Frattale di Newton

Il frattale di Newton è un insieme di confine definito nel piano complesso caratterizzato dall'applicazione del metodo di Newton a un polinomio ${\ displaystyle \ textstyle {p (z), z \ in \ mathbb {C}.}}$

Definizione

Il frattale di Newton è l'insieme di Julia di una funzione meromorfa data dal metodo di Newton. Quando non ci sono cicli di attrazione, divide il piano complesso in $G$ $k$ regioni , ciascuna associata a ciascuna radice di questo polinomio. ${\ displaystyle z \ mapsto z - {\ tfrac {p (z)} {p '(z)}}}$

Il classico frattale di Newton è quindi associato al polinomio $z 3 -1$ e divide il piano in tre regioni associate alle sue tre radici: e . ${\ displaystyle {1, - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ mathrm {i}}}$ ${\ displaystyle {- {\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ mathrm {i}}}$

Costruzione

Molti punti del piano complesso sono associati a ciascuna radice come segue:

Come punto di partenza viene scelto un punto $z 0$ del piano complesso. Applichiamo il metodo iterativo di Newton:

{\ displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} - {\ frac {p (z_ {n})} {p '(z_ {n})}}.}

In particolare, il frattale di Newton classico si ottiene iterando:

{\ displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} - {\ frac {z_ {n} ^ {3} -1} {3z_ {n} ^ {2}}} = {\ frac {2z_ {n} ^ {3} +1} {3z_ {n} ^ {2}}}.}

Questa regola porta a una sequenza di punti $z 1$ , $z 2$ , ecc. Se la successione converge alla radice $R k$ del polinomio, allora $z 0$ appartiene alla regione $G k$ . Questa regione è anche chiamata "bacino di attrazione della radice $R k$ ".

Tuttavia, per qualsiasi polinomio di grado uguale ad almeno 2, esistono punti per i quali la successione di Newton non converge, è il caso del confine dei bacini di attrazione di ciascuna radice.

Struttura frattale

Il frattale di Newton ha, come ogni frattale , un aspetto complesso, nonostante una semplice descrizione, e auto-somiglianze visibili a tutte le scale (vedi zoom successivo sotto).

Newton $z 3 -1$ .
1 ° zoom.
2 e zoom.

Suggerisce anche che il metodo di Newton può essere molto sensibile alle condizioni iniziali e che due punti iniziali infinitamente vicini possono convergere su radici diverse.

Mostra, infine, che ogni punto del frattale di Newton è un punto di confine multiplo, che separa ciascuno degli n bacini di attrazione. Se due punti infinitamente vicini convergono a due radici distinte, allora c'è un terzo punto, anch'esso infinitamente vicino, che converge alla terza radice. Vedi l'articolo sui laghi Wada .

Generalizzazione

Una generalizzazione dell'iterazione di Newton è:

{\ displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} -a {\ frac {p (z_ {n})} {p '(z_ {n})}}}

dove $a$ è un numero complesso. Il caso speciale $a = 1$ corrisponde al classico frattale di Newton.

I punti fissi di questa trasformazione sono stabili se $a$ appartiene al disco centrato in 1 di raggio 1. Al di fuori di questo disco i punti fissi sono localmente instabili, tuttavia la trasformazione presenta una struttura frattale nel senso dell'insieme di Julia . Se $p$ è un polinomio di grado $n$ , la successione $z n$ è limitata fintanto che $a$ rimane nel disco di raggio $n$ centrato in $n$ .

Altri metodi

Nell'analisi numerica esistono numerosi metodi di risoluzione di equazioni .

I frattali associati condividono caratteristiche comuni con il frattale di Newton: la tripla frontiera, auto-somiglianze a tutte le scale e tre bacini di attrazione non correlati (a colori). In base alle condizioni iniziali scelte, il metodo secante crea zone di non convergenza.

Vedere gli esempi seguenti, applicati alla funzione polinomiale $Z 3 -1$ :

Metodo	Formula	Convergenza	Disegno	Osservazioni
Metodo secante	${\ displaystyle {z_ {n + 1} = z_ {n} - {\ frac {z_ {n} -z_ {n-1}} {p (z_ {n}) - p (z_ {n-1}) }} p (z_ {n}).}}$	1.618		Il metodo delle secanti consente di eliminare il calcolo della derivata approssimando la derivata di . ${\ displaystyle p '(z_ {n})}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {p (z_ {n}) - p (z_ {n-1})} {z_ {n} -z_ {n-1}}}}$ Nell'illustrazione abbiamo posato vicino a . ${\ displaystyle z _ {- 1}}$ $z_0$
Il metodo di Newton	${\ displaystyle {z_ {n + 1} = z_ {n} - {\ frac {p (z_ {n})} {p '(z_ {n})}}}}$	quadratico	$Metodo di Newton fractal.jpg$
Metodo del capofamiglia	${\ displaystyle {z_ {n + 1} = z_ {n} - {\ frac {p (z_ {n})} {p '(z_ {n})}} \ times (1 + h_ {n})} }$ con ${\ displaystyle {h_ {n} = {\ frac {p (z_ {n}) p '' (z_ {n})} {2p '(z_ {n}) ^ {2}}}}}$	cubo	$Metodo casalingo fractal.jpg$	I metodi del capofamiglia generalizzano i metodi di Newton e di Halley.
Metodo di Halley	${\ displaystyle {z_ {n + 1} = z_ {n} - {\ frac {2p (z_ {n}) p '(z_ {n})} {2 {[p' (z_ {n})]} ^ {2} -p (z_ {n}) p '' (z_ {n})}}}}$	cubo	$Metodo di Halley fractal.jpg$

I frattali di Newton
Frattale di Newton per il polinomio $p ( z ) = z 3 -1$ , colorato secondo il numero di iterazioni di convergenza.
Frattale di Newton per il polinomio $p ( z ) = z 3 -1$ , colorato dalla radice interessata.
Frattale di Newton per il polinomio $p ( z ) = z 5 -1$ , colorato da radice interessata.
Frattale di Newton per $p ( z ) = z 3 - 2 Z + 2$ . I punti in rosso non raggiungono alcuna radice.
Frattale di Newton per $p ( z ) = z 5 - 3i z 3 - (5 + 2i) z 2 + 3 z + 1$ , colorato dalla radice interessata.
Frattale di Newton per $p ( z ) = z 3 - 2 Z + 2$ . I punti in rosso non raggiungono alcuna radice.
Frattale di Newton per un polinomio di 7 ° grado, colorato dalla radice raggiunta sfumato secondo il numero di iterazioni di convergenza.
Un altro frattale newtoniano per il $peccato ( x )$ .
${\ displaystyle p (z) = z ^ {6} + z ^ {3} -1}$ .
${\ Displaystyle p (z) = \ sin (z) -1}$ .
${\ displaystyle p (z) = \ cosh (z) -1}$ .

Vedi anche

Riferimenti

(in) Simon Tatham, " Frattali derivati dall'iterazione di Newton-Raphson " .

Come trovare tutte le radici dei polinomi complessi con il metodo di Newton di JH Hubbard, D. Schleicher, S. Sutherland,Inventiones Mathematicaevol. 146 (2001) - Con una discussione sulla struttura globale dei frattali di Newton.
Sul numero di iterazioni per il metodo di Newton di Dierk Schleicher,21 luglio 2000
Il metodo di Newton come sistema dinamico di Johannes Rueckert
Il metodo di Newton e il suo approccio didattico frattale A, di Tan Lei (CNRS).