La logica è la base del ragionamento matematico.
“Dai greci, chi dice matematica dice dimostrazione. "
- Nicolas Bourbaki , Elementi di matematica , in Introduzione alla teoria degli insiemi
La logica spiega come un fatto o un'asserzione possano sorgere altri fatti già ammessi. Una catena di fatti che si dice fluiscano l'uno dall'altro è chiamata dimostrazione . Vediamo che calcolare e dimostrare sono le due principali attività della matematica. Qui siamo interessati all'attività di dimostrazione. Per dimostrare qualcosa, devi o utilizzare una lingua specifica (presentata in altri articoli specializzati di Wikipedia, ad esempio nell'articolo deduzione naturale ), oppure mantenere il francese con un certo numero di convenzioni che mirano a eliminare errori e ambiguità. La logica è quindi, in matematica, la pratica del rigore o dell'esattezza nel pensiero.
Non appena facciamo matematica, ci poniamo in una teoria in cui accettiamo un certo numero di fatti fondamentali. Negli esempi che seguono, i fatti di base sono quelli della teoria dei numeri reali , dove conosciamo le proprietà di addizione, moltiplicazione, relazione d'ordine ecc. Ci interesserà la sequenza del ragionamento corretto che può essere fatto da questi fatti di base acquisiti.
Iniziamo osservando due fatti:
primo fatto : secondo fatto : .Il secondo fatto segue dal primo fatto. Infatti, se , possiamo sostituire con nell'espressione e troviamo che . Quindi diremmo che
o
Scriviamo anche also
se poio
è sufficiente pero
è necessario quando .Tutte queste formulazioni sono convenzioni che i matematici hanno scelto per mettere rigore nei loro ragionamenti. In quanto abbiamo appena detto, ciò che si collega a è chiamato implicazione . Più precisamente, l'affermazione che questa implicazione è vera è chiamata deduzione, una deduzione è un passaggio fondamentale di una dimostrazione.
D'altra parte, possiamo dire
No, perché con si può anche affermare che , anzi (3 x 1) . Per poter dire qualcosa con le affermazioni e , devi combinarle per formare un unico fatto. Questo fatto è una nuova affermazione:
o .L'operazione logica che combina due proposizioni con una o è detta disgiunzione . Nota che ci sono meno variazioni linguistiche sulla disgiunzione che sull'implicazione. E la teoria delle equazioni quadratiche ci dice che possiamo scrivere:
coinvolge doveo
se poi o .In effetti, quando scriviamo implica troviamo che dice qualcosa di più forte di . Facendo un'implicazione perdiamo informazioni. Tuttavia, scrivendo o indebolendo l'affermazione , perdiamo anche informazioni, ma non allo stesso modo.
Come combini due fatti dicendo che non ci sono informazioni perse quando passi dall'uno all'altro o dall'altro all'altro, dicendo che stanno dicendo esattamente la stessa cosa? Sui fatti di cui sopra è scritto:
è equivalente a oo
se e solo se oo
è necessario e sufficiente affinché oo
è una condizione necessaria e sufficiente per questo o .Questa combinazione è chiamata equivalenza . Poiché l'equivalenza va in entrambe le direzioni, possiamo anche scrivere:
o è equivalente ao
o se e solo seo anche
o seff che è una forma abbreviata della precedente, ecc.Finora abbiamo parlato di fatti o affermazioni . In logica si usa in questo caso il nome di proposizione . Quindi è una proposta. Possiamo anche dare alle clausole nomi che sono lettere, ad esempio possiamo scrivere implica . Possiamo quindi vedere che implica lavori un po' come in aritmetica. Si può così anche “calcolare” sulle proposizioni, si parla inoltre di computazione delle proposizioni quando si parla di questo modo di computare. Ma a differenza dell'aritmetica, dove diciamo che è un operatore, diciamo che implica è un connettore . È più una questione di abitudine, tra i logici, che davvero un concetto diverso. Abbiamo visto tre connettori:
In aritmetica non si scrive più , ma bene . Nel calcolo delle proposizioni usiamo le notazioni come per i connettori e scriviamo
ma useremo queste notazioni molto poco in questo articolo.
Non possiamo dire che ciò implichi . D'altra parte possiamo dire che se vale allora non vale : per questo dobbiamo poter dire che non abbiamo . Per fare ciò, introduciamo un connettore che sembra unario in aritmetica, quello che sostituisce con . Questo connettore è chiamato negazione ed è indicato come no . Possiamo quindi scrivere:
implica noo
se poi no .La notazione formale di no è . Scriveremo invece di no . Ma molto spesso si utilizzerà una scrittura ancora più condensata, vale a dire .
Abbiamo visto che non si può dire che
implica ,d'altra parte siamo in grado di rafforzare la prima proposizione (quello che si trova a sinistra del implica ) dicendo che siamo alla ricerca di coloro che sono superiori . In altre parole, vogliamo aggiungere la condizione a . Per questo creiamo la proposta:
e .Abbiamo introdotto un nuovo connettore ha e e grazie a lui possiamo affermare:
e coinvolge .Lì cominciamo a vedere un piccolo problema. Nella proposta precedente, intendevamo dire che avevamo da un lato
E d'altra parte,
coinvoltio volevamo dire che?
ecoinvolti
?Questa è la seconda intenzione che avevamo in mente. Per evitare ambiguità, usiamo le parentesi e scriviamo:
( e ) implica .La e è formalmente annotata . Quindi la proposizione precedente può essere scritta:
.Supponiamo di non intendere la proposizione A vista sopra:
per o per l'espressione è annullatoma un'altra proposta:
c'è un numero naturale da qualche parte (cioè uno ) per il quale questa espressione svanisce .Scriveremo:
C'è tale che ." C'è " è chiamato quantificatore .
Grazie a questa nuova costruzione logica, poiché sappiamo che annulla , possiamo scrivere una proposizione che afferma che esiste un numero naturale che annulla :
Se, ora, considero l'espressione , non posso affermare che ce ne sia una che la cancelli. Ma d'altra parte posso dire che per tutti i numeri naturali non si annulla. scrivo allora
“ Per tutto ” è anche un quantificatore . Possiamo anche scrivere: Qualunque cosa , . E ancora: ∀ , nella formulazione che non vuole mischiare il francese con il linguaggio matematico.
Per poter ragionare, abbiamo bisogno di alcune regole. Ad esempio ci sono regole sull'implicazione, alle quali i logici hanno dato dei nomi.
Quindi possiamo dire che se abbiamo e se abbiamo coinvolge allora abbiamo . Ciò significa che se miriamo a dimostrare , allora potremo darci due sotto-obiettivi (due obiettivi intermedi): dimostrare e dimostrare implica , solo allora potremo usare la regola di cui sopra per dimostrare . Come nel secondo sotto-gol, abbiamo avuto un'implicazione e che nell'obiettivo finale non c'è più implicazione. Questa regola è chiamata modus ponens .
Ad esempio, supponiamo di aver mostrato che e poiché abbiamo implica , possiamo dedurre che .
Come abbiamo appena visto, dobbiamo avere i mezzi per dimostrare le implicazioni. Usiamo per questo una regola che “introduce” un'implicazione. Funziona come segue. Diciamo che volevamo dimostrare coinvolge . Aggiungiamo alle nostre ipotesi accettate e cerchiamo di dimostrare . Se abbiamo successo, possiamo affermare coinvolge e possiamo usarlo in seguito.
Ci sono regole per altri connettori come o o e , ma anche per quantificatori.
L'esistenza di un ragionamento matematico corretto è una cosa, ma la costruzione di tale ragionamento corretto è un'altra. Si pone quindi la questione di fornire a matematici o studenti metodi per fare dimostrazioni. Ecco alcune euristiche (strumenti per aiutare la costruzione del ragionamento) che i matematici hanno per aiutarli a sviluppare dimostrazioni. Alcuni matematici, come Henri Poincaré , George Pólya , Martin Gardner o Terence Tao, hanno cercato di descrivere nei libri il loro approccio e quello dei loro colleghi come lui lo vede.
Nell'induzione, il matematico parte dai risultati sperimentali, poi li generalizza trovando una "legge" che li unisca. Ad esempio, vediamo che se disegniamo un triangolo di cui uno dei lati è il diametro di un cerchio e i 3 vertici di questo triangolo coincidono con la periferia del cerchio, allora questo triangolo è rettangolo. L' induzione è un'euristica , cioè un metodo che aiuta poi a costruire un ragionamento matematico rigoroso; in nessun caso costituisce una dimostrazione matematica.
Nella deduzione si parte da ipotesi e si cerca di costruire sequenze logiche che conducano alla dimostrazione del teorema. Questo approccio può portare a un punto in cui non è più possibile effettuare una nuova detrazione senza che sia stata raggiunta una dimostrazione (vicolo cieco). Richiede di tornare indietro per prendere un'altra strada (cioè un'altra detrazione). Questo approccio puramente deduttivo può essere costoso, perché il numero di strade da esplorare è estremamente ampio. Può essere interessante quindi avere un'idea anche intuitiva e incompleta della “giusta” direzione e “misurare” quanto siamo vicini alla soluzione (vedi Backtrack ). La detrazione deve quindi essere combinata con altre euristiche.
Cerchiamo una dimostrazione suddividendo il problema in un caso.
Esempio : abbiamo, per tutti inumerinaturali,pari?
La proposizione è: " è pari per tutti i numeri naturali n"
L'euristica è: “ragioniamo per disgiunzione di casi” .
Caso 1: consideriamo pari, o con un numero naturale.
che è un numero pari.
Caso 2: consideriamo dispari, o con un numero naturale.
che è un numero pari. Quindi, per qualsiasi numero naturale (pari o dispari), abbiamo pari.
Se abbiamo una prova per ogni caso, abbiamo una prova del problema generale.
Supponiamo la negazione di ciò che vogliamo mostrare, quindi mostriamo che ciò porta a un'assurdità.
Un posto per mostrare che A implica B è mostrato che la negazione di B implica la negazione di A .
Con un processo passo-passo, dimostriamo che una proprietà è vera per tutti i numeri interi o per qualsiasi struttura matematica che assomigli agli interi.
Si analizzano le potenziali soluzioni candidate e si eliminano, tra queste, quelle che non sono soluzioni autentiche, sperando così di ottenere una dimostrazione vera tra i candidati non eliminati.
Oltre alla correzione formale, i matematici sono concordi nel giudicare certe dimostrazioni (dello stesso risultato) più eleganti di altre, spesso perché più brevi, ma anche per l'ingegnosità degli argomenti usati, o per la comparsa di relazioni nascoste con altri risultati già noti .