Metodo della fase stazionaria

In matematica , il metodo della fase stazionaria consente di valutare il comportamento asintotico di un integrale del tipo:

{\ displaystyle \ mathrm {I} (\ lambda) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (x)} \, \ mathrm {d} x \,}

quando , dove $i$ è l' unità immaginaria . $\ lambda \ rightarrow + \ infty$

Idea generale

Il comportamento dell'integrale è approssimato dal suo comportamento in prossimità dei limiti di integrazione ma anche in prossimità dei punti in cui la fase $λ g$ è stazionaria , cioè dei punti $x s$ in cui la derivata di $g$ è nulla , ad es. . ${\ displaystyle g '(x_ {s}) = 0}$

Quando sono presenti uno o più punti stazionari, il contributo principale dell'integrale sarà dato solo dall'espressione approssimativa dell'integrale in prossimità di questi punti, quando . L'errore commesso da questo metodo è dell'ordine di nella notazione di Landau . ${\ displaystyle \ lambda \ to + \ infty}$ ${\ Displaystyle O \ left (1 / \ lambda \ right) \,}$

Ipotesi

Generalmente chiediamo $f$ derivabile su $[ un , b ]$ e $g$ , derivabile due volte e con una seconda derivata continua:

{\ Displaystyle f \ in {\ mathcal {C}} ([a, b]), \ g \ in {\ mathcal {C}} ^ {2} [a, b]}

Scenario e risultati del caso

Si possono distinguere diversi casi:

$g (x)$ non ha punti fissi . L'integrale viene quindi approssimato per integrazione per parti successive: ${\ displaystyle a \ leq x \ leq b}$ ${\ displaystyle I (\ lambda) = {\ frac {f (b)} {\ mathrm {i} \ lambda g '(b)}} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (b )} - {\ frac {f (a)} {\ mathrm {i} \ lambda g '(a)}} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (a)} + O \ sinistra ({\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ right)}$ ;
g(X){\ displaystyle g (x)} $g (x)$ ha un singolo punto stazionario sullaXS{\ displaystyle x_ {s}} $x_ {s}$ a<X<b{\ displaystyle a <x <b} ${\ displaystyle a <x <b}$
- Se : ${\ displaystyle g '' (x_ {s})> 0}$ ${\ displaystyle I (\ lambda) = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {\ lambda g '' (x_ {s})}}} f (x_ {s}) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (x_ {s})} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} {\ frac {\ pi} {4}}} + O \ left ({\ frac {1} { \ lambda}} \ right) \,}$
- Se : ${\ displaystyle g '' (x_ {s}) <0}$ ${\ displaystyle I (\ lambda) = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {- \ lambda g '' (x_ {s})}}} f (x_ {s}) \ mathrm {e} ^ { \ mathrm {i} \ lambda g (x_ {s})} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} {\ frac {\ pi} {4}}} + O \ sinistra ({\ frac {1 } {\ lambda}} \ right) \,}$

Nota 1: annotando , le espressioni precedenti possono essere ridotte a: ${\ Displaystyle \ sigma = \ operatorname {sgn} (g '' (x_ {s}))}$

{\ displaystyle I (\ lambda) = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {\ lambda | g '' (x_ {s}) |}}} f (x_ {s}) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (x_ {s})} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ sigma {\ frac {\ pi} {4}}} + O \ sinistra ({\ frac {1} {\ lambda}} \ right) \,}

Nota 2: se sono presenti più punti stazionari , è consigliabile sommare i contributi di ciascuno dei punti stazionari. $g (x)$ ${\ displaystyle a <x <b}$

$g (x)$ ha un unico punto stazionario corrispondente al limite inferiore dell'integrale ${\ displaystyle x_ {s} = a}$ ${\ displaystyle I (\ lambda) = {\ frac {f (b)} {\ mathrm {i} \ lambda g '(b)}} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (b )} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {\ lambda | g '' (x_ {s}) |}}} f (x_ {s}) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (x_ {s})} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ sigma {\ frac {\ pi} {4}}} + O \ sinistra ({\ frac {1} {\ lambda}} \ right)}$
$g (x)$ ha un unico punto stazionario corrispondente al limite superiore dell'integrale ${\ displaystyle x_ {s} = b}$ ${\ displaystyle I (\ lambda) = - {\ frac {f (a)} {\ mathrm {i} \ lambda g '(a)}} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g ( a)} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {\ lambda | g '' (x_ {s}) |}}} f (x_ {s}) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ lambda g (x_ {s})} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ sigma {\ frac {\ pi} {4}}} + O \ sinistra ({\ frac {1} {\ lambda}} \ right)}$

Nota 3: questa approssimazione non è valida quando il punto stazionario si avvicina a uno dei limiti dell'integrale. Ad esempio, se il punto stazionario varia e supera il limite superiore, l'approssimazione diventa discontinua a seconda della posizione del punto stazionario: inferiore, uguale o superiore al limite superiore. In questo caso, è quindi consigliabile utilizzare un'approssimazione asintotica uniforme, coinvolgendo gli integrali di Fresnel. $x_ {s}$

Origine del metodo

Questo metodo è derivato dal metodo Laplace . Quando l'integrazione si riferisce a un campo complesso (e non più a limiti reali), si utilizza la complessa generalizzazione di questo metodo: il metodo del collare .

Riferimenti

(en) N. Bleistein e RA Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals , Dover, 1986 [1975]
(en) LB Felsen (de) e N. Marcuvitz (en) , Radiation and Scattering of Waves , IEEE-Wiley, 1994 [1972], cap. 4
(in) e Copson , Asymptotic expansions , Cambridge University Press, 1965
(en) B. Harris e SA Kramer, "Valutazione asintotica delle funzioni di ambiguità dei sistemi sonar con filtro FM ad alto guadagno-Harris", in Proceeding of IEEE , vol. 56, n o 12,Dicembre 1968, caso punto stazionario, formula (15)