Funzione di fase di Henyey-Greenstein
La funzione di fase di Henyey-Greenstein è una distribuzione angolare introdotta da Louis Henyey e Jesse Greenstein nel 1941 per rappresentare misurazioni utilizzando una funzione facilmente manipolabile.
Funzione
La funzione di fase che vogliamo rappresentare ha simmetria azimutale: è quindi funzione solo dell'angolo di colatitudine θ o del suo coseno. La funzione è espressa nella seguente forma
P(μ)=14π1-g2(1+g2-2gμ)32,μ=cos(θ){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mu) = {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ frac {1-g ^ {2}} {(1 + g ^ {2} -2g \ mu) ^ {\ frac {3} {2}}}} \ ,, \ qquad \ mu = \ cos {(\ theta)}}
È standardizzato
2π∫-11P(μ)dμ=1{\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} {\ mathcal {P}} (\ mu) \ mathrm {d} \ mu = 1}
Può rappresentare qualsiasi distribuzione regolare avente una dominante verso l'avanti (g> 0) o verso il retro (g <0). g = 0 corrisponde a una distribuzione isotropa. La frazione retrodiffusa è
2π∫-10P(μ)dμ=2π1-g2g[1+g1+g2-1],g≠0{\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {0} {\ mathcal {P}} (\ mu) \ mathrm {d} \ mu = 2 \ pi {\ frac {1-g} {2g} } \ left [{\ frac {1 + g} {\ sqrt {1 + g ^ {2}}}} - 1 \ right] \ ,, \ qquad g \ neq 0}![{\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {0} {\ mathcal {P}} (\ mu) \ mathrm {d} \ mu = 2 \ pi {\ frac {1-g} {2g} } \ left [{\ frac {1 + g} {\ sqrt {1 + g ^ {2}}}} - 1 \ right] \ ,, \ qquad g \ neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86dc4ede1d8014aac43241c039e212af781649c)
Può essere rappresentato da una serie di polinomi di Legendre P i
P(μ)=12π∑io=0∞2io+12gioPio(μ){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mu) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2i + 1} {2 }} g ^ {i} P_ {i} (\ mu)}
Possiamo calcolare la funzione di distribuzione
VS(μ)=2π∫-1μP(μ′)dμ′=1-g22g[11+g2-2gμ-11+g]{\ displaystyle {\ mathcal {C}} (\ mu) = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {\ mu} {\ mathcal {P}} (\ mu ') \ mathrm {d} \ mu' = {\ frac {1-g ^ {2}} {2g}} \ left [{\ frac {1} {\ sqrt {1 + g ^ {2} -2g \ mu}}} - {\ frac {1 } {1 + g}} \ right]}![{\ displaystyle {\ mathcal {C}} (\ mu) = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {\ mu} {\ mathcal {P}} (\ mu ') \ mathrm {d} \ mu' = {\ frac {1-g ^ {2}} {2g}} \ left [{\ frac {1} {\ sqrt {1 + g ^ {2} -2g \ mu}}} - {\ frac {1 } {1 + g}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ff0ee718963fcb9d0f0aa293839ebea5cbba6c)
e invertire questa espressione
μ=12g[1+g2-(1-g21+gS(μ))2],S(μ)=2VS(μ)-1{\ displaystyle \ mu = {\ frac {1} {2g}} \ left [1 + g ^ {2} - \ left ({\ frac {1-g ^ {2}} {1 + gs (\ mu) }} \ right) ^ {2} \ right] \ ,, \ qquad s (\ mu) = 2 {\ mathcal {C}} (\ mu) -1}![{\ displaystyle \ mu = {\ frac {1} {2g}} \ left [1 + g ^ {2} - \ left ({\ frac {1-g ^ {2}} {1 + gs (\ mu) }} \ right) ^ {2} \ right] \ ,, \ qquad s (\ mu) = 2 {\ mathcal {C}} (\ mu) -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e11a885125102ca2ce089e8447b96b604222d285)
Riferimenti
-
(in) LG Henyey e JL Greenstein, " Diffuse Radiation in the Galaxy " , The Astrophysical Journal , vol. 93,1941, p. 70-83 ( leggi in linea )
-
(in) J. Patrick Harrington, " The stage Henyey-Greenstein function " presso l' Università del Maryland
-
() Michael M. Modest , Radiative Heat Transfer , Academic Press ,2003( ISBN 0-12-503163-7 )
Vedi anche
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