Funzione derivata

In matematica si possono derivare alcuni funtori per ottenere nuovi funtori legati naturalmente da morfismi a quelli di partenza. Questa nozione astratta permette di unificare costruzioni concrete che intervengono in molti campi della matematica. Non è legato alla nozione di derivazione in analisi.

Motivazione

La nozione di funtore derivato è progettata per fornire un quadro generale per situazioni in cui una sequenza esatta corta dà origine a una sequenza esatta lunga.

Sia dato un funtore F : A → B tra le categorie abeliane A e B . Supponiamo che F sia esatto a sinistra , vale a dire che per una breve sequenza esatta di oggetti di categoria A :

0 \ in A \ in B \ in C \ in 0

allora la seguente sequenza è esatta:

0 \ a F (A) \ a F (B) \ a F (C)

È quindi naturale chiedersi se possiamo estendere questa sequenza in una sequenza esatta, e se possiamo farlo in modo canonico. I funtori derivati dal funtore F saranno allora, per ogni i ≥ 1, i funtori R i F : A → B , tali che sia esatta la seguente successione:

0 \ a F (A) \ a F (B) \ a F (C) \ a R ^ 1F (A) \ a R ^ 1F (B) \ a R ^ 1F (C) \ a R ^ 2F (A ) \ a \ cdots

F è quindi giusto-esatto se e solo se il funtore R 1 F è banale. I funtori derivati misurano quindi in un certo senso l'accuratezza della faglia F .

Costruzione e prime proprietà

Supponiamo che la categoria A abbia abbastanza oggetti iniettivi (en) - un'astrazione della nozione di modulo iniettivo - vale a dire che per ogni oggetto A in A esiste un monomorfismo A → I dove I è un oggetto iniettivo in A .

È un funtore esatto covariante sinistro F : A → B e un oggetto X in A . Per l'ipotesi su A si può costruire una risoluzione (in) iniettiva di X ( cioè una sequenza esatta lunga dove I i per i ≥ 0 sono iniezioni)

$0 \ a X \ a I ^ 0 \ a I ^ 1 \ a I ^ 2 \ a \ cdots$

Applicando il funtore F , si ottiene il complesso di cocatene

$0 \ in F (X) \ in F (I ^ 0) \ in F (I ^ 1) \ in F (I ^ 2) \ in \ cdots$

La coomologia al rango i - esimo è quindi definita come R i F ( X ). In particolare: R 0 F ( X ) = F ( X ). Per ottenere una dimostrazione completa occorre verificare i seguenti punti: il risultato non dipende, fino all'isomorfismo, dalla scelta della risoluzione iniettiva di X , e per ogni freccia X → Y esiste una freccia R i F ( X ) → R i F ( Y ) che fa sì che R i F verifichi le proprietà dei funtori.

La scelta della risoluzione banale, 0 → X → X → 0, se X è esso stesso iniettivo, mostra che R i F ( X ) = 0 per tutti i ≥ 1 ( cioè X è aciclico ).

varianti

Esiste una teoria duale per un funtore giusto-esatto G , questa volta assumendo che la categoria A abbia abbastanza oggetti proiettivi - un'astrazione della nozione di modulo proiettivo . Per un oggetto X di A , consideriamo una risoluzione proiettiva:

\ cdots \ a P_2 \ a P_1 \ a P_0 \ a X \ a 0

Gli oggetti P i sono proiettivo. I funtori derivati a sinistra L i G vengono quindi definiti ponendo per L i G ( X ) l'omologia all'i- esimo rango del complesso ottenuto applicando a tale risoluzione il funtore G. Di nuovo, L 0 G ( X ) = G ( X ). La sequenza esatta lunga ottenuta da una sequenza esatta corta:

0 \ in A \ in B \ in C \ in 0

è scritto qui:

\ cdots \ a L_2G (C) \ a L_1G (A) \ a L_1G (B) \ a L_1G (C) \ a G (A) \ a G (B) \ a G (C) \ a 0

L'analoga proprietà di cancellazione si ottiene questa volta sugli oggetti proiettivi.

Possiamo anche partire da un funtore controvariante F , ei funtori derivati a destra sono allora essi stessi controvarianti, e sono definiti da risoluzioni proiettive. La breve sequenza esatta

0 \ in A \ in B \ in C \ in 0

si trasforma in questo caso in:

0 \ a F (C) \ a F (B) \ a F (A) \ a R ^ 1F (C) \ a R ^ 1F (B) \ a R ^ 1F (A) \ a R ^ 2F (C ) \ a \ cdots

Applicazioni

Coomologia delle travi . Sia X uno spazio topologico , allora la categoria dei fasci di gruppi abeliani su X è una categoria abeliana contenente un numero sufficiente di oggetti iniettivi (questo risultato è dovuto ad Alexandre Grothendieck ). Associando a ciascuno di tali fasci L il gruppo L ( X ) delle sue sezioni globali, si ottiene un funtore sinistro esatto, i cui funtori derivati destri sono esattamente i funtori di coomologia dei fasci , solitamente indicato con H i ( X , L ). Più in generale, se ( X , O X ) è uno spazio anellato , allora la categoria dei fasci di O X -moduli è una categoria contenente un numero sufficiente di oggetti iniettivi, e la coomologia dei fasci è nuovamente costruita come la sequenza di funtori derivati del funtore delle sezioni globali.
L' étale è un'altra teoria della coomologia per i fasci di moduli su un diagramma .
Funzionario est . Sia R un anello , allora la categoria di tutti i moduli R a sinistra è una categoria abeliana contenente un numero sufficiente di oggetti iniettivi. Se A è un modulo R invariante a sinistra, allora il funtore Hom ( A , -) è esatto a sinistra e i suoi funtori derivati a destra sono i funtori Ext R i ( A , B ).
Funzione Tor . Anche la categoria dei moduli R a sinistra contiene un numero sufficiente di oggetti proiettivi. Se A è un R -modulo sinistro invariante, allora il prodotto tensoriale per A è un funtore covariante destro esatto sulla categoria degli R -moduli sinistrorsi; i suoi funtori derivati da sinistra sono i funtori Tor R i ( A , B ).
Coomologia dei gruppi . Sia G un gruppo . Un G -modulo M è un gruppo abeliano M dotato di un'azione di gruppo di G su M da automorfismi. Equivalentemente M è dotato di una struttura a modulo sull'anello di gruppo Z [G]. I moduli G costituiscono una categoria abeliana contenente un numero sufficiente di oggetti iniettivi. Sia M G gli elementi del sottogruppo di M fissati da G . Definiamo quindi un funtore esatto a sinistra, i cui funtori derivati a destra sono i funtori di coomologia di gruppo, indicato con H i ( G , M ).

Generalizzazione

Un approccio più moderno e generale utilizza il linguaggio delle categorie derivate .