Aspettativa condizionale

Nella teoria della probabilità , l' aspettativa condizionale di una variabile casuale reale è, a seconda del caso, un numero o una nuova variabile casuale.

L'aspettativa di una variabile casuale condizionata da un evento B è, intuitivamente, la media che otteniamo se ripetiamo un gran numero di volte l'esperimento legato alla variabile casuale e conserviamo solo i casi in cui si verifica l'evento B. L'aspettativa di X condizionata da B è nota . Questo tipo di aspettativa condizionata si incontra, ad esempio, nel calcolo dell'aspettativa di vita dove l'aspettativa di vita alla nascita è diversa da quella ottenuta se si ha già compiuto i 60 anni. E[X|B]{\ displaystyle \ mathbb {E} [X | B]}

Se Y è una variabile casuale discreta , possiamo definire l' aspettativa di X subordinata Y . Annota se stessa . Si tratta di una nuova variabile casuale definito pari al dove è funzione quasi ovunque definita da: . E[X|Y]{\ displaystyle \ mathbb {E} [X | Y]}φ(Y){\ displaystyle \ varphi (Y)}φ{\ displaystyle \ varphi}φ(y)=E[X|{Y=y}]{\ displaystyle \ varphi (y) = \ mathbb {E} [X | \ {Y = y \}]}

Tuttavia, l'approccio implementato nel caso discreto non è facilmente generalizzabile nel caso in cui la variabile è condizionata da una variabile casuale non specificata o da una sotto-tribù. C'è quindi una definizione più formale della variabile casuale o . E[X|Y]{\ displaystyle \ mathbb {E} [X | Y]}E[X|G]{\ displaystyle \ mathbb {E} [X | {\ mathcal {G}}]}

L'aspettativa condizionale di X dato Y è la funzione di Y che fornisce la migliore approssimazione di X quando Y è noto. L'aspettativa condizionata è un concetto importante di probabilità, particolarmente utilizzato in campi come lo studio delle martingale e il calcolo stocastico .

Speranza condizionata da un evento

Sia B un evento di probabilità diversa da zero, sappiamo come definire la probabilità condizionata o . Per ogni evento A  : P(.|B){\ displaystyle \ mathbb {P} (. | B)}PB{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {B}}P(A|B)=P(A∩B)P(B).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B) = {\ frac {\ mathbb {P} (A \ cap B)} {\ mathbb {P} (B)}}.}

Se X è una variabile casuale discreta con aspettativa finita, definiamo l'aspettativa di X dato B , denotata da: E[X|B]{\ displaystyle \ mathbb {E} [X | B]}E[X|B]=∑XioXioPB(X=Xio)=1P(B)∑XioXioP({X=Xio}∩B).{\ displaystyle \ mathbb {E} [X | B] = \ sum _ {x_ {i}} x_ {i} \ mathbb {P} _ {B} (X = x_ {i}) = {\ frac {1 } {\ mathbb {P} (B)}} \ sum _ {x_ {i}} x_ {i} \ mathbb {P} (\ {X = x_ {i} \} \ cap B).}

Se X è una variabile casuale continua, di aspettativa finita e di densità f , l'aspettativa di X dato B è definita da E[X|B]=1P(B)∫X(B)Xf(X)dX.{\ displaystyle \ mathbb {E} [X | B] = {\ frac {1} {\ mathbb {P} (B)}} \ int _ {X (B)} xf (x) dx.}

Più in generale, se X è una variabile casuale avente un'aspettativa, l'aspettativa di X condizionata da B lo èE[X|B]=1P(B)∫BXdP=1P(B)E[X.1B],{\ displaystyle \ mathbb {E} [X | B] = {\ frac {1} {\ mathbb {P} (B)}} \ int _ {B} Xd \ mathbb {P} = {\ frac {1} {\ mathbb {P} (B)}} \ mathbb {E} [X.1_ {B}],} dove è la funzione indicatore di B che è zero tranne su B dove è costantemente uguale a 1. 1B{\ displaystyle 1_ {B}}

Poiché esiste una formula per le probabilità totali , esiste una formula per le aspettative totali che è espressa come segue: se ( B i ) è una partizione dell'universo composta da eventi di probabilità diversa da zero, allora: E[X]=∑ioP(Bio)E[X|Bio].{\ displaystyle E [X] = \ sum _ {i} \ mathbb {P} (B_ {i}) \ mathbb {E} [X | B_ {i}].}

Aspettativa condizionata da una variabile

Custodia discreta

Sia X una variabile casuale reale la cui aspettativa è definita e Y una variabile casuale discreta , per ogni y i tale che l'evento { Y = y i } sia di probabilità diversa da zero, possiamo definire E[X|Y=yio]=1P(Y=yio)E[X.1{Y=yio}]{\ displaystyle \ mathbb {E} [X | Y = y_ {i}] = {\ frac {1} {\ mathbb {P} (Y = y_ {i})}} \ mathbb {E} [X.1_ {\ {Y = y_ {i} \}}]} Definiamo quindi, quasi ovunque , una funzione chiamata regressione e una variabile casuale chiamata aspettativa di X condizionata da Y e annotata . φ(y)=E[X|Y=y]{\ displaystyle \ varphi (y) = \ mathbb {E} [X | Y = y]}φ(Y){\ displaystyle \ varphi (Y)}E[X|Y]{\ displaystyle \ mathbb {E} [X | Y]}

La formula totale aspettativa viene poi scritto: E[X]=∑ioφ(yio)P(Y=yio)=E[φ(Y)]=E[E[X|Y]]{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = \ sum _ {i} \ varphi (y_ {i}) \ mathbb {P} (Y = y_ {i}) = \ mathbb {E} [\ varphi (Y )] = \ mathbb {E} [\ mathbb {E} [X | Y]]} L'interesse di questa formula sta nel fatto che non è più necessario conoscere la legge di X per calcolarne l'aspettativa e che le leggi di X condizionate da Y sono sufficienti.

La formula del totale aspettativa generalizza a qualsiasi prodotto di X da una funzione di Y . Per ogni variabile casuale f ( Y ), dalla proprietà , possiamo dedurre, impostando , le uguaglianze: E[Xf(Y)|Y]=f(Y)E[X|Y]{\ Displaystyle \ mathbb {E} [Xf (Y) | Y] = f (Y) \ mathbb {E} [X | Y]}Z=E[X|Y]{\ displaystyle Z = \ mathbb {E} [X | Y]}E[Xf(Y)]=E[Zf(Y)]{\ displaystyle \ mathbb {E} [Xf (Y)] = E [Zf (Y)]} e E[X1A]=E[Z1A]{\ displaystyle \ mathbb {E} [X1_ {A}] = E [Z1_ {A}]} per tutti gli A della tribù σ (Y). Sono queste ultime proprietà che ispirano la definizione caratteristica dell'aspettativa di X condizionata da una variabile casuale o da una tribù nel caso generale .

Caso assolutamente continuo

Se X e Y sono due variabili casuali assolutamente continue con densità congiunta f X, Y e densità marginali f X e f Y , possiamo definire la densità condizionale di X condizionata da { Y = y }, f X / Y (., Y ) per ogni y tale che f Y ( y ) è diverso da zero, per: fX|Y(X|y)=fX,Y(X,y)fY(y).{\ displaystyle f_ {X | Y} (x | y) = {\ frac {f_ {X, Y} (x, y)} {f_ {Y} (y)}}.} Nel caso in cui f Y ( y ) è zero, possiamo prendere una densità arbitraria per f X / Y (., Y ).

Chiamiamo l'aspettativa condizionale di X che conosce { Y = y } il valore: E[X|Y=y]=∫RXfX|Y(X|y)dX=φ(y).{\ Displaystyle \ mathbb {E} [X | Y = y] = \ int _ {\ mathbb {R}} xf_ {X | Y} (x | y) \ mathrm {d} x = \ varphi (y). } Chiamiamo l'aspettativa di X condizionata da Y la variabile casuale . φ(Y){\ displaystyle \ varphi (Y)}

C'è anche una formula per l'aspettativa totale (o teorema dell'aspettativa matematica condizionale): E[X]=E[E[X|Y]].{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = \ mathbb {E} [\ mathbb {E} [X | Y]].}

Definizione generale

Ci poniamo nel caso generale di uno spazio di probabilità . Sia una sotto-tribù e sia X una variabile casuale integrabile . Allora esiste una variabile casuale Z , - misurabile e integrabile, tale che, per ogni variabile casuale limitata U e - misurabile ,  (Ω,F,P){\ displaystyle \ (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})} G⊂F, {\ displaystyle \ {\ mathcal {G}} \ subset {\ mathcal {F}}, \}  G{\ displaystyle \ {\ mathcal {G}}} G{\ displaystyle \ {\ mathcal {G}}}

E[XU] = E[ZU].{\ displaystyle \ mathbb {E} [XU] \ = \ \ mathbb {E} [ZU].}

Quindi annotiamo

Z = E[X|G].{\ displaystyle Z \ = \ \ mathbb {E} [X | {\ mathcal {G}}].}

e chiamiamo aspettativa di X condizionatamente , o X conoscendo , questa variabile casuale (non è una reale). Questa notazione è ben definita perché se un'altra variabile casuale Y soddisfa anche questa proprietà, allora Y = Z quasi certamente. G{\ displaystyle {\ mathcal {G}}}G{\ displaystyle {\ mathcal {G}}}

Casi speciali:

Questa definizione include diverse definizioni fornite in modi più immediati.

• Possiamo definire la probabilità condizionata di un evento A da:

P(A|G)=E[1A|G].{\ displaystyle \ mathbb {P} (A | {\ mathcal {G}}) = \ mathbb {E} \ left [1_ {A} | {\ mathcal {G}} \ right].} È una variabile casuale e non reale.

• Possiamo anche definire l'aspettativa condizionatamente su una variabile casuale, attraverso la tribù generata da questa variabile casuale:

E[X|Y] = E[X|σ(Y)].{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ sinistra [X | Y \ destra] \ = \ \ mathbb {E} \ sinistra [X | \ sigma (Y) \ destra].} In questo caso, esiste una funzione misurabile tale che, quasi sicuramente ,φ:R→R{\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}E[X|Y]=φ(Y).{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ sinistra [X | Y \ destra] = \ varphi (Y).}

• Se A è un evento, per analogia con la relazione definiamo la probabilità condizionata di A utilizzando la relazione:P(A)=E(1A),{\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ mathbb {E} (1_ {A}),}

P(A|Y)=E[1A|Y].{\ displaystyle \ mathbb {P} (A | Y) = \ mathbb {E} [1_ {A} | Y].} È una variabile casuale e non reale.

Interpretazione

Nel caso di variabili casuali al quadrato integrabili, possiamo interpretare l'aspettativa condizionale di una variabile casuale X come la proiezione ortogonale di X sullo spazio vettoriale delle variabili casuali misurabili, e, quindi, come la migliore approssimazione che può essere data alla variabile X utilizzando una variabile casuale misurabile. Infatti, l'aspettativa condizionale ha la seguente proprietà: per ogni variabile casuale Y integrabile e misurabile,  G {\ displaystyle \ {\ mathcal {G}} \} G {\ displaystyle \ {\ mathcal {G}} \} G {\ displaystyle \ {\ mathcal {G}} \}

E[(X-Y)2] ≥ E[(X-E[X|G])2].{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left [(XY) ^ {2} \ right] \ \ geq \ \ mathbb {E} \ left [\ left (X- \ mathbb {E} \ left [X | {\ mathcal {G}} \ right] \ right) ^ {2} \ right].}

Cioè, tra le variabili casuali integrabili- misurabili Y , la più vicina a X (per la distanza indotta dal prodotto scalare ) è G{\ displaystyle \ {\ mathcal {G}} \,} (X,Y)↦E[XY] {\ displaystyle \ (X, Y) \ mapsto \ mathbb {E} \ sinistra [X \, Y \ destra] \} Y0=E[X|G]. {\ displaystyle \ Y_ {0} = \ mathbb {E} \ left [X | {\ mathcal {G}} \ right]. \}

Per quanto riguarda le applicazioni, l'aspettativa condizionale può quindi essere interpretata, ad esempio, come la migliore previsione possibile della variabile casuale X , in base alle informazioni disponibili in un dato momento, informazioni codificate dalla tribù o ancora. Come la migliore ricostruzione di il segnale originale X , dopo la trasmissione, in funzione della rumorosa distorsione ottenuta in ricezione.  G, {\ displaystyle \ {\ mathcal {G}}, \}

In questo senso, si tratta dell'idea che possiamo formare il processo grazie alle informazioni , non in contrasto con il caso in cui non sappiamo nulla di questo processo (zero informazioni), ma in relazione al processo. Caso in cui lo sapremmo quest'ultimo perfettamente (informazioni infinite). L'informazione condizionale quindi corrisponde effettivamente a una perdita di informazioni! X{\ displaystyle X}G{\ displaystyle {\ mathcal {G}}}

Proprietà

L'aspettativa condizionale ha le seguenti proprietà

• L'aspettativa condizionale è lineare  :

E[aX+bY|G] = aE[X|G]+bE[Y|G]{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left [aX + bY | {\ mathcal {G}} \ right] \ = \ a \ mathbb {E} \ left [X | {\ mathcal {G}} \ right] + b \ mathbb {E} \ sinistra [Y | {\ mathcal {G}} \ destra]}

• La sua speranza vale:

E[E[X|G]] = E[X]{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ mathbb {E} \ left [X | {\ mathcal {G}} \ right] \ right] \ = \ \ mathbb {E} \ left [X \ right]}

• Iterazione  : if H⊂G,{\ displaystyle \ {\ mathcal {H}} \ subset {\ mathcal {G}},}

E[E[X|G]|H]=E[X|H]{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ mathbb {E} \ left [X | {\ mathcal {G}} \ right] | {\ mathcal {H}} \ right] = \ mathbb {E} \ left [X | {\ mathcal {H}} \ right]}

• Monotonia: se allora X≤Y,{\ displaystyle \ X \ leq Y,}

E[X|G] ≤ E[Y|G]{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left [X | {\ mathcal {G}} \ right] \ \ leq \ \ mathbb {E} \ left [Y | {\ mathcal {G}} \ right]}

• Convergenza monotona: se è una sequenza crescente di variabili aleatorie reali che converge quasi sicuramente a X , allora Xnon≥0 {\ displaystyle \ X_ {n} \ geq 0 \}

E[Xnon|G] ⟶non→∞ E[X|G].{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [X_ {n} | {\ mathcal {G}} \ right] \ {\ underset {n \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \ \ mathbb {E} \ left [X | {\ mathcal {G}} \ right].} Più in generale, il teorema di convergenza dominata e il lemma di Fatou si applicano naturalmente alle aspettative condizionali.

• Indipendenza: se X è indipendente da allora G,{\ displaystyle \ {\ mathcal {G}},}

E[X|G] = E[X]{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left [X | {\ mathcal {G}} \ right] \ = \ \ mathbb {E} \ left [X \ right]}

• Se Z è misurabile, allora G{\ displaystyle \ {\ mathcal {G}} \,}

E[XZ|G] = ZE[X|G]{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left [XZ | {\ mathcal {G}} \ right] \ = \ Z \ mathbb {E} \ left [X | {\ mathcal {G}} \ right]}

• Se X è misurabile, allora G{\ displaystyle \ {\ mathcal {G}} \,}

E[X|G] = X{\ displaystyle \ mathbb {E} \ sinistra [X | {\ mathcal {G}} \ destra] \ = \ X}

• Disuguaglianza di Jensen  : se è una funzione convessa ed è integrabile, allora ϕ {\ displaystyle \ \ phi \} ϕ(X) {\ displaystyle \ \ phi (X) \}

E[ϕ(X)|G] ≥ ϕ(E[X|G]]){\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ phi (X) | {\ mathcal {G}} \ right] \ \ geq \ \ phi \ left (\ mathbb {E} \ left [X | {\ mathcal { G}} \ right] \ right])}

Articoli Correlati

• Aspettativa
• Probabilità condizionale
• Martingala (calcolo stocastico)
• Teorema della varianza totale

Note e riferimenti

1. Xavier Chauvet, forma matematica , coll. Cimeli INSEEC, n ° 10, p. 30
2. Anne Philippe e Marie-Claude Viano, Corso sulla probabilità: modelli e applicazioni , p.4
3. Gilbert Saporta, Probabilità, analisi dei dati e statistiche , Edizioni TECHNIP 2011 p.72
4. Alain Yger, Jacques-Arthur Weil, Matematica applicata L3 , Pearson Education France, 2009, p.744
5. Dominique Foata Aimé Fuchs, Jacques Franchi probabilità di calcolo - 3 °  edizione , Dunod, 2012, pp.145-147

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