Disuguaglianza di Markov

Nella teoria della probabilità , la disuguaglianza di Markov dà un aumento della probabilità che una variabile casuale reale con valori positivi sia maggiore o uguale a una costante positiva. Questa disuguaglianza è stata chiamata in onore di Andrei Markov .

stati

Disuguaglianza di Markov - Sia $Z$ una variabile casuale reale definita su uno spazio di probabilità e presunta quasi sicuramente positiva o zero. Allora ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}$

{\ displaystyle \ forall a> 0, \ qquad \ mathbb {P} (Z \ geqslant a) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (Z)} {a}}.}

Dimostrazione

In entrambi i casi . Notiamo la funzione indicatore dell'evento . ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ {Z \ geqslant a \}}}$ ${\ displaystyle \ {Z \ geqslant a \}}$

Abbiamo la disuguaglianza:

{\ displaystyle \ forall \ omega \ in \ Omega, \ qquad a \, \ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ leqslant Z (\ omega) \, \ mathbf {1 } _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ leqslant Z (\ omega)}

perché è positivo o zero. $Z$

Con la crescita delle aspettative, abbiamo:

{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (a \, \ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ right) \ leqslant \ mathbb {E} (Z) \ qquad ( *)}

Quindi, per linearità dell'aspettativa:

{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (a \, \ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ right) = a \, \ mathbb {E} \ left (\ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ right) = a \, \ left (1 \ times \ mathbb {P} (Z \ geqslant a) +0 \ times \ mathbb { P} (Z <a) \ right) = a \, \ mathbb {P} \ left (Z \ geqslant a \ right)}

Reiniettando l'espressione nella disuguaglianza , otteniamo: $(*)$

{\ Displaystyle a \, \ mathbb {P} \ left (Z \ geqslant a \ right) \ leqslant \ mathbb {E} (Z)}

cioè

{\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (Z \ geqslant a \ right) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (Z)} {a}}}

Generalizzazione

Esiste una versione più generale di questo teorema. Sia $X$ una variabile casuale dove $Ω$ è l'insieme delle realizzazioni, è la tribù degli eventi e la misura della probabilità. Quindi, la disuguaglianza di Markov può essere definita come segue: ${\ textstyle L ^ p (\ Omega, \ mathcal {F}, \ mathbb {P})}$ ${\ textstyle \ mathcal {F}}$ ${\ textstyle \ mathbb {P}}$

Disuguaglianza di Markov - Per ogni reale strettamente positivo , $\alfa$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (| X | \ geq \ alpha \ right) \ leq {\ frac {1} {\ alpha ^ {p}}} \ mathbb {E} \ left (| X | ^ {p} \ right)}

La dimostrazione si basa interamente sul fatto che per tutti $α è$ strettamente positivo . Qui, $1$ $A$ denota l'indicatore dell'evento $A$ . Aumentando l'aspettativa, otteniamo: ${\ textstyle \ alpha ^ {p} \ mathbf {1} _ {\ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}} \ leq | X | ^ {p}}$

E(|X|p)≥E(αp1{|X|≥α})=αpE(1{|X|≥α})=αpP{|X|≥α}{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (| X | ^ {p} \ right) \ geq \ mathbb {E} \ left (\ alpha ^ {p} \, \ mathbf {1} _ {\ left \ { | X | \ geq \ alpha \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {E} \ left (\ mathbf {1} _ {\ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {P} \ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}}

{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (| X | ^ {p} \ right) \ geq \ mathbb {E} \ left (\ alpha ^ {p} \, \ mathbf {1} _ {\ left \ { | X | \ geq \ alpha \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {E} \ left (\ mathbf {1} _ {\ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {P} \ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}}

Dividendo su entrambi i lati della disuguaglianza per

α p

troviamo il risultato desiderato.

Vediamo subito che il risultato sopra citato non è altro che un caso speciale di questa disuguaglianza.

Inoltre, prelievo e $p$ $= 2,$ si ottiene esattamente la dichiarazione di disuguaglianza Bienayme-Chebyshev . ${\ textstyle X = Y- \ mathbb {E} \ sinistra (Y \ destra)}$

Corollario

Ha un corollario di uso frequente:

Corollario - Let $Phi;$ una funzione crescente non negativa su un intervallo $I$ . Sia $Y$ una variabile casuale reale definita su uno spazio di probabilità tale che . Allora : ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (Y \ in I) = 1}$

{\ displaystyle \ forall b \ in I \; | \; \ phi (b)> 0, \ qquad \ mathbb {P} (Y \ geqslant b) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (\ phi ( Y))} {\ phi (b)}}.}

Dimostrazione

Applichiamo la disuguaglianza di Markov a e per ottenere: ${\ displaystyle Z = \ phi (Y) \}$ ${\ displaystyle a = \ phi (b)}$

{\ displaystyle \ forall b> 0, \ qquad \ mathbb {P} \ left (\ phi (Y) \ geqslant \ phi (b) \ right) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (\ phi (Y ))} {\ phi (b)}}}

Crescita porta a: . $\ phi$ ${\ displaystyle \ {Y \ geqslant b \} \ subset \ {\ phi (Y) \ geqslant \ phi (b) \} \}$

Quindi: . ${\ displaystyle \ mathbb {P} (Y \ geqslant b) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (\ phi (Y))} {\ phi (b)}}}$

Applicazioni

La scelta, nella disuguaglianza di cui sopra, di e $ϕ ($ $x$ $) =$ $x$ $2$ dà la disuguaglianza Bienaymé-Chebyshev . ${\ displaystyle Y = | X- \ mathbb {E} (X) |, ~ I = [0, + \ infty [\}$

La scelta, nella disuguaglianza di cui sopra, di , o , di , e di $ϕ ($ $x$ $) = e$ $λ$ $x$ , $λ> 0$ , è il primo passo della dimostrazione della disuguaglianza di Chernoff o della disuguaglianza di Hoeffding . ${\ displaystyle Y = X- \ mathbb {E} (X)}$ ${\ displaystyle Y = \ mathbb {E} (X) -X}$ ${\ displaystyle I = \ mathbb {R}}$

La disuguaglianza di Markov viene spesso applicata insieme al lemma di Borel-Cantelli , ad esempio per dimostrare la legge forte dei grandi numeri .

Esempio

Poiché i salari sono positivi, la quota della popolazione che riceve un salario superiore a 5 volte il salario medio è al massimo un quinto.

Vedi anche