Lagrangiana (ottimizzazione)
In ottimizzazione , la Lagrangiana (o funzione Lagrangiana ) è una funzione che permette di studiare (ottimizzazione) problemi con vincoli. Viene utilizzato per stabilire condizioni di ottimalità , per costruire problemi duali o per analizzare la perturbazione dei problemi.
Definizione
La Lagrangiana è costruita dai moltiplicatori di Lagrange : se consideriamo il seguente problema:
∀X∈E⊂RnonminX∈Gf(X)conG={X∈E|φio(X)=0,io=1,...,m,ψj(X)≤0,j=1,...,p}.{\ displaystyle \ forall \ mathbf {x} \ in E \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ quad \ min _ {\ mathbf {x} \ in G} f (\ mathbf {x}) \ quad { \ text {con}} \ quad G = \ {x \ in E \ mid \ varphi _ {i} (\ mathbf {x}) = 0, i = 1, ..., m, \ psi _ {j} (\ mathbf {x}) \ leq 0, j = 1, ..., p \}.}![{\ displaystyle \ forall \ mathbf {x} \ in E \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ quad \ min _ {\ mathbf {x} \ in G} f (\ mathbf {x}) \ quad { \ text {con}} \ quad G = \ {x \ in E \ mid \ varphi _ {i} (\ mathbf {x}) = 0, i = 1, ..., m, \ psi _ {j} (\ mathbf {x}) \ leq 0, j = 1, ..., p \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e1eed2faada7e0e6b96379fae0b2b140e8b37b)
La Lagrangiana del problema si scrive come:
L(X,λ,μ)=f(X)+Σio=1mλioφio(X)+Σj=1pμjψj(X).{\ displaystyle L (\ mathbf {x}, \ mathbf {\ lambda}, \ mathbf {\ mu}) = f (\ mathbf {x}) + \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ lambda _ {i} \ varphi _ {i} (\ mathbf {x}) + \ sum _ {j = 1} ^ {p} \ mu _ {j} \ psi _ {j} (\ mathbf {x}).}![{\ displaystyle L (\ mathbf {x}, \ mathbf {\ lambda}, \ mathbf {\ mu}) = f (\ mathbf {x}) + \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ lambda _ {i} \ varphi _ {i} (\ mathbf {x}) + \ sum _ {j = 1} ^ {p} \ mu _ {j} \ psi _ {j} (\ mathbf {x}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2992b547e3749e5070ab1f4489b79b7bbe08af)
Applicazioni
Ottimizzazione sotto vincoli
Nella ricerca della soluzione di un problema di ottimizzazione sotto vincoli, si può usare la Lagrangiana e studiarne le derivate parziali.
Vedi anche
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