Il paradosso di Borel
Il paradosso di Borel (a volte chiamato il paradosso di Borel - Kolmogorov ) è un paradosso della teoria della probabilità in connessione con le probabilità condizionate e le densità di probabilità .
Supponiamo di avere due variabili casuali , X e Y , di densità di probabilità congiunta p X, Y ( x , y ). Possiamo formare la densità condizionale di Y conoscendo X ,
pY|X(y|X)=pX,Y(X,y)pX(X){\ displaystyle p_ {Y | X} (y | x) = {\ frac {p_ {X, Y} (x, y)} {p_ {X} (x)}}}![{\ displaystyle p_ {Y | X} (y | x) = {\ frac {p_ {X, Y} (x, y)} {p_ {X} (x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f032bec792b904bd6f17581de562ef90a6bf1466)
dove p X ( x ) è la distribuzione marginale appropriata.
Utilizzando il teorema di cambiamento di variabile , possiamo modificare le funzioni di distribuzione congiunti con U = f ( X , Y ), V = g ( X , Y ), e può quindi formare la densità condizionata V sapendo U .
pV|U(v|u)=pV,U(u,v)pU(u){\ displaystyle p_ {V | U} (v | u) = {\ frac {p_ {V, U} (u, v)} {p_ {U} (u)}}}![{\ displaystyle p_ {V | U} (v | u) = {\ frac {p_ {V, U} (u, v)} {p_ {U} (u)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92c79de1020279358764a7b376522e65d00b095)
Data una condizione particolare su X e la condizione equivalente su U , l'intuizione suggerisce che le densità condizionate p Y | X ( y | x ) ep V | U ( v | u ) dovrebbero essere le stesse. Generalmente non è così.
Un esempio concreto
Una legge uniforme
Sia la densità di probabilità congiunta
pX,Y(X,y)={1,0<y<1,-y<X<1-y0,altrimenti{\ displaystyle p_ {X, Y} (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1, & 0 <y <1, \ quad -y <x <1-y \\ 0, & { \ mbox {altrimenti}} \ end {matrix}} \ right.}![{\ displaystyle p_ {X, Y} (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1, & 0 <y <1, \ quad -y <x <1-y \\ 0, & { \ mbox {altrimenti}} \ end {matrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f93140239dd4173960850bb4e3e5ab901c9664)
Viene calcolata la
densità marginale di X
pX(X)={1+X,-1<X≤01-X,0<X<10,altrimenti{\ displaystyle p_ {X} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 + x, & - 1 <x \ leq 0 \\ 1-x, & 0 <x <1 \\ 0, & {\ mbox {altrimenti}} \ end {matrix}} \ right.}![{\ displaystyle p_ {X} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 + x, & - 1 <x \ leq 0 \\ 1-x, & 0 <x <1 \\ 0, & {\ mbox {altrimenti}} \ end {matrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab78cf2945c271984d50036dc9393ba0ef44a29b)
Quindi la densità condizionale di Y che conosce X è
pY|X(y|X)={11+X,-1<X≤0,-X<y<111-X,0<X<1,0<y<1-X0,altrimenti{\ displaystyle p_ {Y | X} (y | x) = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {1} {1 + x}}, & - 1 <x \ leq 0, \ quad - x <y <1 \\\\ {\ frac {1} {1-x}}, & 0 <x <1, \ quad 0 <y <1-x \\\\ 0, & {\ mbox {altrimenti }} \ end {matrice}} \ right.}![{\ displaystyle p_ {Y | X} (y | x) = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {1} {1 + x}}, & - 1 <x \ leq 0, \ quad - x <y <1 \\\\ {\ frac {1} {1-x}}, & 0 <x <1, \ quad 0 <y <1-x \\\\ 0, & {\ mbox {altrimenti }} \ end {matrice}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1ec2cc2725cefd8c85f1c0b5449647b0f7d095)
che è uniforme secondo y .
Nuove impostazioni
Ora applichiamo la seguente trasformazione:
U=XY+1V=Y.{\ displaystyle U = {\ frac {X} {Y}} + 1 \ qquad \ qquad V = Y.}![{\ displaystyle U = {\ frac {X} {Y}} + 1 \ qquad \ qquad V = Y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41077c21f6d9a43208ac55aa7c45b04faf77f185)
Usando il teorema del cambio di variabile, otteniamo
pU,V(u,v)={v,0<v<1,0<u⋅v<10,altrimenti{\ displaystyle p_ {U, V} (u, v) = \ left \ {{\ begin {matrix} v, & 0 <v <1, \ quad 0 <u \ cdot v <1 \\ 0, & { \ mbox {altrimenti}} \ end {matrix}} \ right.}![{\ displaystyle p_ {U, V} (u, v) = \ left \ {{\ begin {matrix} v, & 0 <v <1, \ quad 0 <u \ cdot v <1 \\ 0, & { \ mbox {altrimenti}} \ end {matrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c0b0ba8b19e2371e8e983169b3b0f090b13b91d)
La distribuzione marginale è calcolata ed è uguale a
pU(u)={12,0<u≤112u2,1<u<+∞0,altrimenti{\ displaystyle p_ {U} (u) = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}}, & 0 <u \ leq 1 \\\\ {\ frac {1} { 2u ^ {2}}}, & 1 <u <+ \ infty \\\\ 0, & {\ mbox {altrimenti}} \ end {matrix}} \ right.}![{\ displaystyle p_ {U} (u) = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}}, & 0 <u \ leq 1 \\\\ {\ frac {1} { 2u ^ {2}}}, & 1 <u <+ \ infty \\\\ 0, & {\ mbox {altrimenti}} \ end {matrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0771cbec76d680ae75c77cb141756506433956ad)
Quindi la densità condizionale di V conoscendo U è
pV|U(v|u)={2v,0<u≤1,0<v<12u2v,1<u<+∞,0<v<1u0,altrimenti{\ displaystyle p_ {V | U} (v | u) = \ left \ {{\ begin {matrix} 2v, & 0 <u \ leq 1, \ quad 0 <v <1 \\ 2u ^ {2} v , & 1 <u <+ \ infty, \ quad 0 <v <{\ frac {1} {u}} \\ 0, & {\ mbox {altrimenti}} \ end {matrix}} \ right.}![{\ displaystyle p_ {V | U} (v | u) = \ left \ {{\ begin {matrix} 2v, & 0 <u \ leq 1, \ quad 0 <v <1 \\ 2u ^ {2} v , & 1 <u <+ \ infty, \ quad 0 <v <{\ frac {1} {u}} \\ 0, & {\ mbox {altrimenti}} \ end {matrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75d6b71791851f129fb8be14de626e96217cfb3)
che non è uniforme secondo v .
Il risultato non intuitivo
Da quanto sopra abbiamo
pY|X(y|X=0)={1,0<y<10,altrimenti{\ displaystyle p_ {Y | X} (y | x = 0) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1, & 0 <y <1 \\ 0, & {\ mbox {altrimenti}} \ end { matrice}} \ right.}![{\ displaystyle p_ {Y | X} (y | x = 0) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1, & 0 <y <1 \\ 0, & {\ mbox {altrimenti}} \ end { matrice}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82bfb904fe16ef7b609d0849c5be7e2842a44350)
La condizione equivalente nel sistema di coordinate u - v è U = 1, e la densità condizionale di V conoscendo U = 1 è
pV|U(v|u=1)={2v,0<v<10,altrimenti{\ displaystyle p_ {V | U} (v | u = 1) = \ left \ {{\ begin {matrix} 2v, & 0 <v <1 \\ 0, & {\ mbox {altrimenti}} \ end { matrice}} \ right.}![{\ displaystyle p_ {V | U} (v | u = 1) = \ left \ {{\ begin {matrix} 2v, & 0 <v <1 \\ 0, & {\ mbox {altrimenti}} \ end { matrice}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8548b2661cb7fa4fb59fe73bd83938663e3c9493)
Paradossalmente, V = Y e X = 0 è uguale a U = 1, ma
pY|X(y|X=0)≠pV|U(v|u=1).{\ displaystyle p_ {Y | X} (y | x = 0) \ neq p_ {V | U} (v | u = 1).}![{\ displaystyle p_ {Y | X} (y | x = 0) \ neq p_ {V | U} (v | u = 1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818be9a1396c2ea41645ddad9e5183a16a3cdd7e)
Vedi anche
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