Errore di approssimazione

Nell'analisi numerica , una branca della matematica , l' errore di approssimazione di alcuni dati è la differenza tra un valore esatto e un certo valore approssimativo o approssimazione dello stesso. Potrebbe verificarsi un errore di approssimazione

quando la misurazione dei dati non è precisa (a causa degli strumenti);
o quando si utilizzano valori approssimativi invece di valori esatti (ad esempio, 3,14 invece di π).

Viene generalmente fatta una distinzione tra errore relativo ed errore assoluto . La stabilità numerica di un algoritmo, nell'analisi numerica, indica come l'errore viene propagato dall'algoritmo.

Definizione

Dato un valore e un valore approssimativo di , l' errore assoluto è per definizione il numero $a$ $b$ $a$

{\ displaystyle \ epsilon = | ab |}

e quando è diverso da zero, l' errore relativo è il numero $a$

{\ displaystyle \ eta = {\ frac {| ab |} {| a |}}}

dove le barre verticali indicano il valore assoluto .

Definiamo anche il numero di cifre precise come

{\ displaystyle N (b, a) = - \ log _ {10} \ eta = \ log _ {10} \ left | {\ frac {a} {ab}} \ right | ~.}

Questa quantità misura la precisione e fornisce una stima del numero di cifre significative che l'approssimazione b ha in comune con il valore esatto a . Tuttavia, questa stima può essere molto diversa dal numero di cifre coincidenti , quindi 1.000 ha cifre più precise di 0,990, quando entrambe vengono prese come approssimazioni di 0,999, perché l'errore relativo è di circa 0,001 per la prima, che è di tre cifre. nel senso della definizione precedente, mentre l'errore relativo nove volte maggiore della seconda è quasi una cifra precisa in meno.

Esempi

b = 1,234 come approssimazione di a = 1,2345.
b = 3,1415 come approssimazione di a = π ≈ 3,14159 ...

Vedi anche