Teorema di Wittenbauer

In geometria, il parallelogramma di Wittenbauer è un parallelogramma ottenuto da qualsiasi quadrilatero tagliandone ogni lato in tre segmenti della stessa dimensione e disegnando linee rette passanti per due punti adiacenti allo stesso vertice.

Prende il nome dall'ingegnere austriaco Ferdinand Wittenbauer  (de) .

A questo parallelogramma è associato il teorema di Wittenbauer che specifica che, nel caso di un quadrilatero ABCD non incrociato, i centri di massa del parallelogramma e del quadrilatero, considerati piatti omogenei, sono gli stessi.

Parallelogramma di Wittenbauer

Secondo il teorema di Talete , le rette che uniscono due punti adiacenti dello stesso vertice sono sempre parallele alla diagonale opposta a questo vertice. Le linee così costruite sono parallele a due a due e disegnano un parallelogramma fintanto che le diagonali sono secanti. Questo è il caso di tutti i quadrilateri non incrociati e dei quadrilateri incrociati non associati a un trapezio .

Inoltre, il centro del parallelogramma, il punto di intersezione delle diagonali e il centro isobario del quadrilatero di partenza sono allineati.

In effetti, possiamo facilmente dimostrare, usando il teorema di Talete, che:

ioP→=23ioA→+23ioB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {IP}} = {\ frac {2} {3}} {\ overrightarrow {IA}} + {\ frac {2} {3}} {\ overrightarrow {IB}}}

e

ioR→=23ioVS→+23ioD→{\ displaystyle {\ overrightarrow {IR}} = {\ frac {2} {3}} {\ overrightarrow {IC}} + {\ frac {2} {3}} {\ overrightarrow {ID}}}.

Come

ioO→=12ioP→+12ioR→{\ displaystyle {\ overrightarrow {IO}} = {\ frac {1} {2}} {\ overrightarrow {IP}} + {\ frac {1} {2}} {\ overrightarrow {IR}}},

noi abbiamo

ioO→=13ioA→+13ioB→+13ioVS→+13ioD→=43ioG→{\ displaystyle {\ overrightarrow {IO}} = {\ frac {1} {3}} {\ overrightarrow {IA}} + {\ frac {1} {3}} {\ overrightarrow {IB}} + {\ frac {1} {3}} {\ overrightarrow {IC}} + {\ frac {1} {3}} {\ overrightarrow {ID}} = {\ frac {4} {3}} {\ overrightarrow {IG}} },

Infine, l'area del parallelogramma è sempre uguale a otto noni dell'area del quadrilatero convesso iniziale.

Teorema di Wittenbauer

Nel caso di un quadrilatero non incrociato, il centro di massa del quadrilatero considerato come un piatto omogeneo coincide con il centro del parallelogramma di Wittenbauer.

Il principio della dimostrazione sta nella seguente osservazione: nella figura a fianco, il baricentro G 1 del triangolo ABD coincide con il centro del parallelogramma PP'S'S. Infatti, G 1 si trova nel mezzo del segmento [MN] che è anche una mediana del parallelogramma PP'S'S.

Le proprietà di addizione e sottrazione dei centri di massa ci permettono di dire che i centri di massa del quadrilatero ABCD e del parallelogramma PQRS sono baricentri di G 1 e G 2 (baricentro del CBD). Si trovano quindi a destra (G 1 e G 2 ). Si trovano anche a destra (G 3 e G 4 ) unendo i centri di gravità dei triangoli BCA e DCA. Si trovano quindi all'incrocio di queste due linee e sono quindi la stessa cosa.

Fonti

• (it) "Teorema di Wittenbauer" , in Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , leggi in linea )
• (it) Eric W. Weisstein , "  Wittenbauer's Parallelogram  " , su MathWorld
• (it) Eric W. Weisstein , "  Teorema di Wittenbauer  " , su MathWorld
• Parallelogramma di Wittenbauer , attività ICT proposta da IREM Lille