Equazione di Poisson

Nell'analisi vettoriale , l'equazione di Poisson (così chiamata in onore del matematico e fisico francese Siméon Denis Poisson ) è la seguente equazione differenziale parziale ellittica del secondo ordine:

Δϕ=f{\ displaystyle \ displaystyle \ Delta \ phi = f}

dove è l' operatore laplaciano ed è una distribuzione generalmente data. Δ{\ displaystyle \ displaystyle \ Delta}f{\ displaystyle \ displaystyle f}

Su un dominio delimitato da e con un bordo normale, il problema di trovare da e soddisfare certe appropriate contorno condizioni è un problema ben posto  : la soluzione esiste ed è unico nel suo genere. RNON{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}f{\ displaystyle \ displaystyle f}

Questo problema è importante nella pratica:

• In elettrostatica , la formulazione classica (vedi equazione di Poisson-Boltzmann ) esprime il potenziale elettrico associato a una distribuzione nota di cariche dalla relazioneV{\ displaystyle \ displaystyle V} ρ{\ displaystyle \ displaystyle \ rho}

ΔV=-ρε0.{\ displaystyle \ Delta V = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}}.}

• Nella gravitazione universale , il potenziale gravitazionale è correlato alla densità dalla relazioneΦ{\ displaystyle \ displaystyle \ Phi} ρ{\ displaystyle \ displaystyle \ rho}

ΔΦ=4πGρ{\ displaystyle \ displaystyle \ Delta \ Phi = 4 \ pi \, G \, \ rho}

• Nella meccanica dei fluidi , per flussi incomprimibili, la pressione è correlata al campo di velocità da un'equazione di Poisson. Ad esempio, in 2D, annotando le componenti del campo di velocità , si scrive la relazione:p{\ displaystyle p}u{\ displaystyle {\ boldsymbol {u}}}u=(uX,uy){\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} = (u_ {x}, u_ {y})}

Δp=-1ρ((∂uX∂X)2+2∂uX∂y∂uy∂X+(∂uy∂y)2),{\ displaystyle \ Delta p = - {1 \ over \ rho} \ left (\ left ({\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial x}} \ right) ^ {2} +2 {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial y}} {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial x}} + \ left ({\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial y }} \ right) ^ {2} \ right),}

dov'è la densità del fluido. ρ{\ displaystyle \ rho}

Condizioni ai limiti

Essendo l'equazione di Poisson insensibile all'addizione su una funzione che soddisfa l' equazione di Laplace (o una semplice funzione lineare per esempio), è necessaria una condizione al contorno per sperare nell'unicità della soluzione: ad esempio le condizioni di Dirichlet , quelle di Neumann , o condizioni miste su porzioni di confine . ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}

Equazione di Poisson bidimensionale

In coordinate cartesiane in , si consideri una funzione aperta , una funzione continua su e una funzione continua sul bordo . Il problema è trovare una funzione di due variabili reali definite su cui soddisfi le due relazioni: R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}f{\ displaystyle \ displaystyle f}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}g{\ displaystyle \ displaystyle g}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}φ(X,y){\ displaystyle \ varphi (x, y)}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

∂2∂X2φ(X,y)+∂2∂y2φ(X,y)=f(X,y){\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial x ^ {2}} \ varphi (x, y) + {\ partial ^ {2} \ over \ partial y ^ {2}} \ varphi (x, y) = f (x, y)}su e suΩ{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}φ=g{\ displaystyle \ varphi = g}∂Ω.{\ displaystyle \ partial \ Omega.}

Questa formulazione è un modello matematico del problema statico di una membrana elastica tesa e caricata (una pelle di tamburo ):

• f{\ displaystyle \ displaystyle f}è la densità di carica (espressa ad esempio in Pa , questo ad un multiplo caratterizzante le proprietà elastiche della membrana);
• g{\ displaystyle \ displaystyle g} è la dimensione (aumento verticale) lungo il confine di legame della membrana;
• la soluzione indica il rating della membrana in .φ(X,y){\ displaystyle \ varphi (x, y)}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

Elementi di giustificazione

Unidimensionale, è un cavo elastico caricato che è attaccato ad entrambe le estremità.

Su un piccolo elemento si consideri l'equilibrio statico tra le due forze di trazione e della fune (rispettivamente a sinistra ea destra), quindi la forza del carico indotta da una densità di carico lineare annotata  : [X-δX,X+δX]{\ displaystyle \ displaystyle [x- \ delta x, x + \ delta x]}F→1{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1}}F→2{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2}}F→G{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {G}}ρ(X){\ displaystyle \ displaystyle \ rho (x)}

• F→1=-(F1/δX)(δXφ(X)-φ(X-δX)),{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1} = - (F_ {1} / \ delta x) {\ begin {pmatrix} \ delta x \\\ varphi (x) - \ varphi (x- \ delta x) \ end {pmatrix}},}
• F→2=(F2/δX)(δXφ(X+δX)-φ(X)),{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2} = (F_ {2} / \ delta x) {\ begin {pmatrix} \ delta x \\\ varphi (x + \ delta x) - \ varphi (x ) \ end {pmatrix}},}
• F→G=(0-2ρ(X)δX).{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {G} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ - 2 \ rho (x) \ delta x \ end {pmatrix}}.}

Senza limitare la generalità, i fattori e sono stati divisi per mantenerli di grandezza non differenziale. F1{\ displaystyle \ displaystyle F_ {1}}F2{\ displaystyle \ displaystyle F_ {2}}δX{\ displaystyle \ displaystyle \ delta x}

La somma vettoriale di queste forze porta alle uguaglianze:

• F1=F2{\ displaystyle \ displaystyle F_ {1} = F_ {2}}che si può chiamare , un coefficiente indipendente dal fatto che tutte le componenti orizzontali sono compensate per riflettersi solo sui punti di attacco,2K{\ displaystyle 2 \ displaystyle k}X{\ displaystyle \ displaystyle x}
• 2KδX[φ(X+δX)-2φ(X)+φ(X-δX)]=2ρ(X)δX{\ Displaystyle {2k \ over \ delta x} [\ varphi (x + \ delta x) -2 \ varphi (x) + \ varphi (x- \ delta x)] = 2 \ rho (x) \ delta x}che, quando tende a 0, viene scrittoδX{\ displaystyle \ delta x}Kφ″(X)=ρ(X).{\ Displaystyle k \, \ varphi '' (x) = \ rho (x).}

Quest'ultima relazione è infatti l'equazione di Poisson unidimensionale.

Formulazione e soluzione deboli

Sia un dominio aperto e limitato il cui confine sia sufficientemente regolare da soddisfare il teorema di divergenza . Lascia che il vettore sia normale e diretto verso l'esterno. Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}RNON{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}non{\ displaystyle \ mathbf {n}}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}

Sia una funzione di , quindi e funzioni continue definite su . f{\ displaystyle \ displaystyle f}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}g{\ displaystyle \ displaystyle g}α>0{\ displaystyle \ alpha> 0}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}

Stiamo cercando una soluzione per ciascuno dei seguenti problemi: ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}

-Δϕ=f{\ displaystyle \ displaystyle - \ Delta \ phi = f} sicuro Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega} soddisfacendo una delle condizioni su  :∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}

1. ϕ=0{\ displaystyle \ displaystyle \ phi = 0}
2. ∇ϕ⋅non=g{\ displaystyle \ nabla \ phi \ cdot \ mathbf {n} = g}e (per fissare la costante additiva di indeterminatezza)∫ΩϕdV=0{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ phi \, \ mathrm {d} V = 0}
3. ∇ϕ⋅non+αϕ=0{\ displaystyle \ nabla \ phi \ cdot \ mathbf {n} + \ alpha \ phi = 0}

Per qualsiasi funzione regolare, la relazione ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}

diov(ψ∇ϕ)=∇ϕ⋅∇ψ+ψΔϕ{\ displaystyle {\ mathrm {div}} (\ psi \, \ nabla \ phi) = \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi + \ psi \ Delta \ phi}

e il teorema della divergenza implica

∫Ω∇ϕ⋅∇ψdV=-∫ΩψΔϕdV+∫∂Ωψ∇ϕ⋅nondS.{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V = - \ int _ {\ Omega} \ psi \, \ Delta \ phi \, \ mathrm { d} V + \ int _ {\ partial \ Omega} \ psi \, \ nabla \ phi \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} S.}

Se la soluzione del problema precedente è stata mantenuta con la condizione al contorno mantenuta, allora ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}

1. ∫Ω∇ϕ⋅∇ψdV=∫ΩfψdV{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ Omega} f \, \ psi \, \ mathrm {d} V}
2. ∫Ω∇ϕ⋅∇ψdV=∫ΩfψdV+∫∂ΩgψdS{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V = \ int _ {\ Omega} f \, \ psi \, \ mathrm {d} V + \ int _ {\ partial \ Omega} g \, \ psi \, \ mathrm {d} S}
3. ∫Ω∇ϕ⋅∇ψdV+∫∂ΩαϕψdS=∫ΩfψdV{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ psi \, \ mathrm {d} V + \ int _ {\ partial \ Omega} \ alpha \, \ phi \, \ psi \, \ mathrm {d} S = \ int _ {\ Omega} f \, \ psi \, \ mathrm {d} V}

Notando il lato sinistro e il lato destro, la formulazione debole è costituita da: a(ϕ,ψ){\ displaystyle a (\ phi, \, \ psi)}b(ψ){\ displaystyle \ displaystyle b (\ psi)}

• definire uno spazio vettoriale appropriato in cui e sono definiti,H{\ displaystyle \ displaystyle H}a(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a (.,.)}b(.){\ displaystyle \ displaystyle b (.)}
• cerca come per tutto .ϕ∈H{\ displaystyle \ displaystyle \ phi \ in H}a(ϕ,ψ)=b(ψ){\ displaystyle a (\ phi, \, \ psi) = b (\ psi)}ψ∈H{\ displaystyle \ psi \ in H}

Se esiste, la soluzione naturale di queste formulazioni si trova nello spazio di Sobolev provvisto della sua norma.H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}‖ψ‖H12=‖ψ‖L22+‖∇ψ‖L22.{\ displaystyle \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}} ^ {2} = \ | \ psi \ | _ {L ^ {2}} ^ {2} + \ | \ nabla \ psi \ | _ {L ^ {2}} ^ {2}.}

Infatti, per ogni problema, è una forma bilineare simmetrica definita su , ed è una forma lineare su . a(.,.){\ displaystyle a (.,.)}H1(Ω)×H1(Ω){\ displaystyle H ^ {1} (\ Omega) \ times H ^ {1} (\ Omega)}b(.){\ displaystyle b (.)}H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}

Proposizione  -  Sia un dominio aperto e limitato di e con frontiera regolare (o regolare a tratti), in , quindi e funzioni continue definite su . Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}RNON{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}f{\ displaystyle \ displaystyle f}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}g{\ displaystyle \ displaystyle g}α>0{\ displaystyle \ alpha> 0}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}

Quindi i tre problemi precedenti hanno un'unica soluzione in cui è caratterizzata dalla corrispondente formulazione debole implementata nei seguenti spazi: ϕ{\ displaystyle \ displaystyle \ phi}H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}

1. H=H01(Ω){\ displaystyle H = H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}che è l' adesione in funzioni indefinitamente differenziabili e supportate in modo compatto inH1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}Ω.{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega.}
2. H={ϕ∈H1(Ω)|∫ΩϕdV=0}.{\ Displaystyle H = \ left \ {\ phi \ in H ^ {1} (\ Omega) \, | \ int _ {\ Omega} \ phi \, \ mathrm {d} V = 0 \ right \}.}
3. H=H1(Ω).{\ displaystyle \ displaystyle H = H ^ {1} (\ Omega).}

Giustificazione

Se sono soddisfatte le condizioni di continuità e coercività delle ipotesi del teorema di Lax-Milgram , quest'ultimo consente di concludere.

• Continuità

Per la continuità delle due forme si tratta di mostrare l'esistenza di costanti positive notate genericamente come vs{\ displaystyle \ displaystyle c}

|a(ϕ,ψ)|⩽vs‖ϕ‖H1‖ψ‖H1,{\ displaystyle | a (\ phi, \, \ psi) | \ leqslant c \, \ | \ phi \ | _ {H ^ {1}} \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}},} |b(ψ)|⩽vs‖ψ‖H1.{\ displaystyle | b (\, \ psi) | \ leqslant c \, \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}}.}

Queste costanti esistono per definizione della norma e per la continuità degli operatori di traccia che ad una funzione associa una funzione di definita dalla restrizione di on . H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}ψ∈H1(Ω){\ displaystyle \ psi \ in H ^ {1} (\ Omega)}L2(∂Ω){\ displaystyle L ^ {2} (\ partial \ Omega)}ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}

Possiamo notare che la continuità delle forme garantisce contemporaneamente la loro rigorosa definizione. Per il secondo problema in particolare, delimitato implica la continuità dell'iniezione di in per la norma , che giustifica la definizione dello spazio corrispondente. Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}L1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {1} (\ Omega)}‖.‖L1{\ displaystyle \ |. \ | _ {L ^ {1}}}H{\ displaystyle \ displaystyle H}

• Coercività

Per la coercitività di , si tratta di mostrare l'esistenza di una costante indipendente di tale quella a(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a (.,.)}μ>0{\ displaystyle \ displaystyle \ mu> 0}ψ∈H{\ displaystyle \ psi \ in H}

• |a(ψ,ψ)|⩾μ‖ϕ‖H12.{\ displaystyle | a (\ psi, \, \ psi) | \ geqslant \ mu \, \ | \ phi \ | _ {H ^ {1}} ^ {2}.}

Questa proprietà deriva dalla classica disuguaglianza Poincaré per la forma e la disuguaglianza Poincaré-Wirtinger per la forma . a1(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a_ {1} (.,.)}a2(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a_ {2} (.,.)}

La coercitività della forma può essere mostrata nell'assurdo. Notando a3(.,.){\ displaystyle \ displaystyle a_ {3} (.,.)}

d(ψ)=∫∂Ωαψ2dS,{\ Displaystyle d (\ psi) = \ int _ {\ partial \ Omega} \ alpha \, \ psi ^ {2} \, \ mathrm {d} S,}

supponiamo che ci sia una sequenza soddisfacente ψnon∈H1(Ω){\ displaystyle \ psi _ {n} \ in H ^ {1} (\ Omega)}

‖ψnon‖H1=1{\ displaystyle \ | \ psi _ {n} \ | _ {H ^ {1}} = 1}e tende a 0.a3(ψnon,ψnon)=d(ψnon)+‖∇ψnon‖L22{\ displaystyle a_ {3} (\ psi _ {n}, \, \ psi _ {n}) = d (\ psi _ {n}) + \ | \ nabla \ psi _ {n} \ | _ {L ^ {2}} ^ {2}}

Per compattezza dell'iniezione canonica di into (quando è limitato), esiste una sottosequenza convergente a una funzione per la norma . Questa sequenza è quindi una sequenza di Cauchy in e, poiché il suo gradiente tende a 0 in , è anche una sequenza di Cauchy in cui converge verso e che può essere solo una funzione costante con . Pertanto, la sua traccia su (per continuità) può essere solo una costante diversa da zero, che contraddice . H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}‖.‖L2{\ displaystyle \ |. \ | _ {L ^ {2}}}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}L2(Ω){\ displaystyle \ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}H1(Ω){\ displaystyle \ displaystyle H ^ {1} (\ Omega)}ψ∈H1(Ω){\ displaystyle \ psi \ in H ^ {1} (\ Omega)}‖ψ‖H1=1{\ displaystyle \ | \ psi \ | _ {H ^ {1}} = 1}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}d(ψ)=0{\ displaystyle d (\ psi) = 0}

Risoluzione

Esistono vari metodi per la risoluzione digitale. Il metodo di rilassamento , un algoritmo iterativo , è un esempio. I metodi basati sulle trasformate di Fourier sono quasi sempre usati nella gravità universale.

Considerazioni storiche e tentativi di risoluzione

L'equazione di Poisson è una famosa correzione dell'equazione differenziale di Laplace di secondo grado per il potenziale  :

∇2ϕ=-4πρ,{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = -4 \ pi \ rho \;,}

Chiamiamo anche questa equazione: l'equazione della teoria del potenziale pubblicata nel 1813. Se una funzione di un dato punto ρ = 0, otteniamo l' equazione di Laplace  :

∇2ϕ=0.{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = 0 \;.}

Nel 1812 Poisson scoprì che questa equazione è valida solo al di fuori di un solido. Una prova rigorosa per masse con densità variabile fu data per la prima volta da Carl Friedrich Gauss nel 1839 . Le due equazioni hanno i loro equivalenti nell'analisi vettoriale . Lo studio dei campi scalari φ di una divergenza Fornisce:

∇2ϕ=ρ(X,y,z).{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = \ rho (x, y, z) \;.}

Ad esempio, un'equazione di Poisson per un potenziale elettrico superficiale Ψ, che mostra la sua dipendenza dalla densità di una carica elettrica ρ e in un punto particolare:

∇2Ψ=∂2Ψ∂X2+∂2Ψ∂y2+∂2Ψ∂z2=-ρeεε0.{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Psi = {\ partial ^ {2} \ Psi \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} \ Psi \ over \ partial y ^ {2} } + {\ partial ^ {2} \ Psi \ over \ partial z ^ {2}} = - {\ rho _ {e} \ over \ varepsilon \ varepsilon _ {0}} \;.}

La distribuzione di una carica in un fluido è sconosciuta e dobbiamo usare l' equazione di Poisson-Boltzmann  :

∇2Ψ=non0eεε0(eeΨ(X,y,z)KBT-e-eΨ(X,y,z)KBT),{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Psi = {n_ {0} e \ over \ varepsilon \ varepsilon _ {0}} \ left (e ^ {e \ Psi (x, y, z) \ over k_ {B } T} -e ^ {- e \ Psi (x, y, z) \ su k_ {B} T} \ right) \;,}

che, nella maggior parte dei casi, non può essere risolto analiticamente, ma solo per situazioni particolari. In coordinate polari , l'equazione di Poisson-Boltzmann è:

1r2ddr(r2dΨdr)=non0eεε0(eeΨ(r)KBT-e-eΨ(r)KBT),{\ displaystyle {1 \ over r ^ {2}} {d \ over dr} \ left (r ^ {2} {d \ Psi \ over dr} \ right) = {n_ {0} e \ over \ varepsilon \ varepsilon _ {0}} \ left (e ^ {e \ Psi (r) \ over k_ {B} T} -e ^ {- e \ Psi (r) \ over k_ {B} T} \ right) \; ,}

che non può essere risolto neanche analiticamente. Anche se il campo φ non è scalare, l'equazione di Poisson è valida, come può essere ad esempio in uno spazio di Minkowski quadridimensionale:

◻ϕioK=ρ(X,y,z,vst).{\ Displaystyle \ square \ phi _ {ik} = \ rho (x, y, z, ct) \;.}

Se ρ ( x , y , z ) è una funzione continua e se per r → ∞ (o se un punto 'si muove' all'infinito ) una funzione φ va a 0 sufficientemente rapidamente, una soluzione dell'equazione di Poisson è il potenziale newtoniano di a funzione ρ ( x , y , z ):

ϕM=-14π∫ρ(X,y,z)dvr,{\ Displaystyle \ phi _ {M} = - {1 \ over 4 \ pi} \ int {\ rho (x, y, z) dv \ over r} \;,}

dove r è la distanza tra l'elemento con il volume v e il punto M . L'integrazione copre l'intero spazio. L'integrale di Poisson risolvendo la funzione di Green per il problema di Dirichlet dell'equazione di Laplace, se il cerchio è il dominio di interesse:

ϕ(ξ,η)=12π∫02πR2-ρ2R2+ρ2-2Rρcos⁡(ψ-χ)ϕ(χ)dχ,{\ displaystyle \ phi (\ xi, \ eta) = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {R ^ {2} - \ rho ^ {2} \ over R ^ {2} + \ rho ^ {2} -2R \ rho \ cos (\ psi - \ chi)} \ phi (\ chi) d \ chi \;,}

o :

ξ=ρcos⁡ψ,η=ρpeccato⁡ψ.{\ Displaystyle \ xi = \ rho \ cos \ psi \ ;, \ quad \ eta = \ rho \ sin \ psi \;.}

φ (χ) è una funzione prescritta su una linea circolare, che definisce le condizioni al contorno della funzione richiesta φ dell'equazione di Laplace. Analogamente definiamo funzione di Green per il problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace 2 φ = 0 nello spazio per un dominio costituito da una sfera di raggio R . Questa volta la funzione di Green è:

G(X,y,z;ξ,η,ζ)=1r-Rr1ρ,{\ displaystyle G (x, y, z; \ xi, \ eta, \ zeta) = {1 \ over r} - {R \ over r_ {1} \ rho} \;,}

dove: è una distanza di un punto (ξ, η, ζ) dal centro di una sfera, r una distanza tra i punti ( x , y , z ), (ξ, η, ζ), r 1 è una distanza tra il punto ( x , y , z ) e il punto ( R ξ / ρ, R η / ρ, R ζ / ρ), simmetrici al punto (ξ, η, ζ). L'integrale di Poisson ha ora la forma: ρ=ξ2+η2+ζ2{\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {\ xi ^ {2} + \ eta ^ {2} + \ zeta ^ {2}}}}

ϕ(ξ,η,ζ)=14π∫∫SR2-ρ2Rr3ϕdS.{\ displaystyle \ phi (\ xi, \ eta, \ zeta) = {1 \ over 4 \ pi} \ int \! \! \! \ int _ {S} {R ^ {2} - \ rho ^ {2 } \ over Rr ^ {3}} \ phi ds \;.}

Note e riferimenti

Vedi anche

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato "  Siméon Denis Poisson  " ( vedi la lista degli autori ) .

Bibliografia

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• [Godard e Boer 2020] Roger Godard e John de Boer , "Gauss and the Earth's Magnetic Field Model" , in Maria Zack e Dirk Schlimm (a cura di ), Research in history and filosofia of matematica  : the CSHPM2018volume [“Ricerca nella storia e filosofia della matematica”], Cham, Birkhäuser , coll.  "  Atti della Società canadese di storia e filosofia della matematica / (Atti della) Società canadese di storia e filosofia della matematica  ",Gennaio 2020, 1 °  ed. , 1  vol. , XIII -172  p. , malato. , 15,6 × 23,4  cm ( ISBN  978-3-030-31196-4 , OCLC  1154674154 , DOI  10.1007 / 978-3-030-31298-5 , presentazione online , leggi online ) , cap.  8 , p.  125-138.
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• AD Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ( ISBN  1-58488-299-9 )

Articoli Correlati

• Operatore laplaciano
• Operatore laplaciano vettoriale
• Equazione di Laplace
• Teoria potenziale

link esterno

• (en) Eric W. Weisstein , "  Poisson Integral  " , su MathWorld
• (it) Eric W. Weisstein , "  Poisson Kernel  " , su MathWorld
• (in) Integrale di Poisson per l'unità disco
• Avvisi in dizionari generali o enciclopedie  : Encyclopædia Britannica  • Swedish Nationalencyklopedin