Funzione gamma incompleta
In matematica analisi , esistono diverse definizioni di incomplete gamma funzioni : per un complesso parametro una con strettamente positiva parte reale ,
γ(a,X)=∫0Xta-1e-tdt,Γ(a,X)=∫X∞ta-1e-tdt=Γ(a)-γ(a,X),P(a,X)=γ(a,X)Γ(a)=1Γ(a)∫0Xe-tta-1dt,γ∗(a,X)=X-aP(a,X)=X-aΓ(a)γ(a,X).{\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma (a, x) & = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} {\ rm {e}} ^ {- t} {\ rm {d}} t, \\\ Gamma (a, x) & = \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {a-1} {\ rm {e}} ^ {- t} {\ rm {d}} t = \ Gamma (a) - \ gamma (a, x), \\ P (a, x) & = {\ frac {\ gamma (a, x)} {\ Gamma (a)}} = {\ frac {1} {\ Gamma (a)}} \ int _ {0} ^ {x} {\ rm {e}} ^ {- t} t ^ {a-1} {\ rm {d} } t, \\\ gamma ^ {*} (a, x) & = x ^ {- a} P (a, x) = {\ frac {x ^ {- a}} {\ Gamma (a)}} \ gamma (a, x). \ end {allineato}}}
Derivati
La derivata della funzione gamma incompleta Γ ( a , x ) rispetto a x è l'opposto dell'integrando della sua definizione integrale:
∂Γ(a,X)∂X=-Xa-1e-X.{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Gamma (a, x)} {\ partial x}} = - x ^ {a-1} {\ rm {e}} ^ {- x}.}
La derivata rispetto al parametro a è data da
∂Γ(a,X)∂a=ln(X)Γ(a,X)+X T(3,a,X){\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Gamma (a, x)} {\ partial a}} = \ ln (x) \ Gamma (a, x) + x ~ T (3, a, x)}
e la seconda derivata di
∂2Γ(a,X)∂a2=ln2(X)Γ(a,X)+2X (ln(X) T(3,a,X)+T(4,a,X)),{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ Gamma (a, x)} {\ partial a ^ {2}}} = \ ln ^ {2} (x) \ Gamma (a, x) + 2x ~ (\ ln (x) ~ T (3, a, x) + T (4, a, x)),}
dove la funzione T ( m , a , x ) è un caso speciale della funzione G di Meijer (en)
T(m,a,z)=Gm-1,m m, 0(X|0,0,...0-1,-1,...,a-1,-1).{\ displaystyle T (m, a, z) = G_ {m-1, m} ^ {~ m, ~ 0} \ left (x \ left | {\ begin {array} {c} 0,0, \ ldots 0 \\ - 1, -1, \ ldots, a-1, -1 \ end {array}} \ right. \ Right).}
Questo caso particolare ha proprietà interne di chiusura ad esso specifiche perché permette di esprimere tutte le derivate successive. Generalmente,
∂mΓ(a,X)∂am=lnm(X)Γ(a,X)+mX ∑io=0m-1Piom-1lnm-io-1(X) T(3+io,a,X){\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {m} \ Gamma (a, x)} {\ partial a ^ {m}}} = \ ln ^ {m} (x) \ Gamma (a, x) + mx ~ \ sum _ {i = 0} ^ {m-1} P_ {i} ^ {m-1} \ ln ^ {mi-1} (x) ~ T (3 + i, a, x)}
dove P indica il fattoriale decrescente :
Pjio=io!(io-j)!.{\ displaystyle P_ {j} ^ {i} = {\ frac {i!} {(ij)!}}.}
Tutti questi derivati possono essere prodotti da
∂T(m,a,X)∂a=ln(X) T(m,a,X)+(m-1)T(m+1,a,X){\ displaystyle {\ frac {\ partial T (m, a, x)} {\ partial a}} = \ ln (x) ~ T (m, a, x) + (m-1) T (m + 1 , ascia)}
e
∂T(m,a,X)∂X=-1X(T(m-1,a,X)+T(m,a,X)).{\ displaystyle {\ frac {\ partial T (m, a, x)} {\ partial x}} = - {\ frac {1} {x}} (T (m-1, a, x) + T ( m, a, x)).}
Questa funzione T ( m , a , x ) può essere calcolata dalla sua rappresentazione seriale, valida per | z | <1 :
T(m,a,z)=-(-1)m-1(m-2)!dm-2dtm-2[Γ(a-t)zt-1]|t=0+∑io=0∞(-1)ioza-1+ioio!(-a-io)m-1{\ displaystyle T (m, a, z) = - {\ frac {(-1) ^ {m-1}} {(m-2)!}} \ sinistra. {\ frac {{\ rm {d} } ^ {m-2}} {{\ rm {d}} t ^ {m-2}}} \ sinistra [\ Gamma (a) z ^ {t-1} \ destra] \ destra | _ {t = 0} + \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {i} z ^ {a-1 + i}} {i! (- ai) ^ {m -1 }}}}
ea condizione che il parametro a non sia un numero intero negativo o zero. In quest'ultimo caso, è necessario utilizzare un limite. Risultati per | z | ≥ 1 può essere ottenuto per continuazione analitica . Alcuni casi speciali di questa funzione possono essere semplificati. Per esempio,
T(2,a,X)=Γ(a,X)XetX T(3,1,X)=E1(X),{\ displaystyle T (2, a, x) = {\ frac {\ Gamma (a, x)} {x}} \ quad {\ rm {e}} \ quad x ~ T (3,1, x) = {\ rm {E}} _ {1} (x),}
dove E 1 è l' esponenziale integrale . Le derivate e la funzione T ( m , a , x ) forniscono le soluzioni esatte a un numero di integrali mediante la differenziazione ripetuta della definizione integrale della funzione gamma incompleta Γ ( a , x ) . Per esempio,
∫X∞ta-1lnm(t) e-tdt=∂m∂am∫X∞ta-1e-tdt=∂m∂amΓ(a,X).{\ displaystyle \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {a-1} \ ln ^ {m} (t) ~ {\ rm {e}} ^ {- t} {\ rm {d}} t = {\ frac {\ partial ^ {m}} {\ partial a ^ {m}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {a-1} {\ rm {e}} ^ { -t} {\ rm {d}} t = {\ frac {\ partial ^ {m}} {\ partial a ^ {m}}} \ Gamma (a, x).}
Questa formula può essere ulteriormente "gonfiata" o generalizzata a una classe considerevole di trasformate di Laplace o Mellin . Quando combinato con un sistema di computer algebra , lo sfruttamento di funzioni speciali fornisce un metodo potente per risolvere integrali definiti, specialmente quelli incontrati dalle applicazioni pratiche degli ingegneri.
Note e riferimenti
(it) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in
inglese intitolato
" Funzione gamma incompleta " ( vedere l'elenco degli autori ) .
-
(in) Milton Abramowitz e Irene Stegun , Manuale di funzioni matematiche con formule, grafici e tabelle matematiche [ dettagli della pubblicazione ] ( leggi online ).
-
(in) KO Geddes (in) , ML Glasser, RA Moore e TC Scott, "Valutazione di classi di integrali definiti che coinvolgono funzioni elementari tramite differenziazione di funzioni speciali", AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) , vol. 1, 1990, p. 149-165 , DOI : 10.1007 / BF01810298 .
Bibliografia
- (en) KO Geddes e TC Scott, "Ricette per classi di integrali definiti che coinvolgono esponenziali e logaritmi" , in E. Kaltofen e SM Watt, Computers and Mathematics , Springer-Verlag,1989( DOI 10.1007 / 978-1-4613-9647-5_24 ) , p. 192-201
- (en) Serge Winitzki, "Computing the incomplete Gamma function to arbitrary precision" , in Computational Science and Its Applications - ICCSA 2003 ( leggi in linea ) , p. 790-798
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">