Teorema di Hille-Yosida

Nella teoria dei semigruppi , il teorema di Hille-Yosida è uno strumento potente e fondamentale che mette in relazione le proprietà di dissipazione di energia di un operatore illimitato all'esistenza e all'unicità e regolarità delle soluzioni di un'equazione differenziale (E) A:D(A)⊂X⟶X{\ displaystyle A: D (A) \ subset X \ longrightarrow X}

{X′(t)=AX(t)X(0)=X0{\ displaystyle {\ begin {cases} x '(t) = Ax (t) \\ x (0) = x_ {0} \ end {cases}}}.

Questo risultato permette in particolare di dare l'esistenza, l'unicità e la regolarità delle soluzioni di un'equazione alle derivate parziali in modo più efficiente rispetto al teorema di Cauchy-Lipschitz-Picard , più adatto alle equazioni differenziali ordinarie.

Semi-gruppi

La teoria dei semigruppi deve la sua origine allo studio del flusso di un'equazione differenziale autonoma ordinaria in dimensione finita nonché dell'esponenziale degli operatori.

Definizioni

Sia uno spazio di Banach; diciamo che la famiglia degli operatori lineari è un semigruppo (fortemente continuo) se: X{\ displaystyle X}(S(t))t≥0{\ displaystyle \ sinistra (S (t) \ destra) _ {t \ geq 0}}

1. ∀t≥0, S(t)∈L(X){\ displaystyle \ forall t \ geq 0, ~ S (t) \ in {\ mathcal {L}} (X)}
2. S(0)=iodL(X){\ displaystyle S (0) = \ mathrm {Id} _ {{\ mathcal {L}} (X)}}
3. ∀(S,t)≥0, S(S+t)=S(S)∘S(t){\ Displaystyle \ forall (s, t) \ geq 0, ~ S (s + t) = S (s) \ circ S (t)}
4. ∀X∈X, limt→0+S(t)X=X{\ displaystyle \ forall x \ in X, ~ \ lim _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} S (t) x = x}

La condizione 4 è equivalente a quella . ∀X∈X, t↦S(t)X ∈VS0(R+,X){\ displaystyle \ forall x \ in X, ~ t \ mapsto S (t) x ~ \ in {\ mathcal {C}} ^ {0} (\ mathbb {R} ^ {+}, X)}

Se sostituiamo 4 con: diciamo che è uniformemente continuo. limt→0+‖S(t)-iod‖L(X)=0{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} \ | S (t) -Id \ | _ {{\ mathcal {L}} (X)} = 0}(S(t))t≥0{\ displaystyle \ sinistra (S (t) \ destra) _ {t \ geq 0}}

Troviamo (vagamente) con questa definizione la nozione di famiglia di diffeomorfismi ad un parametro ben nota nella teoria delle equazioni differenziali ordinarie.

Definiamo il generatore infinitesimale di un semigruppo fortemente continuo come l'operatore illimitato dove: (A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))}(S(t))t≥0{\ displaystyle \ sinistra (S (t) \ destra) _ {t \ geq 0}}A:D(A)⊂X⟶X{\ displaystyle A: D (A) \ subset X \ longrightarrow X}

D(A)={X∈X, limt→0S(t)X-Xt esistere}{\ Displaystyle D (A) = \ left \ {x \ in X, ~ \ lim _ {t \ rightarrow 0} {\ frac {S (t) xx} {t}} {\ text {esiste}} \ right \}} ∀X∈D(A), AX=limt→0S(t)X-Xt{\ displaystyle \ forall x \ in D (A), ~ Ax = \ lim _ {t \ rightarrow 0} {\ frac {S (t) xx} {t}}}

Nel caso in cui e la famiglia di operatori (classicamente definita dalla sua serie) è un semigruppo fortemente continuo con un generatore infinitesimale : ecco perché a volte si denota impropriamente .D(A)=X{\ displaystyle D (A) = X}A∈L(X){\ displaystyle A \ in {\ mathcal {L}} (X)}(etA)t≥0{\ displaystyle \ sinistra (e ^ {tA} \ destra) _ {t \ geq 0}}A{\ displaystyle A}S(t)=etA{\ displaystyle S (t) = e ^ {tA}}

Diciamo che il semigruppo è la contrazione se .(S(t))t≥0{\ displaystyle \ sinistra (S (t) \ destra) _ {t \ geq 0}}∀t≥0, ‖S(t)‖L(X)≤1{\ displaystyle \ forall t \ geq 0, ~ \ | S (t) \ | _ {{\ mathcal {L}} (X)} \ leq 1}

Proprietà dei semigruppi di contrazione

Teorema 1  -  Sia acceso uno spazio di Banach, un semigruppo di contrazione e il suo generatore infinitesimale. Allora : X{\ displaystyle X}(S(t))t≥0{\ displaystyle \ sinistra (S (t) \ destra) _ {t \ geq 0}}X{\ displaystyle X}(A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))}

1. ∀X∈X{\ displaystyle \ forall x \ in X} il flusso t↦S(t)X∈VS0(R+,X){\ displaystyle t \ mapsto S (t) x \ in {\ mathcal {C}} ^ {0} (\ mathbb {R} ^ {+}, X)}
2. ∀X∈D(A){\ displaystyle \ forall x \ in D (A)}e abbiamo , il flusso e il controllo∀t≥0{\ displaystyle \ forall t \ geq 0}S(t)X∈D(A){\ displaystyle S (t) x \ in D (A)}t↦S(t)X∈VS1(R+,X){\ displaystyle t \ mapsto S (t) x \ in {\ mathcal {C}} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {+}, X)}X′(t)=AX(t){\ displaystyle x '(t) = Ax (t)}
3. (A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))} è chiuso dal dominio denso.

Teorema 2 (Caratterizzazione di generatori infinitesimali)  -  Sia un operatore illimitato su . Abbiamo l'equivalenza: A:D(A)⊂X⟶X{\ displaystyle A: D (A) \ subset X \ longrightarrow X}X{\ displaystyle X}

1. (A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))} è il generatore infinitesimale di un semigruppo di contrazione
2. D(A){\ displaystyle D (A)}è denso e per ogni condizione iniziale esiste un'unica soluzione di (E).X0∈D(A){\ displaystyle x_ {0} \ in D (A)}t↦X(t)∈VS1(R+,X){\ displaystyle t \ mapsto x (t) \ in {\ mathcal {C}} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {+}, X)}

Inoltre, in questa ipotesi, la soluzione ha valori in e soddisfa così come (disuguaglianze energetiche). X(t){\ displaystyle x (t)}D(A){\ displaystyle D (A)}‖X(t)‖X≤‖X0‖X{\ displaystyle \ | x (t) \ | _ {X} \ leq \ | x_ {0} \ | _ {X}}‖X′(t)‖X≤‖AX(t)‖X≤‖AX0‖X{\ displaystyle \ | x '(t) \ | _ {X} \ leq \ | Ax (t) \ | _ {X} \ leq \ | Ax_ {0} \ | _ {X}}

Cominciamo a vedere il legame tra il problema (E) e la nozione di semigruppo. Per chiarire, è ora necessario introdurre la nozione di operatore dissipativo.

Operatori dissipativi

Definizioni

• Un operatore è dissipativo se . Nel caso in cui è Hilbertiano, mostriamo che A è dissipativo se e solo se .(A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))}∀X∈D(A),∀λ>0, ‖X-λAX‖≥‖X‖{\ displaystyle \ forall x \ in D (A), \ forall \ lambda> 0, ~ \ | x- \ lambda Ax \ | \ geq \ | x \ |}X=H{\ displaystyle X = H}∀X∈D(A),Re(⟨AX,X⟩H)≤0{\ displaystyle \ forall x \ in D (A), \, {\ mathfrak {Re}} (\ langle Ax, x \ rangle _ {H}) \ leq 0}

Nota: se è un operatore dissipativo, l'operatore è iniettivo perché . (A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))}∀λ>0{\ displaystyle \ forall \ lambda> 0}(iod-λA){\ displaystyle (\ mathrm {Id} - \ lambda A)}(io-λA)X=0⇒0≤‖X‖≤‖(io-λA)X‖=0⇒X=0{\ displaystyle (I- \ lambda A) x = 0 \ Rightarrow 0 \ leq \ | x \ | \ leq \ | (I- \ lambda A) x \ | = 0 \ Rightarrow x = 0}

• Se inoltre , è suriettiva diciamo che è massima dissipativo (o m-dissipativo). Possiamo dimostrarlo , è suriettivo se e solo se∀λ>0{\ displaystyle \ forall \ lambda> 0}iod-λA{\ displaystyle \ mathrm {Id} - \ lambda A}(A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))}∀λ>0{\ displaystyle \ forall \ lambda> 0}iod-λA{\ displaystyle \ mathrm {Id} - \ lambda A}

∃λ0,iod-λ0A surjective{\ displaystyle \ exist \ lambda _ {0}, \ mathrm {Id} - \ lambda _ {0} A ~ {\ text {surjective}}}.

In pratica, per dimostrare che un operatore è m-dissipativo, mostriamo prima a mano che è dissipativo e poi risolviamo un problema variazionale per un valore ben scelto (ad esempio con il teorema di Lax-Milgram , vedi esempio del calore equazione discussa di seguito). λ0{\ displaystyle \ lambda _ {0}}

In questo caso l'operatore è un isomorfismo (a priori non continua) di e note , chiamato risolvente di A . Più, (iod-λA){\ displaystyle (\ mathrm {Id} - \ lambda A)}L(A,X){\ displaystyle L (A, X)}Jλ=(iod-λA)-1{\ displaystyle J _ {\ lambda} = (\ mathrm {Id} - \ lambda A) ^ {- 1}}

‖Jλy‖X≤‖(iod-λA)[Jλy]‖X≤‖y‖X{\ displaystyle \ | J _ {\ lambda} y \ | _ {X} \ leq \ | (\ mathrm {Id} - \ lambda A) [J _ {\ lambda} y] \ | _ {X} \ leq \ | y \ | _ {X}}, .Jλ∈L((X,‖.‖X),(D(A),‖.‖X)){\ displaystyle J _ {\ lambda} \ in {\ mathcal {L}} \ left ((X, \ |. \ | _ {X}), (D (A), \ |. \ | _ {X} ) \ right)}

Vedremo che questa proprietà di continuità può essere migliorata (renderemo la topologia meno fine fornendo uno standard ). (D(A),‖.‖X){\ displaystyle (D (A), \ |. \ | _ {X})}D(A){\ displaystyle D (A)}‖.‖D(A){\ displaystyle \ |. \ | _ {D (A)}}

Proprietà degli operatori m-dissipativi

Proprietà 1 : se è m-dissipativo, è un operatore chiuso. (A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))}

Corollario 1  : perché posiamo . Quindi è una norma per la quale è uno spazio di Banach e . X∈D(A){\ displaystyle x \ in D (A)}‖X‖D(A)=‖X‖X+‖AX‖X{\ displaystyle \ | x \ | _ {D (A)} = \ | x \ | _ {X} + \ | Ax \ | _ {X}}‖.‖D(A){\ displaystyle \ |. \ | _ {D (A)}}D(A){\ displaystyle D (A)}A∈L((D(A),‖.‖A),(X,‖.‖X)){\ Displaystyle A \ in {\ mathcal {L}} \ left ((D (A), \ |. \ | _ {A}), (X, \ |. \ | _ {X}) \ right)}

Proprietà 2  : se è uno spazio di Hilbert ed è m-dissipativo, allora ha un dominio denso. H{\ displaystyle H}A:D(A)⊂H⟶H{\ displaystyle A: D (A) \ subset H \ longrightarrow H}

Proprietà 3  : viceversa se è di dominio denso, dissipativo, chiuso e tale che la sua aggiunta è dissipativa allora è m-dissipativa. A:D(A)⊂H⟶H{\ displaystyle A: D (A) \ subset H \ longrightarrow H}(A∗,D(A∗)){\ displaystyle (A ^ {*}, D (A ^ {*}))}(A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))}

Corollario 3  : ancora nel quadro hilbertiano

1. se è autoadiacente dissipativo nel dominio denso, allora è m-dissipativo,(A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))}
2. se è anti-aiutante di dominio denso, allora è m-dissipativo.(A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))}

Nota: in quest'ultimo risultato, la condizione di dissipatività non è necessaria perché anti-aide coinvolge quella quindi la dissipatività, vedi l'esempio dell'equazione delle onde sotto. (A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))}⟨AX,X⟩H=0{\ displaystyle \ langle Ax, x \ rangle _ {H} = 0}

Teorema di Hille-Yosida

stati

Teorema 3 (Hille-Yosida)  -  Sia uno spazio di Banach e un operatore illimitato. Abbiamo l'equivalenza X{\ displaystyle X}A:D(A)⊂X⟶X{\ displaystyle A: D (A) \ subset X \ longrightarrow X}

1. (A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))} è un dominio denso m-dissipativo
2. (A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))} è il generatore infinitesimale di un semigruppo di contrazione

Il punto 1 del teorema precedente può essere riscritto in termini di risolvente  :

1. ' , operatore chiuso con dominio denso, controlli e per tutto .(A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))}(0,+∞)⊂ρ(A){\ displaystyle (0, + \ infty) \ subset \ rho (A)}‖Rλ‖L(X)≤1λ{\ displaystyle \ | R _ {\ lambda} \ | _ {{\ mathcal {L}} (X)} \ leq {\ frac {1} {\ lambda}}}λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0}

Quindi sotto queste ipotesi e secondo il Teorema 2 per ogni condizione iniziale esiste un'unica soluzione forte in . Quando la condizione iniziale è presa arbitraria in X, abbiamo solo una soluzione debole di classe (e mostriamo che qualsiasi soluzione debole è limite nelle soluzioni forti). X0∈D(A){\ displaystyle x_ {0} \ in D (A)}t↦X(t){\ displaystyle t \ mapsto x (t)}VS0(R+,(D(A),‖.‖D(A)))∩VS1(R+∗,(X,‖.‖X)){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} (\ mathbb {R} ^ {+}, (D (A), \ |. \ | _ {D (A)})) \ cap {\ mathcal {C}} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {+ *}, (X, \ |. \ | _ {X}))}t↦X(t)=S(t)X{\ Displaystyle t \ mapsto x (t) = S (t) x}VS0(R+,(X,‖.‖X)){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} (\ mathbb {R} ^ {+}, (X, \ |. \ | _ {X}))}X{\ displaystyle X}

Regolarità delle soluzioni

Si nota che la regolarità della soluzione è strettamente correlata alla scelta della condizione iniziale secondo il campo di A: è quindi naturale pensare che imponendo più “regolarità” si ottenga più regolarità sulle soluzioni. In particolare chiediamo , . Quindi abbiamo il seguente teorema. X0{\ displaystyle x_ {0}}K≥2{\ displaystyle k \ geq 2}D(AK)={X∈D(AK-1), AX∈D(AK-1)}{\ displaystyle D (A ^ {k}) = \ {x \ in D (A ^ {k-1}), ~ Ax \ in D (A ^ {k-1}) \}}

Teorema 4  -  Possiamo fornire le norme per le quali sono spazi di Banach. Inoltre se la condizione iniziale allora la soluzione è di classe e per e nel senso delle topologie precedenti. D(AK){\ displaystyle D (A ^ {k})}‖X‖D(AK)=∑io=0K‖AioX‖{\ displaystyle \ | x \ | _ {D (A ^ {k})} = \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ | A ^ {i} x \ |}X0∈D(AK){\ displaystyle x_ {0} \ in D (A ^ {k})}VSK(R+∗,X){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {+ *}, X)}VSK-io(R+∗,D(Aio)){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {ki} (\ mathbb {R} ^ {+ *}, D (A ^ {i}))}io=1 ...K{\ displaystyle i = 1 ... k}

Esempi

L'equazione del calore

Ci diamo una classe delimitata aperta di e proviamo a risolvere l'equazione del calore Ω{\ displaystyle \ Omega}VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}Rnon{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

{∂tu(X,t)-Δu(X,t)=0u(X,0)=u0(X){\ Displaystyle {\ begin {cases} \ partial _ {t} u (x, t) - \ Delta u (x, t) = 0 \ u (x, 0) = u_ {0} (x) \ end { case}}}

acceso per una data condizione iniziale. (X,t)∈Ω×[0,+∞]{\ displaystyle (x, t) \ in \ Omega \ times [0, + \ infty]}

Possiamo riscrivere questa equazione differenziale parziale nella forma di un'equazione differenziale ponendo , e definendo da e per tutto . Siamo nella giusta cornice per usare la teoria dei semigruppi e il teorema di Hille-Yosida; resta da dimostrare che l'operatore A è m-dissipativo. y′(t)=Ay(t){\ displaystyle y '(t) = Ay (t)}X=H=L2(Ω){\ displaystyle X = H = L ^ {2} (\ Omega)}y(t)=u(.,t)∈H{\ Displaystyle y (t) = u (., t) \ in H}(A,D(A)){\ displaystyle (A, D (A))}D(A)=H2(Ω)∩H01(Ω)⊂L2(Ω){\ Displaystyle D (A) = H ^ {2} (\ Omega) \ cap H_ {0} ^ {1} (\ Omega) \ subset L ^ {2} (\ Omega)}AX=ΔX{\ displaystyle Ax = \ Delta x}X∈D(A){\ displaystyle x \ in D (A)}

È noto che il laplaciano è un operatore autoassistente:

⟨Au,v⟩H=∫Ω(Δu)v=-∫Ω∇u⋅∇v=∫Ωu(Δv)=⟨u,Av⟩H{\ displaystyle \ langle Au, v \ rangle _ {H} = \ int _ {\ Omega} (\ Delta u) v = - \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v = \ int _ { \ Omega} u (\ Delta v) = \ langle u, Av \ rangle _ {H}}

per doppia integrazione per parti, e cioè denso , basta quindi mostrare che è dissipativo o in modo equivalente quello . Tutto però ha traccia zero, integrandosi quindi per parti . D(A){\ displaystyle D (A)}L2(Ω){\ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}ℜ(⟨AX,X⟩H)≤0{\ displaystyle \ Re (\ langle Ax, x \ rangle _ {H}) \ leq 0}X∈D(A)=H2(Ω)∩H01(Ω){\ Displaystyle x \ in D (A) = H ^ {2} (\ Omega) \ cap H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}ℜ(⟨AX,X⟩H)=-∫Ω‖∇X‖Rnon2≤0{\ displaystyle \ Re (\ langle Ax, x \ rangle _ {H}) = - \ int _ {\ Omega} \ | \ nabla x \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n}} ^ {2} \ leq 0}

Il Corollario 3 e il Teorema Hille-Yosida portano infine alla conclusione sull'esistenza, l'unicità e la regolarità delle soluzioni. Lo notiamo inoltre

ddt(‖y(t)‖H2)=2⟨y′(t),y(t)⟩H=2⟨Ay(t),y(t)⟩H≤0{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (\ | y (t) \ | _ {H} ^ {2} \ right) = 2 \ langle y '(t), y (t) \ rangle _ {H} = 2 \ langle Ay (t), y (t) \ rangle _ {H} \ leq 0}

Troviamo, ovviamente, il lato dissipativo e irreversibile dell'equazione del calore.

L'equazione delle onde

L'equazione d'onda omogenea è formulata in un dominio sufficientemente regolare (vale a dire in pratica) e su un intervallo di tempo (con ) secondo Ω{\ displaystyle \ Omega}VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}[0,T){\ displaystyle [0, T)}T>0{\ displaystyle T> 0}

{utt(t,X)-Δu(t,X)=0∀(t,X)∈(0,T)×Ωu(0,X)=f(X)∀X∈Ωut(0,X)=g(X)∀X∈Ω{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {rcll} u_ {tt} (t, x) - \ Delta u (t, x) & = & 0 & \ forall (t, x) \ in (0 , T) \ times \ Omega \\ u (0, x) & = & f (x) & \ forall x \ in \ Omega \\ u_ {t} (0, x) & = & g (x) & \ forall x \ in \ Omega \ end {array}} \ right.}

Ci collochiamo nella teoria dei semigruppi mettendo l'equazione precedente nel primo ordine temporale. Poi chiediamo

A=(0ioΔ0){\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ left ({\ begin {array} {cc} 0 & I \\\ Delta & 0 \ end {array}} \ right)}, Y=(uv){\ displaystyle {\ mathcal {Y}} = \ left ({\ begin {array} {c} u \\ v \ end {array}} \ right)}

(con ) e v=u′{\ displaystyle v = u '}

Y0=(fg).{\ displaystyle {\ mathcal {Y}} _ {0} = \ left ({\ begin {array} {c} f \\ g \ end {array}} \ right).}

L'equazione diventa quindi

{Y′(t)=AY(t)Y(0)=Y0{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {rcll} {\ mathcal {Y}} '(t) & = & {\ mathcal {A}} {\ mathcal {Y}} (t) \\ { \ mathcal {Y}} (0) & = & {\ mathcal {Y}} _ {0} \ end {array}} \ right.}.

Il dominio di Laplacien essendo , quello di è su . Verranno quindi ricavate le condizioni iniziali . Il prodotto scalare in è definito per ogni coppia in ( e ) daD(Δ)=H2(Ω)∩H01(Ω){\ displaystyle D (\ Delta) = H ^ {2} (\ Omega) \ cap H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}A{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}D(A)=H2(Ω)∩H01(Ω)×H01(Ω){\ displaystyle D ({\ mathcal {A}}) = H ^ {2} (\ Omega) \ cap H_ {0} ^ {1} (\ Omega) \ times H_ {0} ^ {1} (\ Omega )}H=H01(Ω)×L2(Ω){\ displaystyle H = H_ {0} ^ {1} (\ Omega) \ times L ^ {2} (\ Omega)}H{\ displaystyle H}H{\ displaystyle H}(u,v){\ displaystyle (u, v)}H{\ displaystyle H}u=(u1,u2){\ displaystyle u = (u_ {1}, u_ {2})}v=(v1,v2){\ displaystyle v = (v_ {1}, v_ {2})}(u,v)H=(∇u1,∇v1)L2(Ω)+(u2,v2)L2(Ω).{\ displaystyle (u, v) _ {H} = (\ nabla u_ {1}, \ nabla v_ {1}) _ {L ^ {2} (\ Omega)} + (u_ {2}, v_ {2 }) _ {L ^ {2} (\ Omega)}.}

Resta da verificare che siamo effettivamente nelle condizioni di applicazione del teorema di Hille-Yosida:

1. D(A){\ displaystyle D ({\ mathcal {A}})}è denso .H{\ displaystyle H}
2. A{\ displaystyle {\ mathcal {A}}} è chiuso.
3. A{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}è dissipativo. Questo punto merita una prova.

Prima prova

Usiamo la caratterizzazione del teorema. Lascia e . L'equazione risolutiva è scritta in formato(io′){\ displaystyle (i ')}λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0}(f,g)∈H{\ displaystyle (f, g) \ in H}(u,v){\ displaystyle (u, v)}

(∗){λu-v=fλv-Δu=g{\ displaystyle (*) \ left \ {{\ begin {array} {rcl} \ lambda uv & = & f \\\ lambda v- \ Delta u & = & g \ end {array}} \ right.}

quindi che ammette un'unica soluzione in via Lax-Milgram (perché da un lato e dall'altro gli autovalori del laplaciano sono strettamente negativi quindi è un operatore ellittico la cui forma bilineare associata soddisfa le ipotesi di Lax-Milgram). E così è . (λ2io-Δ)u=λf+g{\ displaystyle (\ lambda ^ {2} I- \ Delta) u = \ lambda f + g}u∈H01(Ω){\ displaystyle u \ in H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}λ2>0{\ displaystyle \ lambda ^ {2}> 0}(λ2io-Δ){\ displaystyle (\ lambda ^ {2} I- \ Delta)}v=λu-f{\ displaystyle v = \ lambda uf}H01(Ω){\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}

La stima del gestore risolvere deriva dal prodotto scalare di per sostituire dal suo valore in : Rλ{\ displaystyle R _ {\ lambda}}(∗)2{\ displaystyle (*) _ {2}}v{\ displaystyle v}u{\ displaystyle u}(∗)1{\ displaystyle (*) _ {1}}

λ(‖v‖L2(Ω)2+‖∇u‖L2(Ω)2)=(∇f,∇u)L2(Ω)+(g,v)L2(Ω)≤(‖g‖L2(Ω)2+‖∇f‖L2(Ω)2)1/2(‖v‖L2(Ω)2+‖∇u‖L2(Ω)2)1/2.{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ lambda (\ | v \ | _ {L ^ {2} (\ Omega)} ^ {2} + \ | \ nabla u \ | _ {L ^ {2 } (\ Omega)} ^ {2}) & = & (\ nabla f, \ nabla u) _ {L ^ {2} (\ Omega)} + (g, v) _ {L ^ {2} (\ Omega)} \\ & \ leq & (\ | g \ | _ {L ^ {2} (\ Omega)} ^ {2} + \ | \ nabla f \ | _ {L ^ {2} (\ Omega) } ^ {2}) ^ {1/2} (\ | v \ | _ {L ^ {2} (\ Omega)} ^ {2} + \ | \ nabla u \ | _ {L ^ {2} ( \ Omega)} ^ {2}) ^ {1/2}. \ End {array}}}

Quindi, da allora , otteniamo la stima prevista . Il semigruppo generato da è quindi un semigruppo di contrazione. (u,v)=Rλ(f,g){\ displaystyle (u, v) = R _ {\ lambda} (f, g)}‖Rλ‖≤1λ{\ displaystyle \ | R _ {\ lambda} \ | \ leq {\ frac {1} {\ lambda}}}A{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

Seconda prova

Possiamo usare il Corollario 3 per mostrare che è m-dissipativo mostrando che è anti-aggiunto. Abbiamo poi abbiamo per ogni coppia inA{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}A{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}(u,v){\ displaystyle (u, v)}D(A){\ displaystyle D ({\ mathcal {A}})}

(Au,v)H=(∇u2,∇v1)L2(Ω)+(Δu1,v2)L2(Ω)=-(u2,Δv1)L2(Ω)-(∇u1,∇v2)L2(Ω)=-(u,Av)H.{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} ({\ mathcal {A}} u, v) _ {H} & = & (\ nabla u_ {2}, \ nabla v_ {1}) _ {L ^ {2} (\ Omega)} + (\ Delta u_ {1}, v_ {2}) _ {L ^ {2} (\ Omega)} \\ & = & - (u_ {2}, \ Delta v_ { 1}) _ {L ^ {2} (\ Omega)} - (\ nabla u_ {1}, \ nabla v_ {2}) _ {L ^ {2} (\ Omega)} \\ & = & - ( u, {\ mathcal {A}} v) _ {H}. \ end {array}}}

Pertanto, è anti-coadiuvante e ha un dominio denso e quindi m-dissipativo. A{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

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