Insieme algebrico

Nella geometria algebrica , un insieme algebrico è l'insieme di soluzioni di un sistema di equazioni polinomiali con diverse variabili. Questi sono i punti di una varietà algebrica affine o proiettiva . Servono come supporto intuitivo per la geometria algebrica.

Insiemi algebrici affini

In questa sezione si denoterà un campo algebricamente chiuso (ad esempio ℂ), un numero intero maggiore o uguale a uno. Consideriamo lo spazio affine di dimensione su , cioè l'insieme (senza una struttura algebrica). $K$ $non$ $non$ $K$ $k ^ n$

Definizione. Facciamo parte dell'anello dei polinomi , chiamiamo un insieme algebrico associato a S e denotiamo il seguente sottoinsieme : $S$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $Z (S)$ $k ^ n$

Z (S) = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in k ^ {n} \ mid \ forall f \ in S, \ f (x_ {1}, \ ldots, x_ { n}) = 0 \}

vale a dire il luogo di cancellazione comune a tutti gli elementi di . $S$

Esempi :

Nel piano affine , il luogo di cancellazione di un polinomio con due variabili diverse da zero è un insieme algebrico affine chiamato curva piana e il grado del polinomio è chiamato grado della curva. Le rette sono gli insiemi algebrici di grado 1, le coniche quelle di grado 2, le cubiche quelle di grado 3 e così via. $k ^ 2$
Nello spazio affine il luogo di cancellazione di un polinomio a tre variabili diverso da zero è un insieme algebrico affine che è una superficie algebrica . Proprio come per le curve, definiamo il grado di una superficie, essendo i piani di grado 1, le quadriche di grado 2 ecc. $k ^ {3}$
In uno spazio affine, qualsiasi insieme finito di punti è un insieme algebrico affine.

Osservazioni

Se è l' ideale di generato da S, allora . In particolare, come è Noetheriano , è generata da una parte finita . Ne consegue che . In altre parole, un insieme algebrico è sempre il luogo di cancellazione comune agli elementi di un ideale e anche il luogo di cancellazione comune a un numero finito di polinomi. $io$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $Z (I) = Z (S)$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $io$ $S '$ $Z (S) = Z (S ')$
Dato un insieme algebrico , possiamo tornare agli ideali di chiedere I (E) pari al set di polinomi Vanishing on E . L'ideale I (E) è quindi radiale . Ad esempio, per k = ℂ, il algebrico tutti zeri X ² viene ridotto al punto 0 e l'ideale I (X² = 0) è uguale al suo radicale, cioè l'ideale generato da X . Tuttavia l'ideale generato da polinomio x ²-radicale non è perché non contiene X . $E = Z (I) \ sottoinsieme k ^ {n}$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$
Gli elementi dell'anello quoziente vengono quindi identificati con le restrizioni a E delle mappe polinomiali da a k . Essi sono chiamati le funzioni regolari del set algebrica E . Secondo il lemma di normalizzazione di Noether , anche le funzioni regolari sono funzioni algebriche . $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / I (E)$ $k ^ n$
Poiché k è algebricamente chiuso, il teorema zero di Hilbert afferma che la funzione I è una biiezione tra gli insiemi algebrici di e gli ideali di radice di . Più precisamente, è il radicale di J . I punti di un insieme algebrico E corrispondono agli ideali massimi di . $k ^ n$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ $I (Z (J))$ $k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / I (E)$
Si dice che un insieme algebrico E sia irriducibile se I (E) è un ideale primo.

Proprietà :

$Z (\ {0 \}) = k ^ {n}$ ,
$Z (\ {1 \})$ è vuoto;
$Z (I) \ cup Z (J) = Z (I \ cap J)$ ;
L'intersezione di una famiglia di insiemi algebrici è uguale a , dove è l'ideale generato da , cioè la somma di . $Z (I _ {{\ lambda}})$ $Z (I)$ $io$ $\ cup _ {{\ lambda}} I _ {{\ lambda}}$ $I _ {{\ lambda}}$

Insiemi algebrici proiettivi

La geometria algebrica proiettiva è una struttura più comoda della geometria affine. La proiettività è una proprietà analoga alla compattezza topologica. Il teorema di Bézout è vero solo per le varietà proiettive.

Telaio. In questa parte denotano lo spazio proiettivo di dimensione n su k , cioè l'insieme , dove è la relazione di equivalenza (collinearita relazione) individuando due punti x ed y se e solo se x ed y sono sulla stessa linea vettoriale. Lo spazio proiettivo di dimensione n è quindi identificato con l'insieme di linee vettoriali di uno spazio k- vettoriale di dimensione n +1. Viene annotata la classe di un punto . La sono le coordinate omogenee del punto . ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $k ^ {{n + 1}} \ setminus \ {0 \} / R$ $R$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $(x_ {0}, \ ldots, x_ {n})$ $(x_ {0}: \ ldots: x_ {n})$ $x_ {i}$ $(x_ {0}: \ ldots: x_ {n})$

Definizione. Sia S un insieme di polinomi omogenei dell'anello . Chiamiamo un insieme algebrico (proiettivo) associato a S e denotiamo con il seguente sottoinsieme di : $k [X_ {0}, \ dots, X_ {n}]$ $Z _ {+} (S)$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$

Z _ {+} (S) = \ {(x_ {0}: \ ldots: x_ {n}) \ in {\ mathbb P} ^ {n} (k) \ mid \ forall f \ in S, \ f (x_ {0}, \ dots, x_ {n}) = 0 \}.

Si noti che la cancellazione del polinomio f in un punto dipende solo dalla classe di questo modulo della relazione perché f è omogenea. Il tutto è quindi ben definito . L'indice + viene utilizzato per distinguere gli zeri omogenei dagli zeri affini. $(x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) \ neq 0$ $(x_ {0}: \ ldots: x_ {n})$ $R$ $Z _ {+} (S)$

Se I è un ideale omogeneo di , c'è tutto associato con l'insieme di polinomi omogenei di I . $k [X_ {0}, \ dots, X_ {n}]$ $Z _ {+} (I)$ $Z _ {+}$

Esempio Sia un polinomio omogeneo a due variabili diverso da zero di grado d . L'insieme algebrico proiettivo del piano proiettivo è chiamato curva proiettiva del piano , di grado d . Il polinomio (dove è un intero naturale) definisce una curva proiettiva planare i cui punti sono le soluzioni omogenee di un'equazione di Fermat. $F (X_ {0}, X_ {1}, X_ {2})$ $Z _ {+} (F)$ $P ^ {2} (k)$ $X_ {0} ^ {n} + X_ {1} ^ {n} -X_ {2} ^ {n}$ $non$

Nota.

Se io è l' ideale (omogeneo) di generato da S , allora . Poiché I è generato da un numero finito di polinomi omogenei, un insieme algebrico proiettivo può sempre essere definito da un numero finito di polinomi omogenei. $k [X_ {0}, \ dots, X_ {n}]$ $Z _ {+} (I) = Z _ {+} (S)$
Come nel caso degli insiemi algebrici affini, esiste un teorema proiettivo zero di Hilbert che stabilisce una corrispondenza uno-a-uno tra insiemi algebrici proiettivi e ideali radiali omogenei distinti dall'ideale generato da . Un punto dello spazio proiettivo corrisponde a un ideale primo omogeneo, massimo tra quelli strettamente contenuti in . A un punto di coordinate omogenee associamo l'ideale generato da , per i e j variabili tra 0 e n . ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $(X_ {0}, \ punti, X_ {n})$ $X_ {0}, \ ldots, X_ {n}$ $(X_ {0}, \ punti, X_ {n})$ $(x_ {0}: \ dots: x_ {n})$ $x_ {i} X_ {j} -x_ {j} X_ {i}$

Proprietà :

$Z _ {+} (\ {0 \}) = {\ mathbb P} ^ {n} (k)$ ,
$Z _ {+} (\ {1 \})$ è vuoto;
$Z _ {+} (I) \ cup Z _ {+} (J) = Z _ {+} (I \ cap J)$ ;
L'intersezione di una famiglia di insiemi algebrici proiettivi è uguale a , dove è la somma degli ideali (è ancora omogenea). $Z _ {+} (I _ {{\ lambda}})$ $Z _ {+} (I)$ $io$ $I _ {{\ lambda}}$

Topologia Zariski

Lo spazio affine k n (risp. Proiettivo ) è dotato di una cosiddetta topologia Zariski. Le parti chiuse per questa topologia sono gli insiemi algebrici in k n (rispettivamente gli insiemi algebrici proiettivi in ). ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$

Esempio : la topologia Zariski della linea affine k è la topologia co-finita .

La topologia di Zariski su un insieme algebrico (risp. Insieme algebrico proiettivo) è per definizione la topologia indotta da quella dello spazio affine (risp. Proiettivo) che lo contiene. La topologia Zariski nel caso affine è analoga alla topologia Zariski nello spettro primo di un anello .

Le parti aperte notevoli dello spazio affine (risp. Proiettivo) sono le parti aperte principali (risp. ), Vale a dire il complemento di (risp. ). La restrizione di un principale aperto a un insieme algebrico è chiamata l'apertura principale dell'insieme algebrico. Le aperture principali costituiscono una base della topologia . $D (f)$ $D _ {+} (f)$ $Z (\ {f \})$ $Z _ {+} (\ {f \})$

Un sottoinsieme aperto di un insieme algebrico affine (risp. Proiettivo) è chiamato quasi-affine (risp. Quasi-proiettivo ).

Lo spazio affine è quasi proiettivo perché identificato con l'apertura di dall'applicazione . Controlliamo che questa mappa induca un omeomorfismo dello spazio affine sulla sua immagine. Ne consegue che qualsiasi insieme algebrico quasi affine è quasi proiettivo. $k ^ n$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k) \ setminus Z _ {+} (X_ {0})$ ${\ mathbb P} ^ {n} (k)$ $(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ a (1: x_ {1}: \ ldots: x_ {n})$

La topologia di Zariski è apparentemente piuttosto scarsa (poche aperture, due punti generalmente non sono separati da quartieri aperti disgiunti), ma è sufficiente per molti scopi.

Relazioni tra insiemi algebrici affini e insiemi algebrici proiettivi : Un insieme algebrico proiettivo Z è un'unione finita di aperture (per la sua topologia Zariski) che sono insiemi algebrici affini. Infatti, Z è definito dalla cancellazione di polinomi omogenei con n +1 variabili. Indichiamo l'insieme di tale che è diverso da zero. Quindi è aperto ; la copertina ; resta da vedere che è un insieme algebrico affine. Se , e se è l'insieme di polinomi quando i polinomi omogenei sono attraversati in , allora si può facilmente vedere che è l'insieme algebrico in . $Z_ {i}$ $(x_ {0}: ...: x_ {n}) \ in Z$ $x_ {i}$ $Z_ {i} = Z \ setminus (Z \ cap Z _ {+} (x_ {i}))$ $Z$ $Z_ {i}$ $Z$ $Z_ {i}$ $Z = Z _ {+} (S)$ $Sì}$ $F (x_ {0}, ..., x _ {{i-1}}, 1, x _ {{i + 1}}, ..., x_ {n})$ $F$ $S$ $Z_ {i}$ $Z (S_ {i})$ $k ^ n$

Caso di qualsiasi corpo di base

Se il campo base k non è chiuso algebricamente, un insieme algebrico su k è un insieme algebrico in una chiusura algebrica k di k , definito da polinomi con coefficienti in k . Ad esempio, l'insieme di coppie (a, b) ∊ ℚ 2 tale che a 2 + b 3 –1 = 0 è un insieme algebrico su ℚ. D'altra parte, la relazione a 2 + b 3 - √ 2 = 0 non definisce, com'è, un'algebrica impostata su ℚ.

Note e riferimenti

(in) "Affine algebraic set" in Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leggi in linea )

(it) Robin Hartshorne , Algebraic Geometry [ dettaglio delle edizioni ], cap. io
Daniel Perrin , Geometria algebrica. Un'introduzione [ dettaglio delle edizioni ]

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