Cubic di Tschirnhausen
In geometria , la cubica di Tschirnhausen è una curva algebrica definita dall'equazione polare
r=aasciutto3(θ/3).{\ displaystyle r = a \ sec ^ {3} (\ theta / 3).}
Storia
Questa curva è stata studiata da Ehrenfried Walther von Tschirnhaus , Guillaume de l'Hôpital e Eugène Catalan . Il nome "Tschirnhausen cubic" fu menzionato per la prima volta nel 1900 da Raymond Clare Archibald, sebbene a volte sia noto come "Hospital cubic" o "Catalan trisectrix".
Altre equazioni
Sia t = tan ( θ / 3) . Secondo la formula di De Moivre , questo dà:
X=acos(θ)asciutto3(θ3)=a[cos3(θ3)-3cos(θ3)peccato2(θ3)]asciutto3(θ3)=a[1-3abbronzatura2(θ3)]=a(1-3t2),{\ Displaystyle x = a \ cos (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [\ cos ^ {3} \ left ({ \ frac {\ theta} {3}} \ right) -3 \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [1-3 \ tan ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] = a (1-3t ^ {2}),}![{\ Displaystyle x = a \ cos (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [\ cos ^ {3} \ left ({ \ frac {\ theta} {3}} \ right) -3 \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [1-3 \ tan ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] = a (1-3t ^ {2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c78d425f87ac9e1a5b902b529b8bc9628046866)
y=apeccato(θ)asciutto3(θ3)=a[3cos2(θ3)peccato(θ3)-peccato3(θ3)]asciutto3(θ3)=a[3abbronzatura(θ3)-abbronzatura3(θ3)]=at(3-t2).{\ Displaystyle y = a \ sin (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ cos ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) - \ sin ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ tan \ left ({\ frac {\ theta } {3}} \ right) - \ tan ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] = a (3-t ^ {2}).}![{\ Displaystyle y = a \ sin (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ cos ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) - \ sin ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ tan \ left ({\ frac {\ theta } {3}} \ right) - \ tan ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] = a (3-t ^ {2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e810e64889f4c5d96bbc2b3274ea93736f9a47b)
che fornisce un'equazione parametrica . Il parametro t può essere facilmente eliminato, il che fornisce l'equazione cartesiana
27ay2=(a-X)(8a+X)2{\ displaystyle 27ay ^ {2} = (ascia) (8a + x) ^ {2}}
.
Se la curva viene tradotta orizzontalmente di 8 a , le equazioni diventano
X=3a(3-t2) , y=at(3-t2){\ displaystyle x = 3a (3-t ^ {2}) \, \ y = at (3-t ^ {2})}
o
X3=9a(X2-3y2){\ displaystyle x ^ {3} = 9a \ sinistra (x ^ {2} -3y ^ {2} \ destra)}
,
che dà la forma polare
r=9aasciutto(θ)(1-3abbronzatura2θ){\ Displaystyle r = 9a \ sec (\ theta) \ left (1-3 \ tan ^ {2} \ theta \ right)}
.
Proprietà
Caustico
Le caustiche della parabola, quando la sorgente luminosa è all'infinito, sono cubiche di Tschirnhausen. È ridotto a un punto, il fuoco della parabola, quando la direzione della sorgente è l'asse della parabola.
Vedi anche
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