Duopolio di Cournot

Il duopolio di Cournot è un modello economico utilizzato per descrivere una struttura industriale in cui le imprese competono sui loro volumi di produzione. Decidono contemporaneamente su questi volumi indipendentemente l'uno dall'altro. Il suo nome deriva da Antoine-Augustin Cournot (1801-1877), un matematico che lo teorizzò osservando il comportamento delle aziende all'interno di un duopolio di vendita di acqua sorgiva .

Questa teoria è condizionata dai seguenti presupposti:

C'è più di un'azienda e tutte le aziende producono un prodotto omogeneo , quindi non c'è differenziazione .
Le aziende non collaborano, non c'è collusione.
Le aziende hanno un potere di mercato , quindi sono il prezzo delle sarte ( Price maker ).
Il numero di aziende è fisso, quindi c'è una barriera all'ingresso .
Le aziende competono sulla quantità, non sul prezzo, e scelgono le loro quantità simultaneamente.
Le aziende sono razionali e cercano la massimizzazione del profitto .

Non appena allentiamo l'ipotesi della simultaneità della fissazione delle quantità, ci troviamo di fronte a un duopolio di Stackelberg, vale a dire che le imprese fissano successivamente le quantità offerte. Il primo sarà leader in quantità e il secondo follower.

Presentazione del modello

Il metodo dell'analisi del duopolio consiste nel trovare l' equilibrio di Nash del gioco in cui due imprese scelgono simultaneamente il loro livello di produzione.

Questo gioco è definito come segue:

Giocatori: le due aziende ( e ) $1$ $2$
Azioni: ogni impresa sceglie la quantità che produce ( e ) $q_ {1}$ $q_ {2}$
Pagamenti: profitti aziendali ${\ displaystyle i \ in \ {1,2 \}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {i} (q_ {1}, q_ {2}) = P (q_ {1} + q_ {2}) q_ {i} -C_ {i} (q_ {i})}$

Risoluzione nel caso lineare

La funzione di domanda è lineare:, dove è la quantità totale prodotta nel mercato. ${\ displaystyle P (Q) = a-bQ}$ ${\ displaystyle Q = q_ {1} + q_ {2}}$
La funzione di costo è lineare:, dove sono tutti positivi e per . ${\ displaystyle C_ {i} (q_ {i}) = c_ {i} q_ {i}}$ ${\ displaystyle (a, b, c_ {1}, c_ {2}) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {4}}$ ${\ displaystyle c_ {i} <a}$ ${\ displaystyle i = 1,2}$

${\ displaystyle (q_ {1} ^ {c}, q_ {2} ^ {c})}$ è un equilibrio di Cournot (o Cournot-Nash) se:

{\ displaystyle {\ begin {cases} q_ {1} ^ {c} & {\ text {is solution of}} {\ underset {q_ {1}} {\ max}} \ pi _ {1} (q_ { 1}, q_ {2} ^ {c}) \\ q_ {2} ^ {c} & {\ text {è la soluzione di}} {\ underset {q_ {1}} {\ max}} \ pi _ { 2} (q_ {1} ^ {c}, q_ {2}) \ end {cases}}}

È davvero un equilibrio di Nash del gioco definito sopra poiché ogni giocatore gioca la sua migliore risposta alla strategia di equilibrio dell'altro giocatore.

Per ottenere l'equilibrio, è necessario analizzare le migliori funzioni di risposta di ciascuna delle due imprese. Per una quantità prodotta dall'impresa , il profitto dell'impresa è $q_ {2}$ $2$ $1$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (q_ {1}, q_ {2}) = (ab (q_ {1} + q_ {2})) q_ {1} -c_ {1} q_ {1}}$

L'azienda sceglie la quantità in modo da massimizzare (l'azienda ovviamente non può avere un impatto su , quindi la considera un dato del suo problema). Questa quantità viene massimizzata quando la sua derivata svanisce: $1$ $q_ {1}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (q_ {1}, q_ {2})}$ $1$ $q_ {2}$ $q_ {2}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ pi _ {1} (q_ {1}, q_ {2})} {\ partial q_ {1}}} = a-bq_ {2} -2bq_ {1} -c_ {1} = 0}$

Che danno: ${\ displaystyle q_ {1} = R_ {1} (q_ {2}) = {\ frac {a-c_ {1}} {2b}} - {\ frac {1} {2}} q_ {2}}$

${\ displaystyle q_ {2} \ mapsto R_ {1} (q_ {2})}$ è chiamata la migliore funzione di risposta (o funzione di reazione) dell'impresa . Per qualsiasi quantità prodotta dal concorrente, indicare la quantità che massimizza il profitto dell'azienda . $1$ $q_ {2}$ ${\ displaystyle R_ {1} (q_ {2})}$ $1$

Per simmetria, la migliore funzione di risposta dell'impresa è: $2$ ${\ displaystyle q_ {2} = R_ {2} (q_ {1}) = {\ frac {a-c_ {2}} {2b}} - {\ frac {1} {2}} q_ {1}}$

Le migliori funzioni di risposta stanno diminuendo. Diciamo che le quantità sono sostituti strategici : più un'impresa produce, meno deve produrre la sua concorrenza.

Intuitivamente, se un'impresa produce di più, il prezzo al quale l'impresa concorrente può vendere diminuisce, a parità di condizioni, il margine si riduce e l'incentivo a produrre di meno.

Il grafico sopra, che mostra la domanda residua dell'azienda per due diversi valori di , illustra questo concetto. La domanda residua misura la domanda ricevuta individualmente da una data impresa dato un livello di produzione dell'altra impresa. Pertanto, la domanda (inversa) è una funzione di , mentre la domanda residua dell'impresa è una funzione di per un dato livello di produzione . Pertanto, nel caso in cui la domanda è lineare, la domanda residua è sempre una retta parallela alla curva di domanda inversa, e più aumenta, più la linea della domanda residua dell'impresa si sposta a sinistra. Ad esempio, quando l'azienda aumenta la sua produzione da (linea continua) a (linea tratteggiata), con , il prezzo di mercato in funzione della diminuzione da a . Il nuovo ricavo marginale viene quindi tradotto anche all'interno del grafico. Poiché il costo rimane invariato, la soluzione del problema di massimizzazione dato da viene quindi spostata a sinistra. Così . $1$ $q_ {2}$ ${\ displaystyle q_ {1} + q_ {2}}$ $1$ $q_ {1}$ $q_ {2}$ $q_ {2}$ $1$ $2$ ${\ displaystyle q '_ {2}}$ $q_ {2}$ ${\ displaystyle q_ {2}> q'2}$ $q_ {1}$ ${\ displaystyle P (q1 + q '_ {2})}$ ${\ displaystyle P (q_ {1} + q_ {2})}$ ${\ displaystyle R_ {m} = C_ {m}}$ ${\ displaystyle R_ {1} (q_ {2}) <R_ {1} (q '_ {2})}$

Poiché la funzione di domanda è lineare, la sua pendenza non dipende dalle quantità prodotte.

Il seguente sistema deve quindi essere risolto:

{\ displaystyle {\ begin {cases} q_ {1} ^ {c} = R_ {1} (q_ {2} ^ {c}) & (1) \\ q_ {2} ^ {c} = R_ {2 } (q_ {1} ^ {c}) & (2) \ end {case}}}

Sostituendo in , otteniamo: ${\ displaystyle q_ {2} ^ {c} = R_ {2} (q_ {1} ^ {c}) = {\ frac {a-c2} {2b}} - {\ frac {1} {2}} q_ {1} ^ {c}}$ $(1)$

{\ displaystyle {\ begin {align} q_ {1} ^ {c} & = {\ frac {a-c_ {1}} {2b}} - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {a-c_ {2}} {2b}} - {\ frac {1} {2}} q_ {1} ^ {c} \ right) \\\ iff {\ frac {3} {4}} q_ {1} ^ {c} & = {\ frac {2a-2c_ {1} -a + c_ {2}} {4b}} \\\ iff q_ {1} ^ {c} & = {\ frac {a -2c_ {1} + c_ {2}} {3b}} \ end {align}}}

Possiamo dedurre:

{\ displaystyle {\ begin {align} q_ {2} ^ {c} & = R_ {2} (q_ {1} ^ {c}) = {\ frac {a-c_ {2}} {2b}} - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {a-2c_ {1} + c_ {2}} {3b}} \ right) \\\ iff q_ {2} ^ {c} & = {\ frac {3a-3c_ {2} -a + 2c_ {1} -c_ {2}} {6b}} \\\ iff q_ {2} ^ {c} & = {\ frac {a-2c_ {2 } + c_ {1}} {3b}} \ end {align}}}

La quantità totale offerta sul mercato è: ${\ displaystyle Q ^ {c} = q_ {1} ^ {c} + q_ {2} ^ {c} = {\ frac {2a-c_ {1} -c_ {2}} {3b}}}$

Il prezzo corrispondente è: ${\ displaystyle p ^ {c} = a-bQ ^ {c} = {\ frac {a + c_ {1} + c_ {2}} {3}}}$

Infine, i calcoli vengono calcolati come segue: ${\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {c} = (p ^ {c} -c_ {1}) q_ {1} ^ {c} = {\ frac {a-2c_ {1} + c_ {2} } {3}} \ times {\ frac {a-2c_ {1} + c_ {2}} {3b}} = {\ frac {(a-2c_ {1} + c_ {2}) ^ {2}} {9b}}}$

Allo stesso modo, ${\ displaystyle \ pi _ {2} ^ {c} = (p ^ {c} -c_ {2}) q_ {2} ^ {c} = {\ frac {a-2c_ {2} + c_ {1} } {3}} \ times {\ frac {a-2c_ {2} + c_ {1}} {3b}} = {\ frac {(a-2c_ {2} + c_ {1}) ^ {2}} {9b}}}$

Si noti che , . ${\ displaystyle \ pi _ {i} ^ {c} = b (q_ {i} ^ {c}) ^ {2}}$ ${\ displaystyle i \ in \ {1,2 \}}$

Se le imprese sono simmetriche, allora , e: ${\ displaystyle c_ {1} = c_ {2} = c}$

{\ displaystyle q_ {1} ^ {c} = q_ {2} ^ {c} = q ^ {c} = {\ frac {ac} {3b}}; ~ Q ^ {c} = 2q ^ {c} = {\ frac {2 (ac)} {3b}}}

{\ displaystyle p ^ {c} = {\ frac {a + 2c} {3}}}

{\ displaystyle \ pi _ {1} = \ pi _ {2} = {\ frac {(ac) ^ {2}} {9b}}}

Estensione del modello alle imprese: Oligopolio di Cournot $non$

Caso di aziende identiche $non$

Risoluzione nel caso lineare

O imprese identiche (tutte hanno lo stesso costo marginale ). Sia la quantità prodotta da tutte le imprese diverse dall'impresa . Il problema dell'azienda può essere scritto: $non$ $vs$ ${\ displaystyle q _ {\ overline {i}}}$ $io$ $io$ ${\ displaystyle {\ underset {q_ {i}} {\ max}} \ pi _ {i} \ left ((q_ {k}) _ {k \ in [\! [1, n] \!]} \ destra) = (ab (q_ {i} + q _ {\ overline {i}}) - c) q_ {i}}$

Che danno ${\ displaystyle R_ {i} (q _ {\ overline {i}}) = {\ frac {ac} {2b}} - {\ frac {1} {2}} q _ {\ overline {i}} ( 3)}$

Si noti che la migliore funzione di risposta di un'impresa non dipende dalle quantità individuali di altre imprese, ma dalla quantità totale prodotta dai concorrenti . ${\ displaystyle q _ {\ overline {i}}}$

Un equilibrio di Nash riceve un insieme di quantità come: ${\ displaystyle ((q_ {k} ^ {c}) _ {k \ in [\! [1, n] \!]})}$ ${\ displaystyle \ forall k \ in [\! [1, n] \!], ~ q_ {k} ^ {c} = {\ frac {ac} {2b}} - {\ frac {1} {2} } \ sum _ {1 \ leq j \ leq n, ~ j \ neq k} q_ {j} ^ {c}}$

Poiché tutte le imprese sono simmetriche, devono produrre tutte la stessa quantità. Così . Sostituendo tutto con , otteniamo: ${\ displaystyle \ forall k \ in [\! [1, n] \!], ~ q_ {k} ^ {c} = q ^ {c}}$ ${\ displaystyle q_ {i} ^ {c}}$ ${\ displaystyle q ^ {c}}$ ${\ displaystyle q ^ {c} = {\ frac {ac} {2b}} - {\ frac {n-1} {2}} q ^ {c}}$

In tal modo, ${\ displaystyle q ^ {c} = {\ frac {ac} {b (n-1)}}}$

pertanto ${\ displaystyle Q ^ {c} = nq ^ {c} = {\ frac {n} {n + 1}} {\ frac {ac} {b}}}$ ,

e ${\ displaystyle p ^ {c} = a-bQ ^ {c} = {\ frac {a + nc} {n + 1}}}$ .

Infine, per tutte le aziende $io$ ${\ displaystyle \ pi _ {i} = \ pi = (p ^ {c} -c) q ^ {c} = {\ frac {1} {b}} \ left ({\ frac {ac} {n + 1}} \ right) ^ {2}}$

Confronto con concorrenza perfetta e monopolio

Nella competizione pura e perfetta , uno deve avere . L'unico prezzo di equilibrio possibile è quindi , che dà una quantità totale prodotta di . ${\ displaystyle p = C_ {m} = c}$ ${\ displaystyle p ^ {*} = c}$ ${\ displaystyle Q ^ {*} = {\ frac {ac} {b}}}$

In monopolio, massimizza , che dà , e ${\ displaystyle Q ^ {M}}$ ${\ displaystyle (a-bq-c) q}$ ${\ displaystyle Q ^ {M} = {\ frac {ac} {2b}}}$ ${\ displaystyle p ^ {M} = {\ frac {a + c} {2}}}$

In tal modo, ${\ displaystyle Q ^ {M} <Q ^ {c} <Q ^ {*}}$ e . ${\ displaystyle p ^ {*} <p ^ {c} <p ^ {M}}$

È in concorrenza perfetta che la produzione totale è la maggiore (e quindi il prezzo più basso), e in monopolio che la produzione è la minore (e quindi il prezzo più alto). L'oligopolio di Cournot è una situazione intermedia.

D'altra parte, maggiore è , maggiore è la quantità e minore è il prezzo. Quando , notiamo che e . Quando troviamo e . $non$ ${\ displaystyle n \ to \ infty}$ ${\ displaystyle Q_ {c} \ to Q ^ {*}}$ ${\ displaystyle p ^ {c} \ to c = p ^ {*}}$ $n = 1$ ${\ displaystyle Q ^ {c} = Q ^ {M}}$ ${\ displaystyle p ^ {c} = p ^ {M}}$

Duopolio di Cournot

Presentazione del modello

Risoluzione nel caso lineare

Estensione del modello alle imprese: Oligopolio di Cournotnon{\ displaystyle n}

Caso di aziende identichenon{\ displaystyle n}

Estensione del modello alle imprese: Oligopolio di Cournot $non$

Caso di aziende identiche $non$