Formula di probabilità totale

Nella teoria della probabilità , la formula della probabilità totale è un teorema che permette di calcolare la probabilità di un evento scomponendola secondo un sistema esaustivo di eventi.

stati

Formula di probabilità totale  -  Ci diamo uno spazio di probabilità Se è un sistema esaustivo (finito o numerabile ) di eventi , e se qualunque sia allora, per qualsiasi evento(Ω,A,P).{\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P}).}(Bio)io∈io{\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ in I}}io∈io,{\ displaystyle i \ in I,} P(Bio)≠0,{\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) \ neq 0,}A,{\ displaystyle A,}

P(A)=∑io∈ioP(A|Bio)P(Bio)=∑io∈ioP(A∩Bio).{\ Displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ sum _ {i \ in I} \ mathbb {P} (A | B_ {i}) \ mathbb {P} (B_ {i}) = \ sum _ { i \ in I} \ mathbb {P} (A \ cap B_ {i}).} Appunti:

• Quando definire pone un problema: sarebbe la probabilità condizionale di conoscere un evento che non si verifica mai, ovvero La definizione usuale di porterebbe quindi a dividere per 0 ... Una convenzione raramente dannosa consiste nell'attribuire ad un valore arbitrario compreso tra 0 e 1: non abbiamo mai bisogno di prevedere la probabilità che l'evento venga a conoscenza poiché non si verifica mai, quindi l'assegnazione di un valore arbitrario non causerà alcun errore. D'altra parte, nella formula della probabilità totale, l'assegnazione di un valore arbitrario compreso tra 0 e 1 è irrilevante, poiché moltiplichiamo quindi questo valore per In sintesi, con questa convenzione, l'ipotesi è superflua per la formula della probabilità totale.P(Bio)=0,{\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) = 0,}P(A|Bio){\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}P(A|Bio){\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}A{\ displaystyle A}Bio.{\ displaystyle B_ {i}.}P(A|Bio){\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}P(Bio)=0,{\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) = 0,}P(A|Bio){\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}A{\ displaystyle A}Bio,{\ displaystyle B_ {i},}Bio{\ displaystyle B_ {i}}P(A|Bio){\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}P(A|Bio){\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}0=P(Bio).{\ displaystyle 0 = \ mathbb {P} (B_ {i}).} P(Bio)≠0{\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) \ neq 0}
• L'ipotesi secondo cui è un sistema esaustivo può essere indebolita  : può essere sostituita da È comunque essenziale che siano disgiunti.(Bio)io∈io{\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ in I}}∪io∈ioBio=Ω{\ displaystyle \ cup _ {\, i \ in I} B_ {i} = \ Omega}∪io∈ioBio⊃A.{\ displaystyle \ cup _ {\, i \ in I} B_ {i} \ supset A.}Bio{\ displaystyle B_ {i}}

.

Variante

Teorema  -  Si consideri uno spazio di probabilità e gli eventi A . Se è una partizione (finita o numerabile) dell'evento B , (Ω,A,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}(Bio)io∈io{\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ in I}}

P(A|B)=∑io∈ioP(A|Bio)P(Bio|B).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B) = \ sum _ {i \ in I} \ mathbb {P} (A | B_ {i}) \ mathbb {P} (B_ {i} | B). } Dimostrazione P(A∩B)=∑io∈ioP(A∩Bio)=∑io∈ioP(A|Bio)P(Bio)=∑io∈ioP(A|Bio)P(Bio|B)P(B),{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} (A \ cap B) & = \ sum _ {i \ in I} \ mathbb {P} (A \ cap B_ {i}) \\ & = \ sum _ {i \ in I} \ mathbb {P} (A | B_ {i}) \ mathbb {P} (B_ {i}) \\ & = \ sum _ {i \ in I} \ mathbb {P} (A | B_ {i}) \ mathbb {P} (B_ {i} | B) \ mathbb {P} (B), \ end {allineato}}}

perché CQFD Bio∩B=Bio.{\ displaystyle B_ {i} \ cap B = B_ {i}.}

Corollario  -  Se è una partizione (finita o numerabile) dell'evento B , e se non dipende da i , allora il valore comune delle probabilità condizionali è(Bio)io∈io{\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ in I}}P(A|Bio){\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}P(A|Bio){\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}P(A|B).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B).}

Dimostrazione

Indichiamo con x il valore comune delle probabilità condizionali Allora P(A|Bio).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}).}

P(A|B)=∑io∈ioP(A|Bio)P(Bio|B)=X ∑io∈ioP(Bio|B)=X.{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} (A | B) & = \ sum _ {i \ in I} \ mathbb {P} (A | B_ {i}) \ mathbb {P} (B_ {i} | B) \\ & = x \ \ sum _ {i \ in I} \ mathbb {P} (B_ {i} | B) \\ & = x. \ end {allineato}}}

CQFD

Questo corollario permette di ridurre il calcolo di al calcolo di a volte più facile, perché l'evento B i , essendo più piccolo dell'evento B , fornisce informazioni più precise, e quindi facilita la prognosi (prognosi = calcolo della probabilità condizionata). Il caso si presenta spesso quando si studiano due catene di Markov, una delle quali è l'immagine dell'altra. La prova della proprietà Markov per i processi Galton-Watson è solo un esempio tra i tanti. P(A|B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B)}P(A|Bio),{\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}),}

In particolare, il corollario è frequentemente utilizzato nel caso in cui B = Ω , e quindi consente di ridurre il calcolo di al calcolo diP(A){\ displaystyle \ mathbb {P} (A)}P(A|Bio).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}).}

Vedi anche

• Formula di probabilità composta

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