Rilassamento Prandtl-Meyer

Il rilassamento Prandtl-Meyer è il rilassamento isoentropico un gas da un mezzo omogeneo, mappa, flusso supersonico. È stato fondato da Ludwig Prandtl e dal suo allievo Theodor Meyer .

Onde di Mach

Considera una particella fluida ( elemento volume ) che si muove in un mezzo omogeneo con la velocità V. La velocità di propagazione delle onde sonore in questo mezzo è a. Si presume che il numero di Mach sia maggiore dell'unità: il flusso è supersonico. ${\ displaystyle M = {\ frac {V} {a}}}$

Questa particella percorre la distanza V t durante il tempo t, il suono che la distanza ha t. In questo momento i punti raggiunti dall'onda sonora lungo tutta la traiettoria della particella sono contenuti nel volume definito da un cono di semiangolo in alto come (vedi figura)

{\ displaystyle \ sin \ mu = {\ frac {at} {Vt}} = {\ frac {1} {M}}}

Questo cono che è l'inviluppo delle onde è chiamato onda di Mach. Costituisce una caratteristica delle equazioni di Eulero ed è una grandezza fondamentale per lo studio dei flussi, in particolare per stimarne le proprietà in configurazioni semplici.

Il fenomeno studiato

Consideriamo ora il flusso su un diedro acuto (vedi figura). Il flusso a monte è supersonico di Mach M 1 . È disturbato dalla presenza della singolarità geometrica dall'onda di Mach che parte dal bordo e che forma un angolo con la normale della parte a monte della superficie. Da lì i continui disturbi legati alla dorsale provocano un rilassamento isentropico del flusso. Tutte queste onde costituiscono un raggio centrato sul bordo. Il processo si interrompe quando l'angolo che definisce l'onda di Mach viene raggiunto nel mezzo a valle. ${\ displaystyle \ mu _ {1} = \ arcsin {\ frac {1} {M_ {1}}}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {2} = \ arcsin {\ frac {1} {M_ {2}}}}$

Funzione Prandtl-Meyer

La relazione tra la rotazione del flusso in un fascio di espansione come quello in figura è espressa tramite la funzione Prandtl-Meyer

{\ displaystyle \ theta = \ nu (M_ {2}) - \ nu (M_ {1})}

con, per un gas ideale

{\ displaystyle \ nu (M) = {\ sqrt {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} \ arctan {\ sqrt {{\ frac {\ gamma -1} {\ gamma +1} } (M ^ {2} -1)}} - \ arctan {\ sqrt {M ^ {2} -1}}}

Dimostrazione

Sia una variazione elementare del flusso: una rotazione dθ accompagnata da una variazione della velocità d V nel punto corrente caratterizzato dall'onda Mach di orientamento μ. La conservazione della quantità di moto richiede che la componente di V parallela all'onda Mach. Ne deduciamo (vedi figura)

{\ displaystyle {\ frac {V + \ mathrm {d} V} {V}} = {\ frac {\ sin ({\ frac {\ pi} {2}} + \ mu)} {\ sin ({\ frac {\ pi} {2}} - \ mu - \ mathrm {d} \ theta)}} = {\ frac {\ cos \ mu} {\ cos \ mu \ cos \ mathrm {d} \ theta - \ sin \ mu \ sin \ mathrm {d} \ theta}}}

Piccoli angoli

{\ Displaystyle \ sin \ mathrm {d} \ theta \ approx \ mathrm {d} \ theta \ ,, \; \; \; \ cos \ mathrm {d} \ theta \ approx 1}

da dove

{\ displaystyle 1 + {\ frac {\ mathrm {d} V} {V}} = {\ frac {1} {1- \ tan \ mu \, \ mathrm {d} \ theta}} \ circa 1+ \ tan \ mu \, \ mathrm {d} \ theta}

Oro

{\ Displaystyle \ sin \ mu = {\ frac {1} {M}} \ Rightarrow \ tan \ mu = {\ frac {1} {\ sqrt {M ^ {2} -1}}}}

Otteniamo l'espressione che mette in relazione la variazione di velocità con la rotazione

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ theta = {\ sqrt {M ^ {2} -1}} \, {\ frac {\ mathrm {d} V} {V}}}

Alcune relazioni elementari permetteranno di esprimere l'ultimo termine (l'indice 0 corrisponde ai valori per V = 0)

Relazione di definizione di Mach

{\ displaystyle V = Ma \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d} V} {V}} = {\ frac {\ mathrm {d} M} {M}} + {\ frac {\ mathrm {d} a }{a}}}

velocità del suono per gas perfetto

{\ displaystyle a = {\ sqrt {\ gamma rT}} \ Rightarrow {\ frac {T_ {0}} {T}} = \ left ({\ frac {a} {a_ {0}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}

flusso isoentropico di un gas ideale

{\ displaystyle {\ frac {T_ {0}} {T}} = 1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}

Da questo insieme di relazioni attingiamo

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} V} {V}} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d} M} {M}}}

Portando questa espressione al di sopra di essa viene

{\ displaystyle \ theta = \ int _ {M_ {1}} ^ {M_ {2}} {\ frac {\ sqrt {M ^ {2} -1}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d} M} {M}}}

Abbiamo rivelato la funzione Prandtl-Meyer

{\ displaystyle \ nu (M) = \ int {\ frac {\ sqrt {M ^ {2} -1}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d} M} {M}} = {\ sqrt {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} \ arctan {\ sqrt {{\ frac {\ gamma -1 } {\ gamma +1}} (M ^ {2} -1)}} - \ arctan {\ sqrt {M ^ {2} -1}}}

Questa relazione è valida per qualsiasi rilassamento su una geometria convessa, anche se in questo caso non si sa come posizionare a priori le onde di Mach.

Valore limite

La funzione Prandtl-Meyer varia rapidamente tra M = 1 e M = 1,5 e ha un massimo

{\ displaystyle \ nu _ {max} = {\ frac {\ pi} {2}} \ sinistra ({\ sqrt {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} - 1 \ destra) = 2.27685316 ...}

o circa 130 gradi.

L'angolo θ non può quindi essere maggiore di un valore limite

{\ displaystyle \ theta _ {max} = \ nu _ {max} - \ nu (M_ {1})}

Oltre questo valore si verifica una discontinuità di velocità con la creazione di una zona di “acqua morta”. Questa linea scorrevole non ha esistenza fisica perché è collegata all'approssimazione euleriana. Gli effetti di trascinamento viscoso lo trasformano in una regione di ricircolo.

Riferimenti

(de) Theodor Meyer, Über zweidimensionale Bewegungsvorgänge in einem Gas, das mit Überschallgeschwindigkeit Strömt , University of Göttingen ,1908

(it) John D. Anderson, Jr., Fondamenti di aerodinamica , McGraw-Hill Education ,1991( ISBN 0-07-001679-8 )

Vedi anche