Punto di riferimento di Frenet

In cinematica o in geometria differenziale , il sistema di coordinate Frenet o sistema di coordinate Serret- Frenet è uno strumento per studiare il comportamento locale delle curve . Si tratta di un segno di riferimento locale associato ad un punto P, che descrive una curva (C). Il suo metodo di costruzione è diverso a seconda che lo spazio ambiente sia di dimensione 2 (curva piana) o 3 (curva sinistra); è anche possibile definire un sistema di coordinate Frenet in qualsiasi dimensione, purché la curva soddisfi semplici condizioni differenziali.

Il sistema di riferimento di Frenet , e le formule di Frenet che forniscono le derivate dei vettori di questo sistema di riferimento, consentono di eseguire sistematicamente calcoli di curvatura e torsione per le curve sinistre e di introdurre concetti geometrici associati alle curve: cerchio osculatore , piano osculatore , parallelismo delle curve  ( fr ) ...

Arco piano parametrizzato

La cornice è il piano euclideo orientato riferito ad un sistema di coordinate ortonormale, si annotano le coordinate e e l'origine . Si presume che l'arco sia definito dalle funzioni di classe e regolare . Per semplificare lo studio si utilizza una parametrizzazione normale , dove è l' ascissa curvilinea . X{\ stile di visualizzazione x}sì{\ stile di visualizzazione y}oh{\ stile di visualizzazione O}VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}} M(S)=(X(S),sì(S)){\ displaystyle M (s) = (x (s), y (s))}S{\ stile di visualizzazione}

Andiamo a un punto particolare del parametro . Poiché l'arco è parametrizzato dall'ascissa curvilinea, il vettore derivativo, essendo unitario e tangente alla curva, è diretto nella direzione del movimento. Porta il nome di vettore tangente alla curva ed è annotato tradizionalmente . S{\ stile di visualizzazione}dohM→(S)/dS{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ overrightarrow {OM}} (s) / \ mathrm {d} s}T→(S){\ displaystyle {\ overrightarrow {T}} (s)}

Il vettore normale unitario si completa in una base ortonormale diretta , chiamata base di Frenet. Si ottiene effettuando una rotazione di (un quarto di giro in direzione diretta) del vettore . Il sistema di coordinate Frenet è formato prendendo come origine il punto . Molto spesso le notazioni vengono abbreviate omettendo il parametro . NON→(S){\ displaystyle {\ overrightarrow {N}} (s)}T→(S){\ displaystyle {\ overrightarrow {T}} (s)} π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}T→(S){\ displaystyle {\ overrightarrow {T}} (s)}M(S){\ stile di visualizzazione M (s)}S{\ stile di visualizzazione}

Il sistema di riferimento Frenet è un sistema di riferimento mobile  (in) poiché gli elementi di questo sistema di riferimento cambiano a seconda del punto considerato. In fisica questa nozione non va confusa con quella di sistema di riferimento  : poiché i vettori di Frenet si muovono con il punto, se fosse un sistema di riferimento allora il vettore posizione sarebbe il vettore zero, e anche la velocità sarebbe nulla .

Nota  : capita di introdurre il vettore per , immergendo il piano euclideo in uno spazio di dimensione tre, e notando un vettore che completa la base del piano in una base ortonormale diretta. I due modi di procedere sono equivalenti. NON→{\ displaystyle {\ overrightarrow {N}}}NON→=K→∧T→{\ displaystyle {\ overrightarrow {N}} = {\ overrightarrow {k}} \ wedge {\ overrightarrow {T}}}K→{\ displaystyle {\ overrightarrow {k}}}(io→,j→){\ displaystyle ({\ overrightarrow {i}}, {\ overrightarrow {j}})}

Curvatura e formule di Frenet

Se inoltre assumiamo che l'arco regolare di class sia di class , possiamo definire la curvatura algebrica. Poiché i vettori della base di Frenet formano permanentemente una base ortonormale, le loro derivate soddisfano un certo numero di relazioni. In particolare, il vettore derivato da è ortogonale a  ; esiste quindi per il punto del parametro un coefficiente tale che VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}D2{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {2}}T→{\ displaystyle {\ overrightarrow {T}}}T→{\ displaystyle {\ overrightarrow {T}}}S{\ stile di visualizzazione}γ(S){\ displaystyle \ gamma (s)}

dT→dS(S)=γ(S)NON→(S){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {T}}} {\ mathrm {d} s}} (s) = \ gamma (s) {\ overrightarrow {N}} (s)}

Diamo il nome di curvatura (algebrica) della curva, è omogenea all'inverso di una lunghezza. Per una curva biregolare, il suo inverso è spesso usato in cinematica e porta il nome di raggio di curvatura algebrica . γ(S){\ displaystyle \ gamma (s)}R{\ stile di visualizzazione R}

Si può interpretare la curvatura anche come la velocità di rotazione della base di Frenet rispetto ad una direzione fissa (sempre in condizioni normali): si veda a questo proposito l'articolo curvatura di un arco .

Il centro di curvatura della curva nel punto è chiamato punto di coordinate nel sistema di coordinate Frenet. In senso vettoriale si ottiene come segue: vs{\ stile di visualizzazione c}P{\ stile di visualizzazione P}(0,R){\ stile di visualizzazione (0, R)}

Pvs→=RNON→{\ displaystyle {\ overrightarrow {Pc}} = R {\ overrightarrow {N}}}

Il cerchio di centro e raggio è chiamato cerchio di curvatura o cerchio osculatore della curva in . In genere si avvicina alla curva meglio della tangente. Curvatura e cerchio di curvatura danno non solo un'idea della direzione in cui avanza la curva (direzione della tangente), ma anche della sua tendenza a girare su entrambi i lati di questa tangente. vs{\ stile di visualizzazione c}|R|{\ stile di visualizzazione | R |}P{\ stile di visualizzazione P}

Le formule di Frenet, che danno le derivate dei vettori della base di Frenet, si scrivono usando la curvatura

dT→dS=γNON→dNON→dS=-γT→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {T}}} {\ mathrm {d} s}} = \ gamma {\ overrightarrow {N}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {N}}} {\ mathrm {d} s}} = - \ gamma {\ overrightarrow {T}}}

Caso di qualsiasi parametrizzazione euclidea

Prendendo un arco biregolare parametrizzato , senza assumerlo dato in parametrizzazione normale, è sufficiente utilizzare le formule di Frenet per realizzare il collegamento tra la derivazione rispetto a o a , che avviene mediante la velocità scalare f(t)=(X(t),sì(t)){\ stile di visualizzazione f (t) = (x (t), y (t))}t{\ stile di visualizzazione t}S{\ stile di visualizzazione}

v=dSdt=‖dfdt‖{\ displaystyle v = {\ frac {ds} {dt}} = \ sinistra \ | {\ frac {df} {dt}} \ destra \ |}

È quindi possibile spiegare i vettori velocità e accelerazione nella base di Frenetnet

V→=dfdt=vT→{\ displaystyle {\ overrightarrow {V}} = {\ frac {\ mathrm {d} f} {dt}} = v {\ overrightarrow {T}}}

A→=d2fdt2=dvdtT→+v2RNON→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} f} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} v } {\ mathrm {d} t}} {\ overrightarrow {T}} + {\ frac {v ^ {2}} {R}} {\ overrightarrow {N}}}

Troviamo che il vettore velocità è tangenziale, andando nella direzione del movimento. La prima componente dell'accelerazione vettoriale alla base di Frenet è detta accelerazione tangenziale  ; tiene conto della variazione della velocità scalare. L'altra componente, detta accelerazione normale , è influenzata dalla geometria della curva: più forte è la curva, maggiore è la velocità. γT→=dvdtT→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ gamma _ {T}}} = {\ frac {\ mathrm {d} v} {dt}} {\ overrightarrow {T}}}γNON→=v2RNON→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ gamma _ {N}}} = {\ frac {v ^ {2}} {R}} {\ overrightarrow {N}}}γNON→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ gamma _ {N}}}}

A→=d(vT→)dt=vdT→dt+dvdtT→=vdSdtdT→dS+dvdtT→=v2γNON→+dvdtT→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A}} = {\ frac {d (v {\ overrightarrow {T}})} {dt}} = v {\ frac {d {\ overrightarrow {T}}} {dt}} + {\ frac {dv} {dt}} {\ overrightarrow {T}} = v {\ frac {ds} {dt}} {\ frac {d {\ overrightarrow {T}}} {ds}} + {\ frac {dv} {dt}} {\ overrightarrow {T}} = v ^ {2} \ gamma {\ overrightarrow {N}} + {\ frac {dv} {dt}} {\ overrightarrow {T}}}

È quindi possibile valutare il raggio di curvatura algebrico formando il determinante di questi due vettoriR{\ stile di visualizzazione R}

R=v3det(V→,A→){\ displaystyle R = {\ frac {v ^ {3}} {\ mathrm {det} ({\ overrightarrow {V}}, {\ overrightarrow {A}})}}}

Troviamo la proposta VI dei Principia di Newton .

Verifichiamo l'omogeneità delle dimensioni:

[R]=[L]{\ stile di visualizzazione [R] = [L]}

[v3det(V→,A→)]=[L3T-3][LT-2LT-1]=[L]{\ displaystyle \ left [{\ frac {v ^ {3}} {det ({\ overrightarrow {V}}, {\ overrightarrow {A}})}} \ right] = {\ frac {[L ^ {3 } T ^ {- 3}]} {[LT ^ {- 2} LT ^ {- 1}]}} = [L]}

proprietà di invarianza

È importante rendersi conto che il sistema di coordinate Frenet è stato definito da una normale parametrizzazione della curva. Tutte le riparametrizzazioni conservando l'orientamento daranno la stessa base di Frenet, e lo stesso valore della curvatura. C'è anche invarianza per cambiamento del sistema di riferimento fisso.

D'altra parte, i cambiamenti nell'orientamento della curva o dello spazio circostante invertono alcuni segni. Precisamente

• se invertiamo l'orientamento della curva, l' ascissa curvilinea viene cambiata nel suo opposto, il vettore , anche il vettore.Anche la curvatura algebrica viene invertita, in modo che il cerchio osculatore rimanga invariato.T→{\ displaystyle {\ overrightarrow {T}}}NON→{\ displaystyle {\ overrightarrow {N}}}
• se invertiamo l'orientamento dello spazio ambiente, l'ascissa curvilinea e il vettore rimangono invariati, ma il vettore cambia nel suo opposto, così come la curvatura.T→{\ displaystyle {\ overrightarrow {T}}}NON→{\ displaystyle {\ overrightarrow {N}}}

Esempi

Considera un moto circolare accelerato

{X(t)=cos⁡t2sì(t)=peccato⁡t2,t∈R+*{\ displaystyle {\ begin {casi} x (t) = \ cos t ^ {2} \\ y (t) = \ sin t ^ {2} \ end {casi}}, \ qquad t \ in \ mathbb { R} _ {+} ^ {*}}

Derivando si ottengono le coordinate del vettore velocità  : V→{\ displaystyle {\ overrightarrow {V}}}

{vX(t)=-2tpeccato⁡t2vsì(t)=2tcos⁡t2{\ displaystyle {\ begin {casi} v_ {x} (t) = - 2t \ sin t ^ {2} \\ v_ {y} (t) = 2t \ cos t ^ {2} \ end {casi}} }

È scritto nella forma con V→=vT→{\ displaystyle {\ overrightarrow {V}} = v {\ overrightarrow {T}}}

v=2teT→=(-peccato⁡t2cos⁡t2){\ displaystyle v = 2t \ qquad {\ text {et}} \ qquad {\ overrightarrow {T}} = {\ begin {pmatrix} - \ sin t ^ {2} \\\ cos t ^ {2} \ end {matrice}}}

Il vettore normale unitario è quindi

NON→=(-cos⁡t2-peccato⁡t2){\ displaystyle {\ overrightarrow {N}} = {\ begin {pmatrix} - \ cos t ^ {2} \\ - \ sin t ^ {2} \ end {pmatrix}}}

Confrontando le due uguaglianze

dT→dt=(-2tcos⁡t2-2tpeccato⁡t2){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {T}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ begin {pmatrix} -2t \ cos t ^ {2} \\ - 2t \ sin t ^ {2} \ end {pmatrix}}}

dT→dt=vdT→dS=vγNON→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {T}}} {\ mathrm {d} t}} = v {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {T}}} {\ mathrm {d} s}} = v \ gamma {\ overrightarrow {N}}}

troviamo che la curvatura γ è uguale a 1. Il raggio di curvatura è costante, uguale a 1. Il cerchio osculatore coincide permanentemente con il cerchio su cui è inscritta la traiettoria. Avremmo potuto evitare tutti questi calcoli utilizzando la riparametrizzazione u = t 2 .

Se la curva è data in coordinate polari parametriche r (t), θ (t) , i vettori di velocità e accelerazione possono essere calcolati nella base mobile. Indichiamo con un punto la derivazione rispetto al parametro t

V→=r˙tu→+rθ˙v→{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ punto {r}} {\ vec {u}} + r {\ punto {\ theta}} {\ vec {v}}}

A→=(r¨-rθ˙2)tu→+(rθ¨+2r˙θ˙)v→{\ displaystyle {\ vec {A}} = ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) {\ vec {u}} + (r {\ ddot {\ theta }} + 2 {\ punto {r}} {\ punto {\ theta}}) {\ vec {v}}}

La curvatura (inversa di una lunghezza) è data da

γ=rr˙θ¨+2r˙2θ˙-rr¨θ˙+r2θ˙3(r˙2+r2θ˙2)3/2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {r {\ dot {r}} {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {r}} ^ {2} {\ dot {\ theta}} - r { \ ddot {r}} {\ dot {\ theta}} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {3}} {\ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ punto {\ theta}} ^ {2} \ destra) ^ {3/2}}}}

e il raggio di curvatura (L) di: 1γ{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}}}

Curva sinistra

Introduzione del benchmark Frenet

Consideriamo questa volta una curva spaziale euclidea orientata tridimensionale, di classe regolare , orientata e semplice parametrizzata dall'ascissa curvilinea f ( s ) = ( x ( s ), y ( s ), z ( s )) . Il sistema di coordinate di Frenet nel punto del parametro s , spesso chiamato anche triedro di Frenet, è definito da tre vettori unitari T, N, B che formano una base ortonormale diretta, e prendendo nuovamente come origine il punto del parametro s . VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}

Il vettore T , vettore tangente unitario, si introduce come nel piano.

T=dfdS.{\ displaystyle T = {\ frac {df} {ds}}.}

Assumiamo nuovamente l'arco biregolare . Allora il vettore è ortogonale al vettore tangente unitario, e non zero. Si definisce questa volta il vettore normale unitario e la curvatura contemporaneamente ponendod2fdS2=dTdS{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} f} {ds ^ {2}}} = {\ frac {dT} {ds}}}

dTdS=γ⋅NONcon γ⩾0{\ displaystyle {\ frac {dT} {ds}} = \ gamma \ cdot N \ qquad {\ hbox {con}} \ gamma \ geqslant 0}

Completiamo infine in base ortonormale diretta prendendo per terza base il vettore , detto vettore binormale

B=T∧NON{\ displaystyle B = T \ cuneo N}

Questa volta la descrizione geometrica è la seguente: il vettore T dirige la tangente alla curva. La coppia (T, N) genera un piano chiamato piano osculatore della curva. Questo piano contiene la tangente e il cerchio osculatore alla curva. Per convenzione di positività della curvatura, il vettore N è questa volta diretto verso il centro di curvatura. Le formule che danno velocità e accelerazione nella base di Frenet sono identiche a quelle ottenute per una curva piana.

Il triedro di Frenet permette di definire altri due piani:

• Il piano rettificante generato dal momento torcente (T, B) e normale al raggio di curvatura;
• Il piano normale , generato dalla coppia (N, B) e normale alla tangente.

Formule di Frenet

Assumiamo ora la classe e la curva biregolare. Il vettore unitario normale, il vettore binormale sono per costruzione funzioni derivabili da s . Inoltre, poiché T, N, B costituiscono una base ortonormale per qualsiasi valore di s , i vettori derivati ​​soddisfano un certo numero di relazioni. Infine, esiste un coefficiente detto torsione nel punto del parametro s tale che si verificano le seguenti relazioni: VS3{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {3}}

dNONdS=-γT+τBdBdS=-τNON{\ displaystyle {\ frac {dN} {ds}} = - \ gamma T + \ tau B \ qquad {\ frac {dB} {ds}} = - \ tau N}

Nota : a volte troviamo la torsione definita con il segno opposto, sarà poi sufficiente a invertire i segni di fronte a τ nelle formule sopra e sotto. Aggiungendo la formula derivata di T mostrata sopra, otteniamo un insieme di tre formule chiamate formule di Frenet per le curve a sinistra. Possono essere riassunti simbolicamente usando una matrice

ddS(TNONB)=(0γ0-γ0τ0-τ0)(TNONB){\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} {\ begin {pmatrix} T \\ N \\ B \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ gamma & 0 \\ - \ gamma & 0 & \ tau \\ 0 & - \ tau & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} T \\ N \\ B \ end {pmatrix}}}

L'ortonormalità dei vettori della base di Frenet determina l' antisimmetria della matrice: si tratta infatti qui di un risultato generale sulle basi mobili  (in) .

torsione

Il fattore ha tuttavia un'interpretazione geometrica: è la tendenza a deviare dal piano osculatore (così come la curvatura misura la tendenza a deviare dalla tangente). La torsione è quindi ciò che rende la curva non planare. È opportuno vedere in queste “correzioni successive” del comportamento della curva, curvatura e torsione, i termini successivi di uno sviluppo limitato al punto del parametro s .

Possiamo dare l'espressione della curvatura e della torsione, per qualsiasi parametrizzazione f (t) :

γ=‖f'∧f″‖‖f'‖3τ=[f',f″,f'' ']‖f'∧f″‖2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {\ | f '\ wedge f' '\ |} {\ | f' \ | ^ {3}}} \ qquad \ tau = {\ frac {[f ', f' ', f' '']} {\ | f '\ cuneo f' '\ | ^ {2}}}}

dove il segno di spunta indica il prodotto misto .

Applicazioni

Nella cinematica del punto , la curva considerata è la traiettoria percorsa dal punto. il vettore velocità è sempre collineare con il vettore tangente.

Si può inoltre scomporre l' accelerazione vettoriale in una componente normale e in una tangenziale, proiettandola sulla tacca di Frenet. La componente normale descrive la variazione di direzione della traiettoria (curvatura) e il vettore tangenziale descrive la variazione della norma del vettore velocità.

Generalizzazione in qualsiasi dimensione

Una definizione analoga è possibile in , o più in generale in qualsiasi spazio euclideo : Rnon{\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}

Note e riferimenti

1. Gérard Debeaumarché, Francis Dorra, Max Hochart, Matematica PSI-PSI *: Corso completo con test, esercizi e problemi corretti , Pearson Education France, 2010, p.292 Anteprima online
2. Jacqueline Lelong-Ferrand e Jean-Marie Arnaudiès, Corso di matematica: Geometria e cinematica , t.  3, Parigi, Bordas ,1977, pag 326
3. Nicholas M. Patrikalakis , Takashi Maekawa e Wonjoon Cho , “  Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing (Hyperbook Edition) - Differential Geometry - 2.2 Principal normal and curvature  ” , Massachusetts Institute of Technology,dicembre 2009, formula 2.24
4. Tauvel 2005 , p.  358.
5. Lelong-Ferrand e Arnaudiès 1977 , p.  327.
6. Lelong-Ferrand e Arnaudiès 1977 , p.  328.
7. Lelong-Ferrand e Arnaudiès 1977 , p.  329.
8. Patrice Tauvel, Geometria: Agrégation - Licenza 3 ° anno - Master , Paris, Dunod ,2005, p 353
9. Tauvel 2005 , p.  355.
10. Lelong-Ferrand e Arnaudiès 1977 , p.  347.
11. Lelong-Ferrand e Arnaudiès 1977 , p.  349.
12. Tauvel 2005 , p.  356.
13. Lelong-Ferrand e Arnaudiès 1977 , p.  351-52.

Vedi anche

• Punto di riferimento di Darboux
• Asse di rotazione istantaneo