Disuguaglianza di Kolmogorov

La disuguaglianza di Kolmogorov , dovuta ad Andrei Kolmogorov , è un passo essenziale nella sua dimostrazione della legge forte dei grandi numeri , uno dei principali teoremi della teoria della probabilità . Questa è la fase in cui utilizza l'ipotesi di indipendenza (e, senza dirlo, la nozione di tempo di inattività ).

stati

Disuguaglianza di Kolmogorov.  -  Vale a dire una serie di var indipendenti e centrati. Mettiamoci in posa (Ynon)non≥1{\ displaystyle \ textstyle \ sinistra (Y_ {n} \ destra) _ {n \ geq 1}}

Wnon=Y1+Y2+⋯+Ynon.{\ displaystyle W_ {n} = Y_ {1} + Y_ {2} + \ cdots + Y_ {n}.}

Quindi, per tutto , X>0{\ displaystyle \ textstyle x> 0}

P(sup{|Wnon||non≥1}>X)≤∑non≥1Var(Ynon)X2.{\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ sup \ left \ {\ left | W_ {n} \ right | \, | \, n \ geq 1 \ right \}> x \ right) \ leq {\ frac {\ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ right)} {x ^ {2}}}.} Appunti:

• Disuguaglianza

P(|Wnon|>X)≤∑non≥1Var(Ynon)X2{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ left | W_ {n} \ right |> x \ right) \ leq {\ frac {\ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ right)} {x ^ {2}}}} è una conseguenza immediata della disuguaglianza Bienayme-Chebyshev . La presenza del sup rende la disuguaglianza molto più precisa, e quindi più difficile da dimostrare.

• A differenza della legge forte dei grandi numeri , la disuguaglianza di Kolmogorov non richiede variabili della stessa legge.

Dimostrazione

Se , la disuguaglianza è verificata. Di seguito, lo assumiamo ∑non≥1Var(Ynon)=+∞{\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ right) = + \ infty}

∑non≥1Var(Ynon)<+∞.{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ text {Var}} \ left (Y_ {n} \ right) <+ \ infty.}

Ci mettiamo in posa

σ={+∞  Se {K≥1 | |WK|>X}=∅,inf{K≥1 | |WK|>X}  altrimenti.{\ displaystyle \ sigma = \ left \ {{{\ begin {array} {lll} + \ infty & \ \ & {\ text {si}} \ left \ {k \ geq 1 \ | \ \ left | W_ { k} \ right |> x \ right \} = \ emptyset, \\ && \\\ inf \ left \ {k \ geq 1 \ | \ \ left | W_ {k} \ right |> x \ right \} & \ \ & {\ text {altrimenti.}} \ end {array}} \ right.}

Notiamo allora che, per , K≤non{\ displaystyle \ textstyle k \ leq n}

WK1σ=K ⊥ Wnon-WK.{\ displaystyle W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ \ bot \ W_ {n} -W_ {k}.}

Infatti , mentre Wnon-WK=YK+1+YK+2+⋯+Ynon{\ displaystyle \ textstyle W_ {n} -W_ {k} = Y_ {k + 1} + Y_ {k + 2} + \ dots + Y_ {n}}

{σ=K}={|W1|≤X,|W2|≤X,...,|WK-1|≤X e |WK|>X}={|Y1|≤X, |Y1+Y2|≤X, ..., |Y1+⋯+YK-1|≤X e |Y1+⋯+YK|>X}.{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ {\ sigma = k \ right \} & = \ left \ {\ left | W_ {1} \ right | \ leq x, \ left | W_ {2} \ right | \ leq x, \ dots, \ left | W_ {k-1} \ right | \ leq x {\ text {et}} \ left | W_ {k} \ right |> x \ right \} \\ & = \ left \ {\ left | Y_ {1} \ right | \ leq x, \ \ left | Y_ {1} + Y_ {2} \ right | \ leq x, \ \ dots, \ \ left | Y_ {1} + \ dots + Y_ {k-1} \ right | \ leq x {\ text {et}} \ left | Y_ {1} + \ dots + Y_ {k} \ right |> x \ right \}. \ end {align}}}

Così per ogni due Boreliani e , i due eventi A{\ displaystyle \ textstyle A}B{\ displaystyle \ textstyle B}

{WK1σ=K∈A} e {Wnon-WK∈B}{\ displaystyle \ left \ {W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ in A \ right \} {\ text {et}} \ left \ {W_ {n} -W_ {k} \ in B \ a destra \}}

appartengono alle tribù e , rispettivamente. Sono quindi indipendenti in virtù del lemma di raggruppamento , che implica bene . Abbiamo σ(Y1,Y2,...,YK){\ displaystyle \ textstyle \ sigma \ sinistra (Y_ {1}, Y_ {2}, \ dots, Y_ {k} \ right)}σ(YK+1,YK+2,...,Ynon){\ displaystyle \ textstyle \ sigma \ sinistra (Y_ {k + 1}, Y_ {k + 2}, \ dots, Y_ {n} \ right)} WK1σ=K ⊥ Wnon-WK{\ displaystyle \ \ textstyle W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ \ bot \ W_ {n} -W_ {k}}

∑K=1nonVar(YK)=Var(Wnon) = E[Wnon2]≥E[Wnon21σ<+∞]=∑K≥1 E[Wnon2 1σ=K]≥∑K=1non E[Wnon21σ=K]=∑K=1non E[(Wnon-WK+WK)21σ=K]≥∑K=1non E[WK21σ=K]+2E[Wnon-WK]E[WK1σ=K]=∑K=1non E[WK21σ=K]≥∑K=1non E[X21σ=K]=X2P(σ≤non),{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \, {\ text {Var}} \ left (Y_ {k} \ right) & = {\ text {Var}} \ sinistra (W_ {n} \ right) \ = \ \ mathbb {E} \ left [W_ {n} ^ {2} \ right] \\ & \ geq \ mathbb {E} \ left [W_ {n} ^ { 2} 1 _ {\ sigma <+ \ infty} \ right] \\ & = \ sum _ {k \ geq 1} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {n} ^ {2} \ 1 _ {\ sigma = k} \ right] \\ & \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {n} ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ destra] \ \ & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ sinistra [\ sinistra (W_ {n} -W_ {k} + W_ {k} \ destra) ^ {2 } 1_ {\ sigma = k} \ right] \\ & \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {k} ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ right] +2 \ mathbb {E} \ left [W_ {n} -W_ {k} \ right] \ mathbb {E} \ left [W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ right ] \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [W_ {k} ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ right] \\ & \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ mathbb {E} \ left [x ^ {2} 1 _ {\ sigma = k} \ right] \\ & = x ^ {2} \ mathbb {P } \ sinistra (\ sigma \ leq n \ destra), \ end {allineato}}}

dove la terza disuguaglianza si ottiene espandendo il quadrato in due termini quadrati (uno dei quali viene cancellato per ridurre l'espressione precedente) e un doppio prodotto (di due variabili indipendenti, in virtù di ). La seguente uguaglianza è quella centrata (come somma di rv centrata), e l'ultima disuguaglianza deriva dalla definizione di tempo di arresto  : per definizione, al tempo , abbiamo . Tendendo all'infinito otteniamo  WK1σ=K ⊥ Wnon-WK{\ displaystyle \ \ textstyle W_ {k} 1 _ {\ sigma = k} \ \ bot \ W_ {n} -W_ {k}}Wnon-WK{\ displaystyle \ textstyle W_ {n} -W_ {k}} σ{\ displaystyle \ textstyle \ sigma}σ{\ displaystyle \ textstyle \ sigma}Wσ>X{\ displaystyle \ textstyle W _ {\ sigma}> x}non{\ displaystyle \ textstyle n}

∑K≥1Var(YK)≥X2 P(σ<+∞),=X2 P({K≥1 | |WK|>X}≠∅),=X2 P(sup{|Wnon||non≥1}>X),{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k \ geq 1} \, {\ text {Var}} \ left (Y_ {k} \ right) & \ geq x ^ {2} \ \ mathbb {P } \ left (\ sigma <+ \ infty \ right), \\ & = x ^ {2} \ \ mathbb {P} \ left (\ left \ {k \ geq 1 \ | \ \ left | W_ {k} \ right |> x \ right \} \ neq \ emptyset \ right), \\ & = x ^ {2} \ \ mathbb {P} \ left (\ sup \ left \ {\ left | W_ {n} \ right | \, | \, n \ geq 1 \ right \}> x \ right), \ end {allineato}}}

CQFD

Appunti

1. Si possono trovare l'affermazione, la dimostrazione e il contesto 248 del libro P. Billingley, Probability and measure , Wiley, 1 a  edizione 1979.

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