Quadrilatero completo

Un quadrilatero completo è una figura di geometria piana composta da quattro rette , di cui due non parallele né tre concorrenti.

Un altro modo per definire un quadrilatero completo è completare un quadrilatero convesso ABCD dal punto E intersezione delle linee ( AB ) e ( CD ) e dal punto F intersezione delle linee ( AD ) e ( BC ).

Le intersezioni di queste quattro linee danno sei vertici. L'intersezione di due linee e l'intersezione delle altre due linee sono vertici opposti. Il segmento che unisce due vertici opposti è una diagonale. Ci sono tre diagonali in un quadrilatero completo.

Questa figura è legata alla geometria proiettiva ed è stata studiata a partire dal II ° secolo da Menelao e Pappo di Alessandria .

Proprietà

Una divisione armonica sulle diagonali

Ogni diagonale interseca le altre due creando divisioni armoniche . Più esplicitamente la diagonale ( BD ) è tagliata dalle diagonali ( AC ) e ( EF ) in I e J tali che

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {IB}} {\ overline {ID}}} {\ mathrel {:}} {\ frac {\ overline {JB}} {\ overline {JD}}} = - 1. }

Analogamente se K è l'intersezione delle diagonali ( AC ) e ( EF ):

${\ displaystyle {\ frac {\ overline {JE}} {\ overline {JF}}} {\ mathrel {:}} {\ frac {\ overline {KE}} {\ overline {KF}}} = - 1, \ quad {\ frac {\ overline {KA}} {\ overline {KC}}} {\ mathrel {:}} {\ frac {\ overline {IA}} {\ overline {IC}}} = - 1.}$

È un avatar proiettivo della proprietà delle diagonali del parallelogramma (caso in cui una delle diagonali del quadrilatero completo è la linea all'infinito nel piano proiettivo visto come un piano affine completato), cioè che si intersecano nel loro punto medio ( caso limite di divisione armonica ).

Diamo una prima dimostrazione geometrica, che utilizza le proprietà dei fasci armonici : la proprietà caratteristica cioè che ogni secante ad un fascio armonico è tagliata secondo una divisione armonica , e l'esistenza e unicità di una quarta armonica.

Dimostrazione geometrica

Date tre rette provenienti da un punto, esiste una sola retta che forma con esse un raggio armonico .

Notare il fascio di linee (i punti non sono necessariamente allineati). ${\ displaystyle [O | A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, A_ {4}]}$ ${\ stile di visualizzazione (OA_ {1}), (OA_ {2}), (OA_ {3}), (OA_ {4})}$ ${\ stile di visualizzazione A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, A_ {4}}$

Sia il punto di intersezione delle diagonali e . O il singolo punto sulla linea tale che il raggio sia armonico. Impostiamo e . $io$ $(AC)$ ${\ stile di visualizzazione (BD)}$ $M$ ${\ stile di visualizzazione (EI)}$ ${\ stile di visualizzazione [FA | MI, MI, SI, RE]}$ ${\ displaystyle H = (FM) \ cap (BC)}$ ${\ displaystyle H '= (FM) \ cap (AD)}$

Abbiamo , per cui il fascio è armonico (ricordiamo che il fatto di essere armonico dipende solo dalla posizione dei punti di intersezione con una secante; qui la secante è la retta ). ${\ displaystyle [F | E, M, B, D] = [F | E, H, B, C]}$ ${\ stile di visualizzazione [I | E, H, B, C]}$ ${\ stile di visualizzazione (CE)}$

Per un motivo simile, è lo stesso con . ${\ stile di visualizzazione [I | E, H ', A, D]}$

Ma come e quello , abbiamo . Tuttavia, essendo armonico, è lo stesso per cui i due raggi e sono entrambi armonici e hanno tre rette comuni. In virtù della proprietà di unicità, queste due travi sono identiche e quindi . ${\ stile di visualizzazione (IA) = (IC)}$ ${\ stile di visualizzazione (IB) = (ID)}$ ${\ displaystyle [I | E, H ', A, D] = [I | E, H', C, B]}$ ${\ stile di visualizzazione [I | E, H ', C, B]}$ ${\ stile di visualizzazione [I | E, H ', B, C]}$ ${\ stile di visualizzazione [I | E, H, B, C]}$ ${\ stile di visualizzazione [I | E, H ', B, C]}$ ${\ stile di visualizzazione (IH) = (IH ')}$

Quindi per definizione di . ${\ displaystyle I = (HH ') \ cap (EI) = M}$ $M$

Il fascio è quindi armonico il che significa che si divide armonicamente . ${\ stile di visualizzazione [F | J, I, B, D]}$ ${\ stile di visualizzazione [I, J]}$ ${\ stile di visualizzazione [B, D]}$

Dimostrazione analitica

Sia , due linee risultanti da . un punto sull'asse di ; e due righe risultanti da . Indichiamo i quattro punti di intersezione. $Y = \ lambda X$ ${\ displaystyle Y = \ mu X}$ $oh$ ${\ stile di visualizzazione A = (a, 0)}$ $X$ ${\ displaystyle Y = \ alfa (Xa)}$ ${\ displaystyle Y = \ beta (Xa)}$ $A$ ${\ displaystyle M_ {i} (x_ {i}, y_ {i})}$

Possiamo facilmente calcolare dove otteniamo per permutazione: ${\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {a \ alpha} {\ alpha - \ lambda}}}$

{\ displaystyle \ quad x_ {2} = {\ frac {a \ beta} {\ beta - \ lambda}}, \ quad x_ {3} = {\ frac {a \ beta} {\ beta - \ mu}} , \ quad x_ {4} = {\ frac {a \ alpha} {\ alpha - \ mu}}.}

La linea ha per equazione: ${\ stile di visualizzazione (M_ {1} M_ {3})}$

{\ displaystyle \ quad {\ begin {vmatrix} X & x_ {1} & x_ {3} \\ Y & \ lambda x_ {1} & \ mu x_ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ end {vmatrix }} = {\ begin {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix } X & a \ alpha & a \ beta \\ Y & a \ lambda \ alpha & a \ mu \ beta \\ 1 & \ alpha - \ lambda & \ beta - \ mu \ end {vmatrix}} = 0.}

Prendiamo l'ascissa del punto di intersezione con l'asse : $\omega$ $Bue$

{\ displaystyle \ quad \ omega = {\ frac {a ^ {2} \ alpha \ beta (\ lambda - \ mu)} {\ begin {vmatrix} a \ lambda \ alpha & a \ mu \ beta \ \ \ alpha - \ lambda & \ beta - \ mu \ end {vmatrix}}}.}

Con permutazione deduciamo che di : ${\ displaystyle \ omega '}$ ${\ displaystyle (M_ {2} M_ {4}) \ cap (Ox)}$

{\ displaystyle \ quad \ omega '= {\ frac {a ^ {2} \ alpha \ beta (\ lambda - \ mu)} {\ begin {vmatrix} a \ lambda \ beta & a \ mu \ alpha \ \ \ beta - \ lambda & \ alpha - \ mu \ end {vmatrix}}}.}

risulta

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega}} + {\ frac {1} {\ omega '}} = {\ frac {1} {a ^ {2} \ alpha \ beta (\ lambda - \ mu )}} \ left ({\ begin {vmatrix} a \ lambda \ alpha & a \ mu \ beta \\\ alpha - \ lambda & \ beta - \ mu \ end {vmatrix}} + {\ begin {vmatrix} a \ lambda \ beta & a \ mu \ alpha \\ \ beta - \ lambda & \ alpha - \ mu \ end {vmatrix}} \ right) = {\ frac {2} {a}}}

dopo lo sviluppo dei determinanti.

Nota: avremmo potuto prendere ma la media armonica sarebbe stata meno visibile. $a = 1$

Dimostrazione in geometria proiettiva

Questa dimostrazione utilizza le proprietà delle mappe proiettive del piano: sono determinate dall'immagine dei 4 punti di un sistema di coordinate proiettive , conservano l'allineamento e il cross-ratio .

(A, C, F, E) è un sistema di coordinate proiettivo. Consideriamo la mappa proiettiva che lascia invarianti A e C e che invia E [resp. Da F] a E ∞ [resp. F ∞ ] punto all'infinito della linea (AE) [resp. (AF)].

L'immagine B' di B è all'intersezione della retta (AF ∞ ) e della retta (CE ∞ ) parallela ad (AE);
L'immagine D' di D è all'intersezione della linea (AE ∞ ) e della linea (CF ∞ ) parallela ad (AF)

Il quadrilatero AB'CD 'è quindi un parallelogramma

L'immagine di I è il punto I' intersezione delle diagonali (AC) e (B'D')
l'immagine di J è il punto J ∞ intersezione delle rette (B'D ') e (E ∞ F ∞ )

Il rapporto di incrocio [B'C'I'J ∞ ] è uguale a -1, quindi anche il rapporto di incrocio [BCIJ] è uguale a -1.

Analoghi ragionamenti provano le altre divisioni armoniche

Questa proprietà può essere dedotta anche dal teorema di Menelao e dal teorema di Ceva , o permettere di dimostrare uno di questi teoremi dall'altro.

La linea di Newton

I punti medi delle tre diagonali sono allineati su una linea chiamata linea di Newton .

Teorema di Miquelque

I cerchi circoscritti ai triangoli ( EAD ), ( EBC ), ( FAB ) e ( FDC ) sono concorrenti.

Uso notevole

Il duale del quadrilatero completo è il quadrilatero completo .

Il quadrilatero completo inscritto in una conica è molto utile per dimostrare alcune proprietà delle tangenti e delle polari in una conica .

Vedi anche

Bibliografia

Jean-Denis Eiden, Geometria analitica classica , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-91-635208-4 )
Piccola enciclopedia della matematica , ed. Didier
Jean Fresnel, Metodi moderni in geometria
Bruno Ingrao, Coniche affini , euclidee e proiettive , Calvage & Mounet ( ISBN 978-2-916352-12-1 )

link esterno

" Quadrilatero completo " , su serge.mehl.free.fr
" Quadrilatero completo " , su debart.pagesperso-orange.fr