Stima (geostatistica)

In geostatistica , la stima è la previsione da una variabile regionalizzata per compensare un divario di informazioni.

Stima globale

Una stima globale consiste nel proporre una formula a priori dello stimatore (generalmente media delle misure) e della sua varianza.

La varianza della stima è espressa da:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} & = {\ frac {1} {[v] ^ {2}}} \ int _ {v} \ int _ {v} C \ sinistra (xy \ destra) \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y + {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ sum _ {i} \ sum _ { j} C \ sinistra (x_ {i} -x_ {j} \ destra) - {\ frac {2} {N [v]}} \ int _ {v} \ sum _ {i} C \ sinistra (x_ { i} -y \ right) \ mathrm {d} y \\\ & = {\ bar {C}} \ left (v, v \ right) + {\ bar {C}} \ left (v ', v' \ right) -2 {\ bar {C}} \ left (v, v '\ right) \ end {allineato}}}$

Nei seguenti casi, assumiamo la geometria nota (nota $V$ ). Quando ciò non è garantito, possono comparire effetti collaterali. Potrebbe quindi essere necessario lavorare nella geostatistica transitiva .

Campionamento casuale puro

Se i campioni sono disposti in modo casuale, indipendentemente l'uno dall'altro e in modo uniforme nel campo $V$ da stimare, il problema è stimare con la media . ${\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {V} = {\ frac {1} {V}} \ int _ {V} Z (x) \ mathrm {d} x}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i} Z (x_ {i})}$

La varianza della stima viene scritta utilizzando gli errori parziali $Z (X i ) - Z V$ nella forma: ${\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {Var} \ left [\ sum _ {i} \ left (Z \ sinistra (X_ {i} \ destra) -Z_ {V} \ destra) \ destra]}$

Sotto l'ipotesi stazionaria o sotto l'assunzione intrinseca senza deriva, la varianza della stima è scritta:

${\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} = {\ frac {1} {N}} \ sigma ^ {2} \ left (o | V \ right)}$

Dimostrazione

Sotto l'ipotesi stazionaria o sotto l'assunzione intrinseca senza deriva, la varianza della stima è scritta:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} & = \ mathbf {Var} \ left [{\ frac {1} {N}} \ sum _ {i } \ left (Z \ left (X_ {i} \ right) -Z_ {V} \ right) \ right] & (1) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {Var} \ left [\ sum _ {i} \ left (Z \ left (X_ {i} \ right) -Z_ {V} \ right) \ right] & (2) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {E} \ left [\ left (\ sum _ {i} Z \ left (X_ {i} \ right) -Z_ {V} \ right) ^ {2 } \ right] & (3) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {E} \ left [\ mathbf {E} \ left [\ left (\ sum _ { i} Z \ sinistra (X_ {i} \ destra) -Z_ {V} \ destra) ^ {2} \ destra] | Z \ destra] & (4) \\\ {\ sigma _ {\ mathrm {E} }} ^ {2} \ left (\ bullet | Z = z \ right) & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ mathbf {E} \ left [\ left (\ sum _ {i } z \ left (X_ {i} \ right) -z_ {V} \ right) ^ {2} \ right] & (5) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ sum _ {i} \ mathbf {E} \ left [\ left (z \ left (X_ {i} \ right) -z_ {V} \ right) ^ {2} \ right] & (6) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ sum _ {i} {\ frac {1} {V}} \ int _ {v} \ left (z \ left (x \ right) - z_ {V} \ right) ^ {2} \ mathrm {d} x & (7) \\\ & = {\ frac {1} {N ^ {2}}} \ sum _ {i} s ^ {2 } (o | V) & (8) \\\ & = {\ frac {1} {N}} s ^ {2} \ left (o | V \ right) \\\ {\ sigma _ {\ mathrm { E}}} ^ {2} & = {\ frac {1} {N}} \ s igma ^ {2} \ sinistra (o | V \ destra) & (9) \ end {allineato}}}$

per definizione della varianza della stima.
gli $Z (X i ) - Z V$ sono gli errori parziali.
ipotesi stazionaria o ipotesi intrinseca senza deriva: gli errori parziali hanno aspettativa nulla.
per aspettativa condizionale.
con realizzazione fissa della funzione casuale (stiamo lavorando su una varianza condizionale).
Gli $X i$ sono indipendenti; i termini incrociati sono covarianze di variabili casuali indipendenti, quindi zero.
La legge di $X i$ in $V$ è uniforme.
per definizione di varianza statistica.
déconditionnant in espressione rispetto a $Z$ .

Campionamento casuale stratificato

È una partizione $v i$ , volumi identici $V$ , dominio stima $V$ . Per ogni sottodominio viene preso, in modo indipendente, un campione univoco. La varianza della stima è quindi: ${\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {E}}} ^ {2} = {\ frac {1} {N}} \ sigma ^ {2} \ left (0 | v \ right)}$

Questa varianza della stima è inferiore a quella del caso precedente.

Maglia regolare con impianto preferenziale

È una partizione $v i$ , volumi identici $V$ , dominio stima $V$ . Per ogni sottodominio, viene prelevato un campione al suo centro. La varianza della stima appare come la somma di tre componenti:

termine di riga: varianza dell'errore commesso nella stima di un volume elementare dal suo campione centrale;
termine della sezione: varianza dell'errore commesso nella stima di una pianta dalla media ponderata delle linee in essa contenute;
termine slice: varianza dell'errore commesso nella stima del campo dalla media ponderata delle sue sezioni.

La validità di questo principio di composizione non è forzata.

Una regola empirica è che uno stimatore sarà tanto meglio, se la funzione casuale molto strutturata, che le misure sono posizionate regolarmente, e se la funzione casuale non è strutturata, che saranno numerose.

Stima locale

Una stima locale costruisce localmente uno stimatore dai dati disponibili. Nella geostatistica lineare , la quantità da stimare sarà un funzionale lineare della variabile regionalizzata ; allo stesso modo, lo stimatore sarà una combinazione lineare dei dati e l'errore di stima un funzionale lineare sulla variabile regionalizzata. I pesi della combinazione lineare che forma lo stimatore sono dati minimizzando la varianza dell'errore. Questa stima locale si chiama kriging .