vec {i}}}
V→T(X)=V∞io→+w→(X)=V∞io→+12π∫0vsγ(χ)(X-χ)dχj→∧vs→{\ displaystyle {\ vec {V}} _ {T} (x) = V _ {\ infty} {\ vec {i}} + {\ vec {w}} (x) = V _ {\ infty} { \ vec {i}} + {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {c} {\ frac {\ gamma (\ chi)} {(x- \ chi)}} d \ chi {\ vec {j}} \ wedge {\ vec {c}}}Sia il vettore tangente al profilo. Poiché il fluido è tangente al profilo, abbiamo:
t→(X){\ displaystyle {\ vec {t}} (x)}
V→T(X)∧t→(X)=0→{\ displaystyle {\ vec {V}} _ {T} (x) \ wedge {\ vec {t}} (x) = {\ vec {0}}}Pertanto,
(V∞io→+12π∫0vsγ(χ)(X-χ)dχj→∧vs→)∧t→=0{\ displaystyle \ left (V _ {\ infty} {\ vec {i}} + {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {c} {\ frac {\ gamma (\ chi)} {(x- \ chi)}} d \ chi {\ vec {j}} \ wedge {\ vec {c}} \ right) \ wedge {\ vec {t}} = 0}Sia α l'angolo di attacco ed e (x) la curvatura del profilo in x . Quindi abbiamo:
t→=cos(-α+e′(X))io→+peccato(-α+e′(X))K→{\ displaystyle {\ vec {t}} = \ cos (- \ alpha + e '(x)) {\ vec {i}} + \ sin (- \ alpha + e' (x)) {\ vec {k }}}Quindi abbiamo:
io→∧t→=io→∧[cos(α-e′(X))io→+peccato(α-e′(X))K→]=peccato(α-e′(X))j→{\ displaystyle {\ vec {i}} \ wedge {\ vec {t}} = {\ vec {i}} \ wedge [\ cos (\ alpha -e '(x)) {\ vec {i}} + \ sin (\ alpha -e '(x)) {\ vec {k}}] = \ sin (\ alpha -e' (x)) {\ vec {j}}}Usiamo la formula del doppio prodotto incrociato. Abbiamo :
(j→∧vs→)∧t→=(j→⋅t→)vs→-(vs→⋅t→)j→{\ displaystyle ({\ vec {j}} \ wedge {\ vec {c}}) \ wedge {\ vec {t}} = ({\ vec {j}} \ cdot {\ vec {t}}) { \ vec {c}} - ({\ vec {c}} \ cdot {\ vec {t}}) {\ vec {j}}}Notiamo che e quindi,
j→⋅t→=0{\ displaystyle {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {t}} = 0}
(j→∧vs→)∧t→=-(vs→⋅t→)j→{\ displaystyle ({\ vec {j}} \ wedge {\ vec {c}}) \ wedge {\ vec {t}} = - ({\ vec {c}} \ cdot {\ vec {t}}) {\ vec {j}}}Poiché il camber è basso, abbiamo:
vs→⋅t→≈1{\ displaystyle {\ vec {c}} \ cdot {\ vec {t}} \ circa 1}Otteniamo quindi la seguente uguaglianza (seguente ):
j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}
V∞(α-e′(X))-12π∫0vsγ(χ)(X-χ)dχ=0{\ displaystyle V _ {\ infty} (\ alpha -e '(x)) - {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {c} {\ frac {\ gamma (\ chi)} { (x- \ chi)}} d \ chi = 0}Lo notiamo . E così finalmente (e questo ):
peccato(α-e′(X))≈α-e′(X){\ Displaystyle \ sin (\ alpha -e '(x)) \ circa \ alpha -e' (x)}∀X∈]0,vs[{\ displaystyle \ forall x \ in] 0, c [}
12π∫0vsγ(χ)X-χdχ=V∞(α-e′(X))(1){\ displaystyle {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {c} {\ gamma (\ chi) \ over x- \ chi} d \ chi = V _ {\ infty} (\ alpha -e '(x)) \ qquad (1)}
La seguente modifica arbitraria della variabile viene apportata all'equazione (1):
χ=vs(1-cos(θ))/2{\ displaystyle \ \ chi = c (1- \ cos (\ theta)) / 2},
con
-
vs{\ displaystyle \ c}lunghezza della corda del profilo. È in questo momento che si introduce l'accordo come elemento di riferimento, elemento che permette il confronto delle prestazioni dei profili tra di loro. Poiché il cambio di variabile è arbitrario, l'elemento di riferimento potrebbe essere qualcos'altro ma per la sua semplicità è stato scelto dal mondo scientifico. vs{\ displaystyle \ c}
da dove
X=vs2(1-cos(ϕ));dχ=vs2peccato(θ)dθ{\ displaystyle \ x = {\ frac {c} {2}} (1- \ cos (\ phi)); d \ chi = {\ frac {c} {2}} \ sin (\ theta) d \ theta }quindi l'equazione (1) diventa:
12π∫0πγ(θ)peccato(θ)dθcos(θ)-cos(ϕ)=V∞.(α-e′(X)){\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ gamma (\ theta) \ sin (\ theta) d \ theta} {\ cos ( \ theta) - \ cos (\ phi)}} = V _ {\ infty}. (\ alpha -e '(x))} (2)
Supponiamo quindi che il profilo sia piatto . L'equazione (2) diventa:
e′(X)=0{\ displaystyle \ e '(x) = 0}γ(θ){\ displaystyle \ gamma (\ theta)}
12π∫0πγplat(θ)peccato(θ)dθcos(θ)-cos(ϕ)=V∞.α{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ gamma _ {flat} (\ theta) \ sin (\ theta) d \ theta} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} = V _ {\ infty}. \ alpha}Questa equazione in γ deve essere soddisfatta per ogni φ. Scriviamo la funzione γ come una serie di Fourier modificata. Scriviamo :
γ(θ)=∑non∈NONGnoncos(nonθ)peccatoθ{\ Displaystyle \ gamma (\ theta) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {G_ {n} \ cos (n \ theta) \ over \ sin \ theta}}
Sostituiamo nell'equazione da risolvere e quindi risolviamo:
12π∫0π(∑non∈NONGnoncos(nonθ)peccatoθ)peccato(θ)dθcos(θ)-cos(ϕ)=V∞α{\ displaystyle {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ left (\ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {G_ {n} \ cos (n \ theta) \ over \ sin \ theta} \ right) {\ sin (\ theta) d \ theta \ over \ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)} = V _ {\ infty} \ alpha}
Usiamo l'integrale di Glauert dimostrato in appendice che dice che:
∫0πcos(nonθ)cosθ-cosθ0dθ=π×peccato(nonθ0)peccatoθ0{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ cos (n \ theta) \ over \ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}} d \ theta = \ pi \ times {\ sin ( n \ theta _ {0}) \ over \ sin \ theta _ {0}}}
Quindi, risolviamo :
∀θ0∈[0,π]{\ displaystyle \ forall \ theta _ {0} \ in [0, \ pi]}
12π∑non∈NONGnon(πpeccato(nonθ0)peccatoθ0)=V∞α{\ displaystyle {1 \ over 2 \ pi} \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} G_ {n} \ left (\ pi {\ sin (n \ theta _ {0}) \ over \ sin \ theta _ {0}} \ right) = V _ {\ infty} \ alpha}
Poiché il lato sinistro deve essere costante, abbiamo .
Gnon=0 ∀non≥2{\ displaystyle G_ {n} = 0 \ \ forall n \ geq 2}
Pertanto,
γplat(θ)=G0cos(0θ)+G1cos(1θ)peccatoθ{\ displaystyle \ gamma _ {flat} (\ theta) = {G_ {0} \ cos (0 \ theta) + G_ {1} \ cos (1 \ theta) \ over \ sin \ theta}}
γplat(π){\ displaystyle \ gamma _ {flat} (\ pi)}è finito e quindi eG0=G1{\ displaystyle G_ {0} = G_ {1}}G1=2V∞α{\ displaystyle G_ {1} = 2V _ {\ infty} \ alpha}
La soluzione è quindi:
γplat(θ)=2V∞α1+cos(θ)peccato(θ){\ displaystyle \ \ gamma _ {flat} (\ theta) = 2V _ {\ infty} \ alpha {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {\ sin (\ theta)}}}La parte dell'equazione (2) è risolta, si deve trovare una soluzione per la parte e '(x) .
α{\ displaystyle \ \ alpha}
γ(θ)=γplat(θ)+γe′(X)(θ){\ displaystyle \ \ gamma (\ theta) = \ gamma _ {flat} (\ theta) + \ gamma _ {e '(x)} (\ theta)}da dove
12π∫0π(γplat(θ)+γe′(X)(θ))peccato(θ)dθcos(θ)-cos(ϕ)=V∞.(α-e′(X)){\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {(\ gamma _ {flat} (\ theta) + \ gamma _ {e '(x )} (\ theta)) \ sin (\ theta) d \ theta} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} = V _ {\ infty}. (\ alpha -e '(x) )}da dove
[12π∫0πγplat(θ)peccato(θ)dθcos(θ)-cos(ϕ)-V∞.α]+12π∫0πγe′(X)(θ)peccato(θ)dθcos(θ)-cos(ϕ)=V∞.(-e′(X)){\ displaystyle \ left [{\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ gamma _ {flat} (\ theta) \ sin (\ theta) d \ theta} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} - V _ {\ infty}. \ alpha \ right] + {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0 } ^ {\ pi} {\ frac {\ gamma _ {e '(x)} (\ theta) \ sin (\ theta) d \ theta} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} = V _ {\ infty}. (- e '(x))}da dove
12π∫0πγe′(X)(θ)peccato(θ)dθcos(θ)-cos(ϕ)=V∞.(-e′(X)){\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ gamma _ {e '(x)} (\ theta) \ sin (\ theta) d \ theta} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} = V _ {\ infty}. (- e '(x))}La funzione ammette una scomposizione in serie di Fourier . Quindi anche la funzione . La decomposizione è:
γe′(X){\ displaystyle \ \ gamma _ {e '(x)}}γe′(X)(θ)2V∞{\ displaystyle {\ frac {\ gamma _ {e '(x)} (\ theta)} {2V _ {\ infty}}}}
γe′(X)(θ)2V∞=b0+∑non=1∞(anon.peccato(nonwθ)+bnon.cos(nonwθ)){\ displaystyle {\ frac {\ gamma _ {e '(x)} (\ theta)} {2V _ {\ infty}}} = b_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (a_ {n}. \ sin (nw \ theta) + b_ {n}. \ cos (nw \ theta))}Glauert pensava che la soluzione fosse più semplice e quindi cercò prima di trovare una soluzione all'equazione (2) con le seguenti semplificazioni / trasformazioni sulla decomposizione di Fourier:
- bnon=0{\ displaystyle \ b_ {n} = 0}
-
w=1{\ displaystyle \ w = 1} : la funzione deve essere definita in modo che sia la più semplice. [0;π]{\ displaystyle \ [0; \ pi]} w=1{\ displaystyle \ w = 1}
e includere la risoluzione dell'equazione per un profilo piatto in cui è sostituito da un coefficiente .
α{\ displaystyle \ \ alpha} A0{\ displaystyle \ A_ {0}}
La scomposizione di proposta sperando che sia la soluzione all'equazione (2) è:
γ{\ displaystyle \ \ gamma}
γ(θ)2V∞=A01+cos(θ)peccato(θ)+∑non=1∞Anon.peccato(nonθ){\ displaystyle {\ frac {\ gamma (\ theta)} {2V _ {\ infty}}} = A_ {0} {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {\ sin (\ theta)}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}. \ sin (n \ theta)}I coefficienti sono sconosciuti e da determinare. Se è possibile calcolare questi coefficienti, la scomposizione proposta è effettivamente la soluzione dell'equazione.
Anon{\ displaystyle A_ {n}}
quindi sostituendo con la sua serie di Fourier nell'equazione (2):
γ{\ displaystyle \ \ gamma}
1π∫0π(A01+cos(θ)peccato(θ)+∑non=1∞Anon.peccato(nonθ))peccato(θ)cos(θ)-cos(ϕ)dθ=α-e′(X){\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {(A_ {0} {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {\ sin (\ theta)}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}. \ sin (n \ theta)) \ sin (\ theta)} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} d \ theta = \ alpha -e '(x)}da dove
1π∫0πA0(1+cos(θ))cos(θ)-cos(ϕ)dθ+1π∫0π∑non=1∞Anon.peccato(nonθ)peccato(θ)cos(θ)-cos(ϕ)dθ=α-e′(X){\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {A_ {0} (1+ \ cos (\ theta))} {\ cos (\ theta ) - \ cos (\ phi)}} d \ theta + {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} A_ {n}. \ sin (n \ theta) \ sin (\ theta)} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} d \ theta = \ alpha -e '(x) }da dove
A0π∫0π1+cos(θ)cos(θ)-cos(ϕ)dθ+1π∑non=1∞Anon∫0πpeccato(nonθ)peccato(θ)cos(θ)-cos(ϕ)dθ=α-e′(X){\ displaystyle {\ frac {A_ {0}} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} d \ theta + {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ sin (n \ theta) \ sin (\ theta)} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} d \ theta = \ alpha -e '(x)}Glauert ha notato che:
∫0πcos(nonθ)cos(θ)-cos(ϕ)dθ=πpeccato(nonϕ)peccato(ϕ){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ cos (n \ theta)} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} d \ theta = \ pi {\ frac {\ sin (n \ phi)} {\ sin (\ phi)}}} specialmente per
non=0{\ displaystyle \ n = 0}
Un'altra dimostrazione di questa formula basata sul teorema dei residui è data nell'appendice dell'articolo Teoria delle linee portanti .
oro ∫0π1+cos(θ)cos(θ)-cos(ϕ)dθ=∫0π1+cos(ϕ)+cos(θ)-cos(ϕ)cos(θ)-cos(ϕ)dθ=∫0π1dθ+∫0π1+cos(ϕ)cos(θ)-cos(ϕ)dθ{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} d \ theta = \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {1+ \ cos (\ phi) + \ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)} } d \ theta = \ int _ {0} ^ {\ pi} 1d \ theta + \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {1+ \ cos (\ phi)} {\ cos (\ theta ) - \ cos (\ phi)}} d \ theta}
=∫0π1dθ+(1+cos(ϕ))∫0πcos(0×θ)cos(θ)-cos(ϕ)dθ=π{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ pi} 1d \ theta + (1+ \ cos (\ phi)) \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ cos (0 \ times \ theta)} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} d \ theta = \ pi}da dove
A0+1π∑non=1∞Anon∫0πpeccato(nonθ)peccato(θ)cos(θ)-cos(ϕ)dθ=α-e′(X){\ displaystyle A_ {0} + {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ sin (n \ theta) \ sin (\ theta)} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} d \ theta = \ alpha -e '(x)}Anche Glauert nella sua dimostrazione sottolinea che la trigonometria dimostra che:
2peccato(nonθ)peccato(θ)=cos((non-1)θ)-cos((non+1)θ){\ Displaystyle \ 2 \ sin (n \ theta) \ sin (\ theta) = \ cos ((n-1) \ theta) - \ cos ((n + 1) \ theta)}da dove
A0+12π∑non=1∞Anon∫0πcos((non-1)θ)-cos((non+1)θ)cos(θ)-cos(ϕ)dθ=α-e′(X){\ displaystyle A_ {0} + {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ cos ((n-1) \ theta) - \ cos ((n + 1) \ theta)} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} d \ theta = \ alpha -e '(X)}Glauert osserva ancora una volta che:
∫0πcos(nonθ)cos(θ)-cos(ϕ)dθ=πpeccato(nonϕ)peccato(ϕ){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ cos (n \ theta)} {\ cos (\ theta) - \ cos (\ phi)}} d \ theta = \ pi {\ frac {\ sin (n \ phi)} {\ sin (\ phi)}}}Dobbiamo integrare la somma infinita termine per termine e dopo il calcolo e la semplificazione:
α-e′(X)=A0-∑non=1∞Anoncos(nonϕ){\ displaystyle \ \ alpha -e '(x) = A_ {0} - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ cos (n \ phi)}o la sequenza tale e se g{\ displaystyle \ g} g0=-1{\ displaystyle \ g_ {0} = - 1} gnon=1{\ displaystyle \ g_ {n} = 1} non≠0{\ displaystyle \ n \ neq 0}
da dove
α-e′(X)=-∑non=0∞gnonAnoncos(nonϕ){\ Displaystyle \ \ alpha -e '(x) = - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} g_ {n} A_ {n} \ cos (n \ phi)}L'equazione rimane sempre valida se viene moltiplicata per m un intero:
cos(mϕ){\ displaystyle \ \ cos (m \ phi)}
(α-e′(X))cos(mϕ)=-∑non=0∞gnonAnoncos(nonϕ)cos(mϕ){\ displaystyle \ (\ alpha -e '(x)) \ cos (m \ phi) = - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} g_ {n} A_ {n} \ cos (n \ phi ) \ cos (m \ phi)}L'equazione rimane sempre valida se è integrata su tutta la stringa:
∫0π(α-e′(X))cos(mϕ)dϕ=-∫0π∑non=0∞gnonAnoncos(nonϕ)cos(mϕ)dϕ{\ displaystyle \ \ int _ {0} ^ {\ pi} (\ alpha -e '(x)) \ cos (m \ phi) d \ phi = - \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} g_ {n} A_ {n} \ cos (n \ phi) \ cos (m \ phi) d \ phi}
∫0π(α-e′(X))cos(mϕ)dϕ=-∑non=0∞gnonAnon∫0πcos(nonϕ)cos(mϕ)dϕ{\ displaystyle \ \ int _ {0} ^ {\ pi} (\ alpha -e '(x)) \ cos (m \ phi) d \ phi = - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} g_ {n} A_ {n} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (n \ phi) \ cos (m \ phi) d \ phi}
come
∫0πcos(nonϕ)cos(mϕ)dϕ=π{\ displaystyle \ \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (n \ phi) \ cos (m \ phi) d \ phi = \ pi} Se
non=m=0{\ displaystyle \ n = m = 0}
=π2{\ displaystyle \ = {\ frac {\ pi} {2}}} Se
non=m≠0{\ displaystyle \ n = m \ neq 0}
=0{\ displaystyle \ \ = 0} Se
non≠m{\ displaystyle \ n \ neq m}
allora :
∫0π(α-e′(X))dϕ=πA0{\ displaystyle \ \ int _ {0} ^ {\ pi} (\ alpha -e '(x)) d \ phi = \ pi A_ {0}}
∫0π(α-e′(X))cos(mϕ)dϕ=-πAm2{\ displaystyle \ \ int _ {0} ^ {\ pi} (\ alpha -e '(x)) \ cos (m \ phi) d \ phi = - {\ frac {\ pi A_ {m}} {2 }}} per
m≠0{\ displaystyle \ m \ neq 0}
quindi come è indipendente dai coefficienti della serie sono:
α{\ displaystyle \ \ alpha} ϕ{\ displaystyle \ \ phi}
- A0=α-1π∫0πe′(X).dθ{\ displaystyle A_ {0} = \ alpha - {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} e '(x) .d \ theta}
- Anon=2π∫0πcos(nonθ)e′(X).dθ{\ displaystyle A_ {n} = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (n \ theta) e '(x) .d \ theta}
da dove :
γ(θ)dX=vsV∞[A0(1+cos(θ))+∑non=1∞Anon.peccato(nonθ)peccato(θ)]dθ{\ displaystyle {\ gamma (\ theta)} {dx} = cV _ {\ infty} \ left [A_ {0} (1+ \ cos (\ theta)) + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}. \ Sin (n \ theta) \ sin (\ theta) \ right] d \ theta}Questo metodo è chiamato trasformazione Glauert .
Grazie al Teorema di Kutta-Jukowski , la portanza per unità di lunghezza lungo la campata è:
Ly=ρV∞∫0vsγ(X).dX{\ displaystyle L_ {y} = \ rho V _ {\ infty} \ int _ {0} ^ {c} \ gamma (x) .dx}quindi la portanza totale è:
L=Ly×b=ρV∞b∫0πvsV∞[A0(1+cos(θ))+∑non=1∞Anon.peccato(nonθ)peccato(θ)]dθ{\ displaystyle L = L_ {y} \ times b = \ rho V _ {\ infty} b \ int _ {0} ^ {\ pi} cV _ {\ infty} \ left [A_ {0} (1+ \ cos (\ theta)) + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}. \ sin (n \ theta) \ sin (\ theta) \ right] d \ theta}Notiamo che:
.peccato(nonθ)peccatoθ=12(cos(non-1)θ-cos(non+1)θ{\ Displaystyle. \ sin (n \ theta) \ sin \ theta = {1 \ over 2} (\ cos (n-1) \ theta - \ cos (n + 1) \ theta}Ci scomponiamo:
L=ρV∞bvsV∞[A0∫0π(1+cos(θ))dθ+12A1∫0π(cos0θ-cos2θ)dθ+12∑non=2∞Anon∫0π[cos(non-1)θ-cos(non+1)θ]]dθ{\ displaystyle L = \ rho V _ {\ infty} bcV _ {\ infty} \ left [A_ {0} \ int _ {0} ^ {\ pi} (1+ \ cos (\ theta)) d \ theta + {1 \ over 2} A_ {1} \ int _ {0} ^ {\ pi} (\ cos 0 \ theta - \ cos 2 \ theta) d \ theta + {1 \ over 2} \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} A_ {n} \ int _ {0} ^ {\ pi} [\ cos (n-1) \ theta - \ cos (n + 1) \ theta] \ right] d \ theta }Lo vediamo perché abbiamo:non≥2{\ displaystyle n \ geq 2}∫0π[cos(non-1)θ-cos(non+1)θ]dθ=0{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} [\ cos (n-1) \ theta - \ cos (n + 1) \ theta] d \ theta = 0}
Pertanto,
L=ρV∞bvsV∞[A0∫0π(1+cos(θ))dθ+12A1∫0π(1-cos2θ)dθ+∑non≥20]{\ displaystyle L = \ rho V _ {\ infty} bcV _ {\ infty} \ left [A_ {0} \ int _ {0} ^ {\ pi} (1+ \ cos (\ theta)) d \ theta + {1 \ over 2} A_ {1} \ int _ {0} ^ {\ pi} (1- \ cos 2 \ theta) d \ theta + \ sum _ {n \ geq 2} 0 \ right]}Pertanto,
L=ρV∞bvsV∞(A0π+12A1π){\ displaystyle L = \ rho V _ {\ infty} bcV _ {\ infty} \ left (A_ {0} \ pi + {1 \ over 2} A_ {1} \ pi \ right)}da dove
L=πvsbρV∞2(A0+12A1){\ displaystyle L = \ pi cb \ rho {V _ {\ infty}} ^ {2} \ left (A_ {0} + {1 \ over 2} A_ {1} \ right)}La letteratura preferisce definire coefficienti adimensionali. Sia S = c × b la superficie alare (che consideriamo quasi infinita). Definiamo quindi il coefficiente di portanza come segue:
VSL=π(2A0+A1){\ displaystyle C_ {L} = \ pi (2A_ {0} + A_ {1})}Otteniamo quindi:
VSL=2π(α-1π∫0πe′(X).dθ)+π(2π∫0πcos(1θ)e′(X).dθ){\ displaystyle C_ {L} = 2 \ pi \ left (\ alpha - {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} e '(x) .d \ theta \ right ) + \ pi \ sinistra ({2 \ over \ pi} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (1 \ theta) e '(x) .d \ theta \ right)}Pertanto,
VSL=2πα+2∫0π(cosθ-1)e′(X).dθ{\ displaystyle C_ {L} = 2 \ pi \ alpha +2 \ int _ {0} ^ {\ pi} (\ cos \ theta -1) e '(x) .d \ theta}Il coefficiente di portanza è quindi una funzione affine dell'angolo di incidenza α . Se il profilo è piatto, il coefficiente di portanza diventa semplicemente:
VSL=2πα{\ displaystyle C_ {L} = 2 \ pi \ alpha}Questa formula è illustrata graficamente nella Figura 1.11 del libro di Hurt.
E così, otteniamo la forma normalizzata:
L=12ρSV∞2VSL{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} \ rho S {V _ {\ infty}} ^ {2} C_ {L}}e il momento M del profilo sul bordo d'attacco è:
M=ρV∫0vsX.γ(X).dX{\ displaystyle M = \ rho V \ int _ {0} ^ {c} x. \ gamma (x) .dx}allo stesso modo:
M=12vs2ρV∞2VSM{\ displaystyle M = {\ frac {1} {2}} c ^ {2} \ rho {V _ {\ infty}} ^ {2} C_ {M}}Il calcolo del coefficiente di portanza dipende solo dai primi due termini della scomposizione della serie di Fourier, ovvero:
VSL=2π(A0+A1/2){\ displaystyle \ C_ {L} = 2 \ pi (A_ {0} + A_ {1} / 2)}
Il momento M del profilo sul bordo d'attacco dipende solo da e :
A0, A1{\ displaystyle A_ {0}, \ A_ {1}} A2{\ displaystyle \ A_ {2}}
VSM(0)=-0,5π(A0+A1-A2/2){\ displaystyle \ C_ {M} (0) = - 0,5 \ pi (A_ {0} + A_ {1} -A_ {2} / 2)}
Il momento a un quarto dell'accordo è:
VSM(1/4vs)=-π/4(A1-A2){\ displaystyle \ C_ {M} (1 / 4c) = - \ pi / 4 (A_ {1} -A_ {2})}.
Ne deduciamo che:
ΔX/vs=π/4((A1-A2)/VSL){\ displaystyle \ \ Delta x / c = \ pi / 4 ((A_ {1} -A_ {2}) / C_ {L})}
Il punto in cui il momento dovuto al centro di spinta è indipendente dall'angolo di incidenza è definito come:
∂(VSM)∂(VSL)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial (C_ {M})} {\ partial (C_ {L})}} = 0}
Esempio NACA4412
Profilo
La linea dell'accordo medio è definita dalla seguente funzione:
evs=0,25(0,8×Xvs-(Xvs)2){\ displaystyle {\ frac {e} {c}} = 0,25 \ sinistra (0,8 \ volte {\ frac {x} {c}} - \ sinistra ({\ frac {x} {c}} \ destra) ^ { 2} \ right)}per un valore compreso tra 0 e 0,4
Xvs{\ displaystyle {\ frac {x} {c}}}
evs=0,111(0,2+0,8×Xvs-(Xvs)2){\ displaystyle {\ frac {e} {c}} = 0,111 \ sinistra (0,2 + 0,8 \ volte {\ frac {x} {c}} - \ sinistra ({\ frac {x} {c}} \ destra) ^ {2} \ right)}per un valore compreso tra 0,4 e 1
Xvs{\ displaystyle {\ frac {x} {c}}}
Calcolo dei coefficienti
Secondo la teoria dei profili sottili, il coefficiente di portanza attorno al profilo sottile è:
VSL=2π(A0+A1/2)=2π(α-1π∫0πe′(X).dθ+2π∫0πcos(θ)e′(X).dθ2){\ displaystyle \ C_ {L} = 2 \ pi (A_ {0} + A_ {1} / 2) = 2 \ pi \ left (\ alpha - {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ { 0} ^ {\ pi} e '(x) .d \ theta + {\ frac {{\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (\ theta) e '(x) .d \ theta} {2}} \ right)}
o
il termine integrale tiene conto degli effetti di camber del profilo
la variabile ausiliaria è collegata alla posizione lungo la corda del profilo dalla trasformazione di Glauert:θ{\ displaystyle \ theta} X=vs(1-cos(θ))/2{\ displaystyle \ x = c (1- \ cos (\ theta)) / 2}
quindi raggruppando i termini:
VSL=2π(α+1π∫0πe′(X)(cos(θ)-1).dθ){\ Displaystyle \ C_ {L} = 2 \ pi \ left (\ alpha + {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} e '(x) (\ cos (\ theta) -1) .d \ theta \ right)}
Dobbiamo calcolare e '(x) per risolvere l'integrale:
e′(X)=0,2-0,5×Xvs{\ displaystyle e '(x) = 0,2-0,5 \ times {\ frac {x} {c}}}per un valore compreso tra 0 e 0,4
Xvs{\ displaystyle {\ frac {x} {c}}}
e′(X)=0,0888-0,2222×Xvs{\ displaystyle e '(x) = 0,0888-0,2222 \ times {\ frac {x} {c}}}per tra 0,4 e c
Xvs{\ displaystyle {\ frac {x} {c}}}
quindi sostituendo con :
θ{\ displaystyle \ theta}
e′(X)=-0,05+0,2×cos(θ){\ Displaystyle e '(x) = - 0,05 + 0,2 \ times \ cos (\ theta)}per un valore compreso tra 0 e 1.3694
θ{\ displaystyle \ theta}
e′(X)=-0,0223+0,1111×cos(θ){\ Displaystyle e '(x) = - 0,0223 + 0,1111 \ times \ cos (\ theta)}per tra 1.3694 eθ{\ displaystyle \ theta}π{\ displaystyle \ pi}
L'integrale è quindi completamente calcolabile:
VSL=2π[α+1π(∫01,3694(-0,05+0,2×cosθ)(cosθ-1).dθ+∫1,3694π(-0,0223+0,1111×cosθ)(cosθ-1).dθ)]{\ displaystyle \ C_ {L} = 2 \ pi \ left [\ alpha + {\ frac {1} {\ pi}} \ left (\ int _ {0} ^ {1,3694} (- 0,05+ 0,2 \ times \ cos \ theta) (\ cos \ theta -1) .d \ theta + \ int _ {1.3694} ^ {\ pi} (- 0,0223 + 0,1111 \ times \ cos \ theta) (\ cos \ theta -1) .d \ theta \ right) \ right]}
da qui il risultato:
VSL=2π(α+0,0726){\ displaystyle \ C_ {L} = 2 \ pi (\ alpha +0.0726)}
con in radianti.
α{\ displaystyle \ alpha}
Calcolo della portanza
L'equazione di portanza per un profilo NACA 4412 a basso angolo di incidenza è:
F=12×ρ×S×VSL×V2=12×ρ×S×2π(α+0,0726)×V2{\ Displaystyle F = {\ frac {1} {2}} \ times \ rho \ times S \ times C_ {L} \ times V ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ times \ rho \ times S \ times 2 \ pi (\ alpha +0.0726) \ times V ^ {2}}
F = forza trasmessa all'intero profilo in
newton
ρ{\ displaystyle \ rho}(rho) =
densità del fluido ( varia con la
temperatura e la
pressione );
ρ{\ displaystyle \ rho}
S =
superficie di riferimento ; è la superficie del profilo in mq
VSL{\ displaystyle C_ {L}}=
coefficiente aerodinamico
V = Velocità di movimento, ovvero la velocità del fluido all'infinito in metri al secondo.
La teoria applicata in tre dimensioni: resistenza indotta
Origine della resistenza indotta
La teoria dei profili sottili può essere applicata con giudizio per un profilo tridimensionale. La teoria in 3d spiega molto bene il fenomeno della resistenza indotta e permette di calcolarlo.
Da un punto di vista fisico, quando il profilo si muove, la superficie superiore è in depressione, la superficie inferiore è in pressione. Alle estremità del profilo la depressione è a contatto con la pressione. Naturalmente le molecole di aria compressa (molti shock e frequenti) si precipiteranno nell'area depressa (pochi shock e meno frequenti). La conseguenza è che l'area depressa ha più molecole d'aria del previsto, quindi la depressione è meno forte (più pressione del previsto). Allo stesso modo, la zona pressurizzata ha meno molecole d'aria del previsto, quindi la pressione è inferiore. L'ascensore è di meno.
La distanza tra l'intradosso e l'estradosso alle estremità di un profilo di lunghezza finita è molto ridotta, una zona di pressione quanto più prossima ad una zona di depressione, il movimento di trasferimento delle molecole da una faccia all'altra del profilo è molto violento. Questo crea una turbolenza significativa. Su un profilo, il bordo di uscita e la fine del profilo sono le due aree in cui si verifica questo fenomeno. La custodia del bordo d'uscita è inclusa nel modello dell'ala. La teoria sostituisce l'ala con una serie di linee portanti lungo la corda centrale (chiamata anche modello scheletrico). Quando l'incidenza è bassa, il flusso rimane laminare e quindi senza turbolenze, le turbolenze o i vortici compaiono sotto forti incidenze. Queste turbolenze hanno origine dalla rottura del modo laminare a causa della viscosità e questi vortici sono instabili. Infatti, poiché la teoria trascura questi aspetti instabili e viscosi, questo effetto viene trascurato. La teoria rimane valida a bassa incidenza. Più precisamente, il modello scheletrico che si suppone rappresenti l'effetto viscosità è imperfetto. Questo perché l'influenza della viscosità è modellata solo nell'interazione profilo / fluido. Ora la viscosità esiste anche tra fluido / fluido, se la viscosità fluido / fluido non ha effetto a bassa incidenza questo non è il caso ad alta incidenza, è significativa. In questi casi le equazioni di Navier-Stokes devono essere utilizzate direttamente .
D'altra parte, l'estremità del profilo non è modellata. Il fenomeno è visibile all'estremità del profilo quando è rettangolare. Ma spesso il profilo (ala, vela, timone, ecc) è più complessa in forma, così la coda fine fenomeno è anche distribuito sul bordo posteriore. Il vortice della punta dell'ala è semplicemente modellato da una serie di linee di portanza semi-infinite dirette all'indietro. Questo insieme di nuove linee portanti corre lungo il bordo d'uscita e diventa più denso verso la fine del profilo. La sua intensità dovrà essere calcolata. Poiché questi vortici terminali sono di fatto il risultato della campata finita del profilo, la modellazione del profilo in 3D non infinito (detta anche modellazione scheletrica) è modellata da due insiemi di linee di carico:
- un insieme di linee portanti (segmento) lungo la corda centrale come in 2D, ma troncato su entrambi i lati γaiole{\ displaystyle \ \ gamma _ {wing}}
- un insieme di linee portanti semi-infinite dirette orizzontalmente verso il retro. γSiollage{\ displaystyle \ \ gamma _ {wake}}
Questa nuova linea portante (o vortice di fine profilo) ha un impatto importante, modifica l'angolo apparente utilizzato per il calcolo bidimensionale. La forza quindi non è più diretta solo verso l'alto ma leggermente all'indietro (nella direzione del movimento del fluido). Consuma energia. Questa componente opposta al movimento del fluido è quindi la resistenza. Questa resistenza è chiamata resistenza indotta . Allo stesso modo, la portanza è leggermente inferiore a quella prevista dalla teoria in 2D.
α-abbronzatura-1(dy/dX){\ displaystyle \ \ alpha - \ tan ^ {- 1} (dy / dx)}
Sollevare la rotazione
Per forme molto tormentate è difficile determinare un riferimento ortonormale logico. Nel nostro caso il profilo è sottile e ha una campata significativa, il sistema di coordinate ortonormali (x, y, z) viene quindi definito come segue:
- la luce del profilo definisce l'asse y , si estende da a , -b2{\ displaystyle \ - {\ frac {b} {2}}} +b2{\ displaystyle \ + {\ frac {b} {2}}}
-
V∞{\ displaystyle \ V _ {\ infty}}è perpendicolare a y definisce l'asse x e quindi può avere un angolo con la corda del profilo. ε{\ displaystyle \ \ varepsilon}
- l'ultimo asse z è perpendicolare agli altri due. Con allora lo spessore del profilo coincide con l'asse z perpendicolare alla corda. Per semplicità, e l'asse y sono posizionati in modo che l'asse z sia l'asse verticale. ε=0{\ displaystyle \ \ varepsilon = 0} V→∞{\ displaystyle \ {\ vec {V}} _ {\ infty}}
Lo spessore e la corda mantengono gli stessi assi se il profilo non è attorcigliato.
Sia α l' angolo di attacco dell'ala. Sia e (x) la curvatura lungo x . L'angolo reale è la somma dell'angolo 2D più l'angolo indotto dai vortici finali del profilo.
α-abbronzatura-1(e′(X)){\ Displaystyle \ \ alpha - \ tan ^ {- 1} (e '(x))}
La scia generata dall'estremità dell'ala si estende fino alla parte posteriore dell'aereo e si può quindi considerare che questa scia è semi-infinita verso la parte posteriore.
Il profilo dimensione finita ha una durata di , è calcolata integrando tutti i vortici (semi pubblicitari cuscinetto infinito) dall'estremità del profilo a alla posizione y lungo la campata del profilo.
b{\ displaystyle \ b} w(y){\ displaystyle \ w (y)}-b2{\ displaystyle {\ frac {-b} {2}}} +b2{\ displaystyle \ {\ frac {+ b} {2}}}
Un'infinita linea retta semi-portante (o vortice ) di intensità situata nella parte posteriore del velivolo genera una velocità verticale che punta verso il basso a . Applichiamo la legge Biot-Savart .
δΓ(y0){\ displaystyle \ delta \ Gamma (y_ {0})}y0{\ displaystyle y_ {0}} dw(y,y0){\ displaystyle \ dw (y, y_ {0})} y{\ displaystyle \ y}
dw(y,y0)=δΓ(y0)4πh=γ→⋅dη→4πh=γ(y0)dy04π(y-y0){\ displaystyle dw (y, y_ {0}) = {\ frac {\ delta \ Gamma (y_ {0})} {4 \ pi h}} = {\ frac {{\ vec {\ gamma}} \ cdot d {\ vec {\ eta}}} {4 \ pi h}} = {\ frac {\ gamma (y_ {0}) dy_ {0}} {4 \ pi (y-y_ {0})}}}Sommando tutte le linee semiportanti lungo la campata y , tutti i vortici producono un movimento del fluido . Se il profilo non è troppo attorcigliato, la distanza h dal vortice anziché ze quindi prossima all'equazione è:
w(y){\ displaystyle \ w (y)} h≈y-y0{\ displaystyle \ h \ circa y-y_ {0}}
w(y)=∫-b/2b/2dw(y,y0)=14π∫-b2+b2γSiollage(y0)(y-y0)dy0{\ Displaystyle w (y) = \ int _ {- b / 2} ^ {b / 2} dw (y, y_ {0}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {- {\ frac {b} {2}}} ^ {+ {\ frac {b} {2}}} {\ frac {\ gamma _ {wake} (y_ {0})} {(y-y_ {0} )}} dy_ {0}}Permutando y e y 0 , abbiamo:
w(y0)=14π∫-b2+b2γSiollage(y)(y0-y)dy{\ displaystyle w (y_ {0}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {- {\ frac {b} {2}}} ^ {+ {\ frac {b} {2 }}} {\ frac {\ gamma _ {wake} (y)} {(y_ {0} -y)}} dy}
Calcolo dei coefficienti di portanza e resistenza
Le formule e la loro giustificazione che danno la portanza e la resistenza indotta non vengono qui trattate perché le formule sono piuttosto complesse e la loro giustificazione lo è ancora di più.
A titolo di esempio vale il coefficiente di resistenza indotta :
VSDio{\ displaystyle C_ {D_ {i}}}
VSDio=VSL2πλe{\ displaystyle C_ {D_ {i}} = {C_ {L} ^ {2} \ over \ pi \ lambda e}}dove C L è il coefficiente di portanza, λ è il rapporto di aspetto dell'ala ed è un coefficiente di correzione chiamato coefficiente di Oswald.
e∈]0,1]{\ displaystyle e \ in] 0,1]}
Note e riferimenti
-
Abbott, Ira H. , and Von Doenhoff, Albert E. (1959), Theory of Wing Sections , Section 4.2, Dover Publications Inc., New York, Standard Book Number 486-60586-8
-
Abbott, Ira H., and Von Doenhoff, Albert E. (1959), Theory of Wing Sections , Sezione 4.3
-
Clancy, LJ (1975), Aerodynamics , Sezioni da 8.1 a 8.8, Pitman Publishing Limited, Londra. ( ISBN 0273 01120 0 )
-
Informazioni di Aerospaceweb sulla teoria del profilo alare sottile
-
[1]
-
[2]
-
[3] documento in cui viene citata questa teoria
-
http://sin-web.paris.ensam.fr/IMG/pdf/Ch3_Aile_Finie.pdf
-
Bruhat, G., Mechanical , 6 th edition, Masson, 1967
-
cioè si considera che non ci sia strato limite
-
vedi pagina 71 o Glauert 1926, p. 88; Abbott e von Doenhoff 1959, p. 66; Milne-Thomson 1973, pag. 141; Moran 2003, p. 95
-
dimostrazione
-
pagina 140 del libro
-
() Hugh Harrison Hurt, Aerodynamics for Naval aviators , US Navy ,1959, 416 p. ( ISBN 978-1-939878-18-2 , leggi in linea ) , p. 24
-
http://www.aerospaceweb.org/question/airfoils/q0041.shtml
-
[4]
Appendici
Articoli Correlati
link esterno
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