Quadrupolo elettrostatico
In elettrostatica , un quadrupolo è una distribuzione di cariche tale che i baricentri delle cariche positive e delle cariche negative siano gli stessi.
Analisi del quadrupolo
Sia una distribuzione dei carichi nei punti . Questa distribuzione a supporto compatto crea un potenziale a grande distanza dalle cariche (per , con lunghezza caratteristica della distribuzione) .
(D){\ displaystyle ({\ mathcal {D}})}qio{\ displaystyle q_ {i}}Pio{\ displaystyle P_ {i}}(D){\ displaystyle ({\ mathcal {D}})}r»a{\ displaystyle r \ gg a}a{\ stile di visualizzazione a}V1(r){\ stile di visualizzazione V_ {1} (r)}
Definiamo:
- rio→=ohPio→{\ displaystyle {\ vec {r_ {i}}} = {\ vec {OP_ {i}}}}
-
q=Σioqio{\ displaystyle q = \ sum _ {i} q_ {i}} la somma delle spese
-
p→(oh)=Σioqiorio→{\ displaystyle {\ vec {p}} (O) = \ sum _ {i} q_ {i} {\ vec {r_ {i}}}}, indipendentemente da if , null se si sceglie il baricentro delle caricheoh{\ stile di visualizzazione O}q=0{\ stile di visualizzazione q = 0}oh{\ stile di visualizzazione O}
-
Joh=Σioqiorio2{\ displaystyle J_ {O} = \ sum _ {i} q_ {i} r_ {i} ^ {2}}, il momento d'inerzia rispetto a oh{\ stile di visualizzazione O}
-
J^(X→)=Σioqiorio→∧(X→∧rio→){\ displaystyle {\ hat {J}} ({\ vec {X}}) = \ sum _ {i} q_ {i} {\ vec {r_ {i}}} \ wedge ({\ vec {X}} \ wedge {\ vec {r_ {i}}})}, l'operatore lineare di inerzia rispetto a oh{\ stile di visualizzazione O}
-
Q^=2JoX-3J^X{\ displaystyle {\ hat {Q}} = 2J_ {o} X-3 {\ hat {J}} X}, l'operatore lineare quadrupolare in oh{\ stile di visualizzazione O}
Si può verificare che non ci sia traccia: .
Q^{\ displaystyle {\ hat {Q}}}vero Q^=0{\ displaystyle {\ textrm {Tr}} \ {\ hat {Q}} = 0}
Nel caso di una distribuzione continua del carico, l'espressione della componente del tensore del quadrupolo è
Qioj{\ displaystyle Q_ {ij}}
Qioj=∫ρ(3riorj-‖r‖2δioj)d3r→{\ displaystyle Q_ {ij} = \ int \ rho \ left (3r_ {i} r_ {j} - \ | r \ | ^ {2} \ delta _ {ij} \ right) {\ textrm {d}} ^ {3} {\vec {r}}}, dov'è il simbolo Kronecker .
δioj{\ displaystyle \ delta _ {ij}}
Sviluppo quadrupolare
Teorema:
V1(r→)=14πε0(qr+p→⋅tu→r2+tu→⋅(Q^tu→)2r3)+o(1r3){\ displaystyle V_ {1} ({\ vec {r}}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {q} {r}} + { \ frac {{\ vec {p}} \ cdot {\ vec {u}}} {r ^ {2}}} + {\ frac {{{\ vec {u}} \ cdot \ left ({\ hat { Q }} {\ vec {u}} \ destra)} {2r ^ {3}}} \ destra) + o \ sinistra ({\ frac {1} {r ^ {3}}} \ destra)}, con tu→=r→r{\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ frac {\ vec {r}} {r}}}
In gravimetria, questo teorema è chiamato formula di MacCullagh .
Caso speciale: asse di simmetria
Quando ha una simmetria di rivoluzione, le espressioni del momento di quadrupolo sono semplificate ed è diagonale.
(D){\ displaystyle ({\ mathcal {D}})}Q^{\ displaystyle {\ hat {Q}}}
Se assumiamo la simmetria attorno all'asse , allora la matrice dei momenti è e .
(ohz){\ stile di visualizzazione (Oz)}QX,X=Qsì,sì=-Qo/2{\ displaystyle Q_ {x, x} = Q_ {y, y} = - Q_ {o} / 2}Qz,z=Qo{\ displaystyle Q_ {z, z} = Q_ {o}}
Se non è zero, scegliamo en , e quindi:
q{\ stile di visualizzazione q}oh{\ stile di visualizzazione O}G{\ stile di visualizzazione G}
V1(r→)=14πε0(qr+Qo2r3⋅P2(vsoSθ))+o(1r3){\ displaystyle V_ {1} ({\ vec {r}}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {q} {r}} + { \ frac {Q_ {o}} {2r ^ {3}}} \ cdot P_ {2} (cos \ theta) \ destra) + o \ sinistra ({\ frac {1} {r ^ {3}}} \ giusto)}Con ( 3 e polinomio di Legendre ).
P2(X)=3X2-12{\ displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {3x ^ {2} -1} {2}}}
Questo teorema è valido in gravimetria per la Terra presumibilmente rotante. In questo caso, <0; l'uso è quello di posare .
Qo=2(A-VS){\ displaystyle Q_ {o} = 2 (AC)}J2=VS-AMa2=1.08263×10-3{\ displaystyle J_ {2} = {\ frac {CA} {Ma ^ {2}}} = 1.08263 \ volte 10 ^ {- 3}}
Il potenziale della terra è così .
V(M)=-GMr+GMaJ2P2(vsoSθ)r3{\ displaystyle V (M) = - {\ frac {GM} {r}} + {\ frac {GMaJ_ {2} P_ {2} (cos \ theta)} {r ^ {3}}}}
Questo sviluppo può essere spinto ulteriormente (sviluppo in armoniche sferiche; termini in (ottupolare) , ecc.).
J4{\ displaystyle J_ {4}}J6{\ displaystyle J_ {6}}
Articoli Correlati
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">