Nullità della derivata covariante del tensore metrico

La nullità della derivata covariante del tensore metrico di una varietà Riemanniana esprime il fatto che la stessa misura è applicata in qualsiasi punto della varietà. In termini matematici, è espresso nella forma: dove rappresenta le componenti della derivata del tensore. Questa proprietà può essere dimostrata in due modi: ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta}}$ ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta; \ gamma} = 0}$ ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta; \ gamma}}$

mediante ragionamento matematico, ponendo esplicitamente il calcolo con i coefficienti di Christoffel ;

Dimostrazione

Sia una base locale e il tensore metrico espresso in questa base. Per definizione della derivata covariante, abbiamo per tutto , e : ${\ displaystyle (e _ {\ alpha})}$ ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta} = g (e _ {\ alpha}, e _ {\ beta})}$ $\alfa$ $\beta$ $\gamma$

{\ displaystyle \ partial _ {\ gamma} g _ {\ alpha \ beta} = \ partial _ {\ gamma} g (e _ {\ alpha}, e _ {\ beta}) = g (\ nabla _ {e _ {\ gamma}} e _ {\ alpha}, e _ {\ beta}) + g (e _ {\ alpha}, \ nabla _ {e _ {\ gamma}} e _ {\ beta})}

quindi, per definizione dei simboli di Christoffel:

{\ displaystyle \ partial _ {\ gamma} g _ {\ alpha \ beta} = g (\ Gamma _ {\ gamma \ alpha} ^ {\ lambda} e _ {\ lambda}, e _ {\ beta}) + g (e_ {\ alpha}, \ Gamma _ {\ gamma \ beta} ^ {\ lambda} e _ {\ lambda}) = \ Gamma _ {\ gamma \ alpha} ^ {\ lambda} g (e _ {\ lambda}, e_ {\ beta}) + \ Gamma _ {\ gamma \ beta} ^ {\ lambda} g (e _ {\ alpha}, e _ {\ lambda}) = \ Gamma _ {\ gamma \ alpha} ^ {\ lambda} g_ {\ lambda \ beta} + \ Gamma _ {\ gamma \ beta} ^ {\ lambda} g _ {\ alpha \ lambda}}

o :

{\ displaystyle \ partial _ {\ gamma} g _ {\ alpha \ beta} - \ Gamma _ {\ gamma \ alpha} ^ {\ lambda} g _ {\ lambda \ beta} - \ Gamma _ {\ gamma \ beta } ^ {\ lambda} g _ {\ alpha \ lambda} = 0}

Ma l'espressione di cui sopra è precisamente quella di , derivata covariante del tensore g. ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta; \ gamma}}$

dal ragionamento fisico, nel quadro della relatività generale .

Particolare di ragionamento fisico: i principio di equivalenza afferma che è sempre possibile trovare un repository di Lorentz locale in cui i primi derivati della metrica è pari a zero, vale a dire: . Tuttavia, i coefficienti di Christoffel dipendono solo dalle derivate prime della metrica, quindi abbiamo: e . ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta, \ gamma} = 0}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ alpha \ beta \ gamma} = 0}$ ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta; \ gamma} = 0}$

Questa relazione tensoriale essendo vera in qualsiasi quadro di riferimento lorentziano locale, secondo il principio di equivalenza , è anche vero in qualsiasi quadro di riferimento.