Analisi spettrale

In fisica e in varie tecniche compaiono segnali, funzioni del tempo o, più eccezionalmente, di una variabile spaziale. L' analisi spettrale include diverse tecniche di descrizione di questi segnali nel dominio della frequenza. Consente in particolare di ottenere le caratteristiche della risposta di un sistema lineare utilizzando una funzione di trasferimento . In matematica, l' analisi armonica è una parte di queste tecniche.

Presentazione

Un fenomeno fisico dipendente dal tempo è descritto da uno o più segnali. Possiamo solo eccezionalmente interpretarli in modo semplice. Il problema è trovare una descrizione del loro contenuto, relativamente generale e adeguata ai problemi concreti. Spesso si presentano come segue: un sistema trasforma un segnale in ingresso in un segnale in uscita, come determinare le caratteristiche di questo secondo quelle del segnale in ingresso e quelle del sistema?

Nel caso generale purtroppo non conosciamo la relazione tra i valori del segnale in uscita e quelli del segnale in ingresso ma solo la relazione tra le variazioni del segnale in uscita ed i valori (o eventualmente le variazioni) di il segnale di ingresso. In termini matematici , il sistema è governato da un'equazione differenziale . Se è presente, il problema è insolubile.

Fortunatamente esiste un'importante classe di sistemi, i sistemi lineari (o supposti tali) governati dal principio di sovrapposizione. In questo caso, in corrispondenza di un'equazione differenziale lineare, si può tentare di scomporre il segnale di ingresso in una somma di segnali semplici a cui è possibile far corrispondere segnali di uscita altrettanto semplici, la cui somma darebbe il risultato desiderato.

Il problema si semplifica ancora di più se le caratteristiche del sistema rimangono costanti nel tempo. Si tratta di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. I segnali semplici sono sinusoidi che subiscono solo amplificazione e sfasamento. Questo è il problema dell'analisi spettrale: scomporre un segnale complicato in una somma di sinusoidi.

Qui appare una difficoltà perché questa scomposizione richiede che il segnale sia definito su un tempo infinito. Tuttavia, può essere conosciuto solo attraverso una registrazione di durata limitata: è quindi necessario costruire un modello del segnale facendo ipotesi, spesso ovvie intuitivamente, sulla parte non registrata del fenomeno.

Diversi modelli

Si può supporre, ad esempio, che il segnale riproduca indefinitamente il contenuto della registrazione: si costruisce quindi un modello periodico basato sulla serie di Fourier . Il segnale è descritto da uno spettro discreto (insieme di frequenze in progressione aritmetica).

Possiamo anche ipotizzare che il livello del segnale sia trascurabile al di fuori della registrazione: in questo caso utilizziamo un modello transitorio basato sulla trasformazione di Fourier che generalmente porta ad uno spettro continuo.

Esistono numerosi fenomeni naturali per i quali nessuna di queste due ipotesi è realistica. Ad esempio, una registrazione di onde, senza mostrare periodicità, non mostra nemmeno una diminuzione netta sulla sua durata relativamente piccola: si parla di un segnale con varianza finita (alcuni preferiscono parlare di potenza finita ma non è ancora tecnicamente rilevante), che porta alla nozione di densità spettrale . Possiamo quindi utilizzare un'ipotesi un po 'più sfocata che la radice quadrata media calcolata sulla registrazione fornisce una stima ragionevole della radice quadrata media del segnale. Questo tipo di analisi porta ancora a uno spettro continuo. Viene definito, come i precedenti, sulla base del segnale ma si possono ottenere informazioni aggiuntive considerando quest'ultimo come la realizzazione di un processo casuale .

Segnali periodici

Ampiezza del segnale periodico spettro.png

Lo sviluppo in serie di Fourier di una registrazione di durata associa ad essa sinusoidi di ampiezze finite e frequenze multiple della frequenza fondamentale . Stiamo parlando di uno spettro di ampiezza che è uno spettro di linee. Nel caso generale, il risultato dell'analisi può essere espresso sia in ampiezze e fasi, sia in componenti coseno e seno. $T$ ${\ frac {1} {T}}$

La somma delle sinusoidi crea un segnale periodico. Se il segnale originale è periodico, è perfettamente rappresentato, almeno in linea di principio. Altrimenti, è stata mostrata solo la registrazione e devi cercare di trovare qualcos'altro.

Segnali transitori

Transient signal ampiezza densità spectrum.png

Qui, prima di tutto ragioneremo sul segnale di presunta durata infinita prima di vedere le conseguenze per una registrazione di durata finita. Se questo segnale non è periodico, non ha un periodo finito, possiamo provare a vedere cosa accadrebbe se gli dessimo un periodo infinito. Ciò ha le seguenti conseguenze:

Quando il tempo di analisi tende all'infinito, il passo di frequenza tende a 0: al limite si passa da uno spettro discreto a uno spettro continuo. $T$ ${\ frac {1} {T}}$
Durante questo aumento del periodo di analisi, quando quest'ultimo viene moltiplicato per un qualsiasi numero n, il numero di componenti viene moltiplicato per lo stesso fattore. Affinché il livello del segnale non venga aumentato nelle stesse proporzioni, le ampiezze dei componenti devono essere divise grosso modo per n, il che rischia di portare a zero ampiezze al limite. Questa difficoltà viene superata moltiplicando i coefficienti di Fourier per la lunghezza dell'analisi o dividendoli per il passo di frequenza che tende a zero. Pertanto, lo spettro continuo non è più uno spettro di ampiezza ma uno spettro di densità di ampiezza la cui unità è unità fisica / hertz.
Nonostante queste precauzioni, il metodo potrebbe differire. Una condizione di convergenza è che il segnale debba essere transitorio: deve tendere verso lo 0 quando il tempo tende verso ± . $\ infty$

Si ottiene così la trasformata del segnale che generalmente si nota , essendo f la frequenza. $x (t)$ $X (f)$

Se torniamo a una registrazione a tempo limitato, ci sono due possibilità:

Il segnale è diverso da zero solo per un tempo limitato: l'analisi durante questo tempo fornisce, almeno in linea di principio, un risultato esatto che consente di ricostituire il segnale per inversione della trasformazione.
Il segnale ha valori diversi da zero per una durata maggiore di quella della registrazione: l'imprecisione del risultato aumenta con la quantità di informazioni perse. L'errore così commesso si traduce concretamente da una dispersione dell'energia corrispondente ad una frequenza sulle frequenze vicine e matematicamente dal concetto di convoluzione.

Segnali di varianza finita

Il problema è più complicato rispetto al caso precedente e può essere affrontato in vari modi. Quella che utilizzeremo non è certo la più efficiente dal punto di vista scientifico ma ha il vantaggio di mostrare alcuni punti essenziali senza nasconderli dietro considerazioni matematiche, se non particolarmente difficili, almeno piuttosto pesanti. Per superare problemi specifici associati alla presa in considerazione di una media diversa da zero, si supporrà che il segnale sia stato centrato in anticipo sottraendo la sua media.

Dato un segnale , chiamiamo la funzione di autocovarianza - spesso erroneamente assimilato alla autocorrelazione - la funzione che dà la media dei prodotti dei valori di a due istanti diversi da : $x (t)$ $\ tau$ $x (t)$ $\ tau$

R_ {x} (\ tau) = \ overline {x (t) x (t + \ tau)}

Nel calcolare questa media, t varia da a . Se il segnale è transitorio, la funzione è zero; se è periodico, è esso stesso periodico. Ponendosi nel caso di un segnale che ovviamente non appartiene a nessuna delle due categorie, la funzione ha le seguenti proprietà: $- \ infty$ $+ \ infty$

Il cambio di en non apporta alcuna modifica: la funzione è pari. $\ tau$ ${\ displaystyle - \ tau}$
All'origine, rappresenta la varianza che è necessariamente positiva. ${\ displaystyle R_ {x} (0)}$
La simmetria richiede che sia un estremo. Si tratta infatti di un massimo: se nel calcolo si sostituisce lo shift 0 con uno shift piccolo , ad ogni superamento del livello 0 si sostituisce un piccolo prodotto positivo con un piccolo prodotto negativo. $\ tau$
Con l'eccezione del segnale periodico, due punti separati da un grande offset hanno poco in comune: la funzione tende a 0 quando questo offset tende all'infinito. $\ tau$
Tutto sommato, la funzione ha spesso una forma sinusoidale vaga e smorzata.
Vogliamo, se possibile, assimilare il segnale a una somma di sinusoidi. Supponiamo che sia così. Sia che le ampiezze siano finite o infinitamente piccole, possiamo scrivere questa somma nella forma:

x (t) = \ sum _ {n} a_ {n} \ cos (\ omega _ {n} t + \ varphi _ {n})

In queste condizioni lo dimostriamo

R_ {x} (\ tau) = \ sum _ {n} {a_ {n} ^ {2} \ over 2} \ cos {\ omega _ {n} \ tau}

In tal modo

La funzione di autocovarianza contiene le stesse frequenze del segnale.
Le ampiezze non sono identiche ma si ottengono squadrando e dividendo per 2.
Le fasi sono completamente scomparse: l'autocovarianza corrisponde non solo al segnale originale, ma anche a tutte quelle che contengono le stesse componenti.

Densità spettrale

Possiamo dedurre da quanto sopra:

La funzione di autocovarianza ha una trasformata di Fourier che chiamiamo densità spettrale e che denotiamo generalmente , essendo f la frequenza. ${\ displaystyle S_ {x} (f)}$
Poiché i componenti dell'autocovarianza sono omogenei ai quadrati di ampiezza, la densità spettrale non è negativa. Ha una dimensione (unità fisica) 2 / Hertz.
Essendo l'autocovarianza una funzione reale e uniforme, la sua trasformata di Fourier ha le stesse caratteristiche.
Una registrazione che tronca sempre il segnale che si suppone debba essere mantenuto per un tempo infinito, la densità spettrale è necessariamente distorta dalla convoluzione.

Relazione con processi casuali

Oltre alla distorsione del contenuto in frequenza già osservata per i segnali transitori, esiste un'incertezza statistica legata alla posizione della registrazione sul segnale.

La funzione di autocovarianza corrisponde a un'intera famiglia di segnali che contengono le stesse componenti. Questa famiglia può essere interpretata come quella delle conquiste di un processo continuo . Una registrazione a tempo limitato può anche essere vista come il completamento di un altro processo. Ciò consente di specificare con intervalli di confidenza il valore statistico dell'analisi effettuata.

Vedi anche

Bibliografia

(en) YK Lin , Teoria probabilistica delle dinamiche strutturali , New York, Robert E. Krieger Publishing Company,Luglio 1976, 368 p. ( ISBN 0-88275-377-0 )