Lemma di Zolotarev

In matematica , il lemma di Zolotarev è il risultato di un'aritmetica modulare equivalente al lemma di Gauss e introdotto da Yegor Ivanovich Zolotarev nel 1872 per dimostrare nuovamente la legge della reciprocità quadratica . Afferma che per ogni numero primo p > 2 e qualsiasi intero a non divisibile per p , il simbolo di Legendre ( a / p ) è uguale alla firma della permutazione delle classi residue modulo p che moltiplica ogni elemento per a .

Prova

Sia α la classe modulo p dell'intero a . La permutazione dell'istruzione fissa la classe nulla, ed è identificata sulle classi diverse da zero con l'azione τ α di α per traslazione, nel gruppo moltiplicativo Z / pZ *. Questa permutazione si scompone in ( p - 1) / i cicli disgiunti, ciascuno di dimensione i , dove i è l' ordine di α (cioè il più piccolo intero i > 0 tale che α i = 1). La sua firma vale quindi:

ε(τα)=(-1)(io-1)p-1io.{\ displaystyle \ varepsilon (\ tau _ {\ alpha}) = (- 1) ^ {(i-1) {\ frac {p-1} {i}}}.}

Per confrontare questa firma con il simbolo di Legendre ( a / p ), che secondo il criterio di Eulero è uguale a α ( p - 1) / 2 , discutiamo quindi secondo la parità di i  :

se lo è anche allora  ;α(p-1)/2=(αio/2)(p-1)/io=(-1)(p-1)/io=ε(τα){\ Displaystyle \ alpha ^ {(p-1) / 2} = (\ alpha ^ {i / 2}) ^ {(p-1) / i} = (- 1) ^ {(p-1) / i } = \ varepsilon (\ tau _ {\ alpha})} se mi è strano allora .α(p-1)/2=(αio)(p-1)/2io=1=ε(τα){\ Displaystyle \ alpha ^ {(p-1) / 2} = (\ alpha ^ {i}) ^ {(p-1) / 2i} = 1 = \ varepsilon (\ tau _ {\ alpha})}

In entrambi i casi, questo è il risultato atteso.

Generalizzazione

Il teorema di Frobenius -Zolotarev indica che se V è uno spazio vettoriale dimensionale finito sul campo finito F p , allora la firma di qualsiasi automorfismo di V (visto come una permutazione di questo spazio vettoriale finito ) è uguale al simbolo di Legendre del suo determinante  :

∀u∈GL(V),ε(u)=(det(u)p).{\ Displaystyle \ forall u \ in \ mathrm {GL} (V), \ qquad \ varepsilon (u) = \ left ({\ frac {\ det (u)} {p}} \ right).}

Di Zolotarev corrisponde lemma al caso V = F p ed u = la moltiplicazione per una .

Dimostrazione

Il morfismo dei gruppi

GL(V)→Fp∗,u↦det(u){\ displaystyle \ mathrm {GL} (V) \ to \ mathbf {F} _ {p} ^ {*}, \ qquad u \ mapsto \ det (u)}

è suriettivo e il suo nucleo, il gruppo speciale lineare SL ( V ), è il sottogruppo derivato da GL ( V ) . Per proprietà universale degli abelianizzati c'è quindi un morfismo

f:Fp∗→{±1}{\ displaystyle f: \ mathbf {F} _ {p} ^ {*} \ to \ {\ pm 1 \}}

in base al quale viene scomposto il morfismo della firma:

∀u∈GL(V),ε(u)=f(det(u)).{\ Displaystyle \ forall u \ in \ mathrm {GL} (V), \ quad \ varepsilon (u) = f (\ det (u)).}

Infine, questo morfismo f coincide con il simbolo di Legendre, poiché non è il morfismo banale . Possiamo infatti esibire un automorfismo di V la cui firma è uguale a -1: se V è di dimensione n quindi isomorfo, come spazio vettoriale, al campo finito F q per q = p n , basta scegliere l'automorfismo di moltiplicazione per un generatore del gruppo ciclico F q *. È davvero una permutazione dispari , poiché è una permutazione circolare di lunghezza pari ( q –1).

Note e riferimenti

1. E. Zolotarev, Nuova dimostrazione della legge di reciprocità di Legendre , annali matematici  Serie News 2 E , Volume 11, 1872, p. 354-362
2. (in) "  Lemma di Zolotarev  " su PlanetMath (include la prova della legge di reciprocità dovuta a Zolotarev)
3. Daniel Ferrand, Firma e determinante , preparazione per l' aggregazione della matematica , Università di Rennes 1 , febbraio 2004
4. Pierre Cartier , "Su una generalizzazione dei simboli di Legendre-Jacobi", in The Teaching of Mathematics , vol. 16, 1970, p. 31-48

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