Teorema di esistenza di Takagi
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Nella matematica e nella teoria dei campi delle classi , il teorema di esistenza Takagi stabilisce in parte che se K è un campo numerico del gruppo di classi G , esiste un'estensione unica Abeliana L / K con il gruppo G di Galois tale che ogni ideale in K diventa principale in L e L è l'estensione abeliana ramificata massimo K . Il teorema ci dice che le classi corporee di Hilbert ipotizzate da Hilbert esistono ancora, ma Emil Artin e Philipp Furtwängler hanno dimostrato che questa principalizzazione (in) appare.
Più in generale, il teorema di esistenza ci dice che c'è una corrispondenza, invertendo inclusioni tra le estensioni abeliane di K e gruppi di ideali definiti tramite moduli di K . Qui, un modulo (o divisore di raggio ) è un prodotto formale delle valutazioni (chiamate anche luoghi ) su K elevato a esponenti interi positivi. Le valutazioni di Archimede che appaiono in un raggio sono solo quelle i cui completamenti sono i numeri reali ; sono identificabili con ordini su K e compaiono solo con esponente 1 .
Il modulo μ è un prodotto della parte Archimede α e una parte non archimedei η , e η può essere identificato con un ideale di anello degli interi di K . Il gruppo di numeri mod η di K , K η , è il gruppo moltiplicativo delle frazioni u / v con u e v diversi da zero e primo a η in . Il raggio o unità di raggio del gruppo di numeri mod u di K , K u 1 , è il sottogruppo di u / v tale che, peraltro, u ≡ v mod η e u / v > 0 per ciascun ordine di α . Un gruppo di numero di raggio è ora un gruppo compreso tra K η e K μ 1 ei gruppi di ideali mod μ sono i primi ideali frazionari con η modulo tale gruppo di numeri di raggio. Sono questi gruppi di ideali che corrispondono alle estensioni abeliane del teorema di esistenza.
Il teorema è dovuto a Teiji Takagi , che lo dimostrò durante gli anni di isolamento della prima guerra mondiale e lo presentò al Congresso internazionale dei matematici nel 1920, portando allo sviluppo della teoria dei campi di classe durante gli anni 1920. Richiesta di Hilbert, l'articolo è stato pubblicato nella Mathematische Annalen nel 1925.