Chiamato design of Experiments (in inglese, design of Experiments o DOE ) successivamente ha ordinato test di sperimentazione , ciascuno per acquisire nuove conoscenze controllando uno o più parametri di input per ottenere risultati convalidando un modello con una buona economia di mezzi per esempio).
Un classico esempio è il "piano stellare" dove, partendo da un insieme di valori scelti per i parametri di un test centrale, questo è completato da test in cui ogni volta solo uno dei fattori varia "a parità di altrove" .
Un tipo di piano più esaustivo è il piano fattoriale consistente nella scelta dei valori per ciascuno dei fattori variando contemporaneamente tutti i fattori (esaustivamente o meno). Il numero di prove può quindi diventare molto grande ( esplosione combinatoria ).
Supponiamo di voler sapere se la proporzione di palline nere in un'urna è maggiore del 5%, l'urna contiene 1000 palline. Partiamo dall'idea di disegnare 100 nella speranza di avere una buona approssimazione della proporzione.
Un progetto di esperimenti riduce quindi il numero di prove a quanto strettamente necessario per prendere una decisione, il che può far risparmiare tempo, denaro e vite .
Era un disegno di esperimenti di questo tipo che ha permesso di interrompere durante il percorso un esperimento per determinare se l' aspirina ha avuto un effetto preventivo sugli attacchi di cuore, i risultati stabilendo senza ambiguità che si trattava dei casi (riduzione del rischio del 25%). Continuare l'esperimento sarebbe tornato in queste condizioni per privare i pazienti del lotto di controllo dell'accesso all'aspirina fino alla data inizialmente prevista, che avrebbe potuto costare la vita ad alcuni di loro.
Sono molti i processi e le proprietà che sappiamo dipendere da un gran numero di parametri esterni (parliamo di fattori ) ma senza avere modelli analitici .
Quando vogliamo conoscere la dipendenza di una variabile di output F di un tale processo o proprietà, ci troviamo di fronte a diverse difficoltà:
Il metodo di progettazione degli esperimenti risponde a queste domande e può quindi essere applicato in molti processi / proprietà che vanno ad esempio dalle sperimentazioni cliniche alla valutazione della qualità dei processi industriali più complessi.
Questa nuova definizione può così essere stabilita per l'industria: un progetto di esperimenti è una serie di test rigorosamente organizzati, al fine di determinare, con un minimo di prove e un massimo di precisione, la rispettiva influenza dei vari parametri di progettazione. prodotto, al fine di ottimizzare prestazioni e costi.
Supponiamo che essa sia in presenza di un processo che dipende da tre fattori A , B e C , ciascuna con il dominio di definizione (discreto) , , .
Un approccio sistematico consisterebbe nell'eseguire tutti i possibili test del processo variando ciascuno dei parametri nel suo dominio di definizione:
Il numero di prove richieste, pari al prodotto l · m · n , può essere piuttosto ampio e fuori portata per motivi di costo e / o tempo.
Supponiamo di voler caratterizzare un processo elettrolitico misurando la corrente tra gli elettrodi.
Per una data soluzione elettrolitica, un modello approssimativo suggerisce che questa corrente dipenderà da tre fattori principali: (1) la diluizione della soluzione C , tra il 10% e il 90%, (2) la temperatura della soluzione T , tra 50 ° C e 100 ° C e (3) la natura degli elettrodi utilizzati (stagno, oro e platino).
In queste condizioni, effettuando passi del 10% per la concentrazione e di 100 ° C per la temperatura, il piano sperimentale esaustivo sarà composto da 9 × 6 × 3, ovvero 162 prove indipendenti che dovranno essere effettuate in condizioni altrimenti identico.
Supponendo che ogni prova richieda 1 ora (compreso il tempo di preparazione), lo studio di questo semplice processo richiederebbe non meno di 5 settimane di lavoro a tempo pieno ( 35 ore settimanali). Inoltre, gli studi distribuiti su un periodo di tempo così lungo potrebbero coinvolgere fattori non noti ma che variano nel corso di questo studio e possono distorcere i risultati.
È facile capire che i punti sollevati sopra diventano drammatici non appena si tratta di processi un po 'più complessi e il costo sperimentale di uno studio esaustivo diventa rapidamente proibitivo, persino inapplicabile. Questo è un problema comune nei processi industriali che richiedono riproducibilità e controllo completo della qualità .
Il modo corretto per avvicinarsi a un disegno ottimale degli esperimenti è procedere in un modo del tutto analogo al principio della retta di regressione , assumendo che abbiamo dipendenze lineari (o al massimo quadratiche) del processo in ciascuna di queste variabili così come le interazioni tra le variabili. Molto spesso ci baseremo su semplici ipotesi e / o esperienze borderline per avere un'idea dell'esistenza o meno di dipendenze incrociate. Vedere l'articolo sul metodo della superficie di risposta .
Riprendiamo il processo sopra descritto supponendo che oltre a T e C definiamo m come una quantità fisica che caratterizza il materiale dell'elettrodo (ad esempio la sua massa molecolare o la sua elettrovalenza ).
Vogliamo descriverlo con una formula semplificata del tipo:
F ( T , C , m ) = b 1 · T 2 + b 2 · C 2 + b 3 · m 2 ... + b 4 · T + b 5 · C + b 6 · m … + B 7 · T · C + b 8 · T · m + b 9 · C · m … + B 10 · T · C · m + b 11 · T 2 · C + b 12 · T 2 · m + b 13 · C 2 · T + b 14 · C 2 · m + b 15 · T · m 2 + b 16 · C · m 2 .Per semplicità, abbiamo ragionevolmente assunto che i termini di ordine 3 in T 2 · C , T 2 · m , C 2 · T C 2 · m , T · m 2 e C · m 2 siano trascurabili rispetto ai termini del primo ordine, il che equivale a dire che i coefficienti da b 11 a b 16 sono zero. In generale, anche il termine in T · C · m è trascurabile.
Rimangono quindi 10 variabili b 1 ,…, b 10 da determinare per avere una conoscenza analitica del processo negli intervalli specificati.
“Scegliamo” 10 punti nello spazio ( T , C , m ) per i quali eseguire il test, ottenendo così i valori di F i per ciascuno di questi punti. Ovviamente sarà prestata attenzione affinché tutti gli altri parametri del test rimangano costanti.
NB: si lavora preferibilmente con variabili ridotte, cioè variabili T , C ed m che sono adimensionali e normalizzate a 1 nel loro intervallo di definizione.Ciò si traduce nel sistema di 10 equazioni con 10 incognite:
con i = 1,…, 10.
Il ottengono semplicemente sostituendo T , C e m dai loro valori nei punti in cui sono state effettuate le prove.
Nella scrittura a matrice:
.Per risolvere questo sistema, è necessario invertire la matrice :
.La teoria dei disegni sperimentali consente, sulla base di modelli specifici più o meno complessi, di determinare con precisione in quali punti devono essere effettuate le misurazioni. La maggior parte dei casi reali porta a matrici di effetti sovradeterminate. La risoluzione consiste nel rendere quadrata la matrice usando la sua trasposizione . Il sistema diventa:
.Tra i diversi disegni sperimentali , i disegni fattoriali sono comuni perché sono i più semplici da implementare e consentono di dimostrare molto rapidamente l'esistenza di interazioni tra i fattori.
L'assunto di base è assegnare a ciascun fattore (normalizzato) il suo valore più basso (-1) e il suo valore più alto (+1). Quindi, per k fattori, si ottiene un insieme di 2 k possibili valori.
Senza entrare nei dettagli, la matrice dell'esperimento possiede quindi proprietà interessanti (abbiamo ad esempio :) che sono ampiamente sfruttate dal software che stabilisce piani sperimentali. In particolare, l'aggiunta di ulteriori prove nonché di algoritmi per un'efficiente randomizzazione del disegno iniziale degli esperimenti consente di evidenziare i bias sistematici e di rimuoverli oppure di evidenziare l'influenza di una variabile nascosta di cui dobbiamo tenere conto.
Per tornare all'esempio sopra, ci ritroviamo con un piano di 12 test ( 2 temperature estreme, 2 concentrazioni estreme e 3 paia di elettrodi).
Lavoriamo con la temperatura e la concentrazione normalizzate:
; .Cerchiamo ora solo dipendenze lineari in t e in c , cioè una relazione del tipo: per X = 1, 2 o 3 a seconda del tipo di elettrodo.
Misurando la corrente nei 4 punti ( 50 ° C , 10%) , ( 50 ° C , 90%) , ( 100 ° C , 10%) , ( 100 ° C , 90%) corrispondenti ai punti (-1 , -1) , (-1, +1) , (+1, -1) e (+1, +1) nello spazio dei fattori ridotti, per ogni tipo di elettrodo siamo ridotti ad un piano fattoriale 2 2 .
Si verifica efficacemente e si ottiene la risoluzione del sistema:
.È:
.Così, con alcune precauzioni, abbiamo ridotto uno studio di un processo non analitico costituito da 162 test separati a un processo di una dozzina di test, che dà risultati interessanti sugli intervalli considerati, in particolare sull'esistenza e l'ampiezza delle interazioni tra i diversi fattori.
Disegni sperimentali ottimizzatiL'obiettivo delle matrici del disegno degli esperimenti, con il minimo di prove possibili, è quello di garantire tre proprietà principali:
Il disegno fattoriale 2k porta spesso a troppi test da eseguire, soprattutto se i test in questione sono costosi. La ricerca di un piano che abbia una precisione simile pur essendo più economico porta all'uso di matrici sperimentali ottimizzate.
Quindi, possiamo citare i seguenti piani:
Il valore reale della grandezza fisica è legato al valore ridotto dell'aereo da:
secondo i limiti del dominio studiato.
Matrici di HadamardLe matrici di Hadamard sono matrici per la progettazione ottimale di esperimenti senza interazioni. Ecco i piani per 2, 3, 4 e 7 fattori . Questo tipo di piano permette di avere una prima valutazione delle influenze dei fattori sulla risposta sperimentale con pochissime prove da effettuare anche per un numero significativo di fattori. Viene spesso utilizzato come primo approccio.
2 fattori | 3 fattori | 4 fattori | 7 fattori | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Le reti Doehlert possono essere orientate lungo Ox1 o nel primo quadrante. Corrispondono a una pavimentazione esagonale dell'iperspazio dell'esperimento. Di seguito per Ox1.
2 variabili | 3 variabili | 4 variabili | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Un Box-Behnken può essere utilizzato solo da 3 fattori.
3 variabili | 4 variabili | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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La matrice di Hoke consente progetti di esperimenti a tre livelli. Esistono tre tipi di matrici: D1, D2 e D3. È possibile aggiungere un blocco C2 per migliorare la precisione. Di seguito sono riportati i piani per la matrice D1 senza blocco C2.
2 variabili | 3 variabili | 4 variabili | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Composito centrato 3 variabili ottimizzate per l'ortogonalità | idem ottimizzato per una precisione uniforme | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Se è possibile misurare il volume di un gas (risultato), e lo sperimentatore desidera determinare l'influenza della temperatura e della pressione su di esso riducendo al minimo il numero di test da eseguire e ignorando l' equazione di stato , può scegliere design Doehlert a due variabili. Trasformandola in variabili reali, si ottengono i sette test da effettuare:
n o | P (atm) | T (° C) |
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1 | 1.5 | 150 |
2 | 2 | 150 |
3 | 1.75 | 193.3 |
4 | 1 | 150 |
5 | 1.25 | 106.7 |
6 | 1.75 | 106.7 |
7 | 1.25 | 193.3 |
Gli effetti di matrice diventa, aggiungendo una colonna per il calcolo della costante: .
Poiché il sistema è sovradeterminato, la trasposta utilizzando: .
È quindi possibile eseguire ciascuna prova e per ciascuno di essi, sperimentatore realizzato misurazione del volume: .
Il sistema è risolto da: .
È possibile verificare che più la temperatura aumenta, più il volume diminuisce (al contrario della pressione). Il modello fornisce una buona approssimazione dell'equazione di stato nel dominio studiato:
per P = 1,1 atm e T = 150 ° C (cioè X 1 = -0,8 e X 2 = 0,0 in variabili ridotte centrate), la previsione è V = 0,031 m 3 (invece di 0,032 m 3 teorico).
La progettazione della tecnica sperimentale consente di accelerare lo sviluppo a condizione di accettarne i limiti e di prendere le consuete precauzioni:
In considerazione di queste limitazioni che rendono imperfetti i progetti sperimentali, negli ultimi anni sono stati sviluppati metodi di progettazione di esperimenti digitali, che consentono una rapida identificazione dell'influenza di un gran numero di parametri al prezzo approssimazioni dei modelli digitali utilizzati.
Nel corso dei 1960 , scienziati, primo fra tutti Henry Rouanet (1931-2008), cercano di formalizzare il concetto di via sperimentale utilizzando un "approccio algebrico " che ricorda il movimento Bourbaki che hanno conosciuto francesi matematica alla fine del 1930s . Addestrato in statistiche e l'analisi dei dati , Rouanet, in collaborazione con la psicologa Dominique Lépine , offre un modo - chiamato " set sistema di rating" che permette "di sbarazzarsi delle ambiguità del linguaggio naturale ", e che è direttamente traducibile in . Lingua del computer macchina del tempo. Questo lavoro teorico darà quindi luogo allo sviluppo del software VAR3 che consente in particolare di calcolare test statistici associati a disegni sperimentali e che ha avuto molto successo nei laboratori di psicologia.
Sebbene, da allora, comunemente insegnata nelle facoltà di psicologia francesi per il suo interesse educativo , la notazione di Rouanet e Lépine si incontra estremamente raramente nelle pubblicazioni scientifiche , inclusa la psicologia sperimentale , l'uso essendo in generale per descrivere il piano. Sperimentale "in pieno" ". In altre discipline delle scienze umane, dove l'approccio sperimentale è spesso meno frequente, questa notazione non è più utilizzata.
Possiamo avere due tipologie di piano monofattore:
Metodo 1 | Metodo 2 | |
---|---|---|
Tipo di piano | Nidificato | Attraversare |
Tipo di gruppo | Gruppi indipendenti | Gruppi abbinati |
Formula | S 10 <M 2 > | S 10 * M 2 |
Numero di dati | 20 dati per 20 soggetti 10 soggetti per m1 e 10 per m2 |
20 dati per 10 soggetti i 10 soggetti superano m1 e m2 |
Problema | È difficile avere due gruppi realmente equivalenti. | C'è un'interferenza tra un'attività e l'altra. |
Parliamo di un piano multifattoriale basato su due variabili indipendenti testate contemporaneamente. Possiamo avere tre tipologie di piano multifattoriale:
Metodo 1 | Metodo 2 | Metodo 3 | |
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Tipo di piano | Completamente annidato | Croce piena | Misto o quasi completo |
Tipo di gruppo | Un gruppo di soggetti per cella del piano | Ogni soggetto soddisfa tutte le condizioni sperimentali. | Abbiamo due gruppi annidati, ognuno dei quali soddisfa tutte le condizioni. |
Formula | S 10 <M 2 > <R 3 > | S 10 * M 2 * R 3 | S 10 <M 2 > * R 3 |
Numero di dati | 60 dati per 60 soggetti | 60 dati per 10 soggetti | 60 dati per 20 soggetti |
Problema | È difficile avere gruppi realmente equivalenti e sono necessarie molte materie. | Può essere stancante per le persone, effetti di una condizione su un'altra. | Vantaggi e svantaggi dell'uno o dell'altro tipo a seconda della variabile considerata. |