Tavolo integrale

In analisi , l' integrale definito sull'intervallo $[ a , b ]$ , di una funzione integrabile $f è$ espresso utilizzando una primitiva $F$ di $f$ :

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x = \ left [F (x) \ right] _ {a} ^ {b} {: =} F ( b) -F (a).}

Le primitive della maggior parte delle funzioni che sono integrabili non possono essere espresse in una "forma chiusa" (vedi il teorema di Liouville ). Tuttavia, a volte può essere calcolato un valore di alcuni integrali definiti di queste funzioni. Di seguito vengono forniti alcuni valori integrali particolari di determinate funzioni.

Elenco

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {x ^ {s-1} \ mathrm {e} ^ {- {\ tfrac {x ^ {\ alpha}} {\ beta}}} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac {\ beta ^ {s / \ alpha}} {\ alpha}} \ Gamma (s / \ alpha)}$ per $s > 0$ e $α, β> 0$ dove $Γ$ è la funzione gamma di Eulero , di cui sono noti alcuni valori specifici , come:

$Γ ( n ) = ( n - 1)!$ per $n = 1, 2, 3, ...$
$Γ (1 / 2) = \sqrt π$ ( integrale gaussiano )
$Γ (3 / 2) = \sqrt π / 2$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {x ^ {s-1}} {\ mathrm {e} ^ {x} -1}} \, \ mathrm {d} x } = \ Gamma (s) \ zeta (s)}$ per $s > 1$ , dove $ζ$ è la funzione zeta di Riemann , a cui sono noti anche alcuni valori specifici , come:

$ζ (2) = π 2 / 6$
$ζ (4) = π 4 / 90$

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {\ sin x} {x}} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac {\ pi} {2}}}

( Integrale di Dirichlet )

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {{\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {3}}}} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac {1} {3}} \ mathrm {B} \ left ({\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {2}} \ right)}

( integrale ellittico ;

Β

è la funzione beta di Eulero )

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ ln (\ cos x) \, \ mathrm {d} x} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ ln (\ sin x) \, \ mathrm {d} x} = - {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (2)}

( Integrali di Eulero )

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ cos (x ^ {2}) \, \ mathrm {d} x} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty } {\ sin (x ^ {2}) \, \ mathrm {d} x} = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}}

( Integrali di Fresnel )

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ ln (1-2 \ alpha \ cos \, x + \ alpha ^ {2}) \, \ mathrm {d} x} = {\ begin { case} 2 \ pi \ ln | \ alpha | & {\ text {si}} | \ alpha |> 1 \\ 0 & {\ text {si}} | \ alpha | \ leq 1 \ end {case}}}

( Integrale di Poisson ).

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ sin ^ {n} x \, \ mathrm {d} x} = W_ {n}}

( Integrali di Wallis )

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ int _ {0} ^ {1} x ^ {- x} \, \ mathrm {d} x & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {-n} & \ approx 1 {,} 29 \\\ int _ {0} ^ {1} x ^ {x} \, \ mathrm {d} x & = - \ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} (- n) ^ {- n} e \ circa 0 {,} 78 \ end {case}}}

( sogno del secondo anno , attribuito a Jean Bernoulli ).

Vedi anche

Bibliografia

(en) Alan Jeffrey e Daniel Zwillinger, Table of Integrals, Series, and Products , Academic Press , 2007 ( ISBN 978-0123736376 )
(en) Milton Abramowitz e Irene Stegun , Manuale di funzioni matematiche con formule, grafici e tabelle matematiche [ dettaglio edizione ] ( leggi online )

link esterno

(it) Calcolatrice primitiva automatica , su WolframAlpha
(en) Enciclopedia dell'equazione in linea

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Bibliografia

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