Sottogruppo a un parametro

Un sottogruppo a un parametro di un gruppo di Lie reale G è un gruppo di Lie morfismo c : ℝ → G . Più specificamente, c è un controllo differenziabili :

{\ Displaystyle \ forall s, t \ in \ mathbb {R}, c (t + s) = c (t) c (s)}

Proprietà

Derivando questa relazione rispetto alla variabile s e valutando per s = 0, si ottiene:

{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R}, c '(t) = T_ {e} L_ {c (t)} \ left (c' (0) \ right)}

dove L c ( t ) denota la moltiplicazione a sinistra per c ( t ). Un sottogruppo di un parametro ottenuto come orbita dell'elemento neutro in un campo vettoriale invariante sinistra di G . Tale campo X è determinato dal suo valore X ( e ) nell'elemento neutro e . Esiste quindi una corrispondenza uno-a-uno tra il sottogruppo di un parametro e lo spazio tangente g da G a e :

a qualsiasi sottogruppo avente un parametro c di G è associato il vettore c ' (0) di g ;
ad ogni vettore v di g è associato il sottogruppo con un parametro c : ℝ → G definito dall'equazione differenziale c '( t ) = T e L c ( t ) [ v ] e dalla condizione iniziale c ' (0) = v .

I sottogruppi a un parametro intervengono naturalmente nella definizione della mappa esponenziale del gruppo di Lie G :

la mappa esponenziale è la mappa exp: g → G definita da exp ( v ) = c (1) dove c è il sottogruppo a un parametro di G associato a X ;
ogni sottogruppo di un parametro c è scritto in modo univoco c ( t ) = exp ( t . v ) dove v = c '(0).

Esempi

Gruppo di Lie commutativo

Qualsiasi spazio vettoriale reale di dimensione finita E è un gruppo di Lie, la legge interna è l'aggiunta del vettore. Lo spazio tangente a 0 di E si identifica naturalmente con E come uno spazio vettoriale reale. I sottogruppi di un parametro E sono semplicemente applicazioni t ↦ t . v dove v gestisce E : che sono parametrizzati linee vettoriali di E .

La classificazione dei gruppi di Lie commutativi è nota ed elementare. Qualsiasi gruppo di Lie commutativa G è realizzato come un quoziente di uno spazio vettoriale S da un sottogruppo discreto, una sottorete E . Sottogruppi un parametro G Si ottiene così facendo passare quoziente dritto parametrizzati E .

Un esempio importante è il toro ℝ n / ℤ n . I sottogruppi a un parametro sono le mappature c v : t → t . v mod ℤ n dove v attraversa ℝ n . Compaiono comportamenti diversi:

se v è proporzionale a un elemento del reticolo ℤ n , c v è una mappa periodica, un'immersione della retta reale e un diffeomorfismo locale di ℝ su un cerchio di ℝ n / ℤ n ;
altrimenti, c è un'immersione della linea reale, ma l'immagine non è una varietà. Nella dimensione n = 2, l'immagine è densa nel toro. In una dimensione superiore, l'adesione dell'immagine è una sottovarietà diffeomorfa a un toro, e tutte le dimensioni intermedie che vanno da 2 an sono realizzabili.

Gruppo di rotazione

Per ogni vettore v diverso da zero di ℝ 3 , la mappa R associa a t la rotazione dell'asse orientato ℝ. v e dell'angolo t è un sottogruppo a un parametro del gruppo SO (3) delle rotazioni dello spazio euclideo.

Questi sono esattamente tutti i sottogruppi a un parametro di SO (3). È notevole notare che sono tutte applicazioni periodiche.

Come promemoria, è comune parametrizzare il gruppo SO (3) per quaternioni unitari.

I sottogruppi con un parametro di S 3 hanno come immagini le tracce dei piani vettoriali reali di H contenenti 1. Si tratta di diffeomorfismi locali di ℝ su cerchi grandi di S 3 .

Gruppo un parametro di diffeomorfismi

La definizione può essere facilmente generalizzata a gruppi di Lie di dimensione infinita. L'esempio standard è il gruppo dei diffeomorfismi di una varietà differenziale M di dimensione n . Ad esempio, è possibile introdurre la nozione di gruppo con un parametro di diffeomorfismo .

Un gruppo con un parametro di diffeomorfismi è una mappa differenziabili f : ℝ × M → M tale che le sezioni f t sono diffeomorfismi della varietà M che soddisfano:

{\ Displaystyle \ forall t, s \ in \ mathbb {R}, f_ {t + s} = f_ {t} \ circ f_ {s}}

È semplicemente un'azione differenziabile su ℝ milioni .

Questa nozione deve essere confrontata con il campo vettoriale:

ad ogni gruppo con diffeomorfismo parametro f di M è associato un unico campo di vettori X su M dato da: ${\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R}, {\ frac {d} {dt}} f_ {t} (x) = X \ left [f_ {t} (x) \ right]}$ ;
viceversa, se M è compatto , qualsiasi campo vettoriale X su M è associato a un singolo gruppo ad un parametro diffeomorfismo f determinato dalla relazione di cui sopra, e chiamato flusso campo X .

Si dice quindi che il campo sia globale .

Se M ha più struttura ( varietà Riemanniana , varietà simplettica o varietà di contatto per esempio), potremmo volere che le sezioni f t conservino questa struttura; in questo caso, il termine diffeomorfismo è sostituito da un vocabolario adattato.