Croce maltese (meccanismo)

La croce maltese è un dispositivo meccanico che trasforma un movimento rotatorio continuo in una rotazione a scatti. Il suo nome deriva dalla sua somiglianza con la croce di Malta (✠, simbolo dell'Ordine di San Giovanni di Gerusalemme o del Sovrano Ordine di Malta ) ma con i lati circolari. In inglese e spagnolo, questo meccanismo prende il nome dalla città di Ginevra ( Ginevra drive , Rueda de Ginebra ) - ma in inglese viene utilizzato anche il termine croce maltese .

Il dispositivo meccanico è costituito da una camma azionata da un "follower", che ne consente l' indicizzazione .

Storico

L'inventore Jules Carpentier in Francia, che ha lavorato con i fratelli Lumière , e Oskar Messter , uno dei pionieri del cinema tedesco, ha brevettato dispositivi a croce maltesi già nel 1896. Ma è la croce maltese per quattro rami di Pierre-Victor Continsouza che è stato poi il più utilizzato nei dispositivi di proiezione cinematografica.

Utilizza

Viene utilizzato in particolare per pellicole cinematografiche (non digitali) nei proiettori e, raramente, nelle fotocamere , per l'avanzamento della pellicola: la pellicola deve fermarsi ad ogni immagine davanti all'otturatore (ripresa) o davanti alla lampada (proiezione).

Questo meccanismo si ritrova nei contatori meccanici (chilometraggio automobile, consumo di acqua o gas, ecc.) Dove garantisce l'allineamento delle cifre e la loro inclinazione ad ogni fermo. Viene utilizzato anche nelle macchine che realizzano un trasferimento di prodotto con la necessità di un tempo di attesa al momento dell'introduzione (che il sistema biella-manovella non consente). Ad esempio, si trova alla base dei movimenti utilizzati sulle macchine confezionatrici: i prodotti vengono introdotti in un magazzino alimentare secondo una quantità predefinita (fase di stop), quindi vengono avvolti durante il movimento di trasferimento (fase in movimento).

Operazione

Il funzionamento del meccanismo a croce maltese è il seguente: un cilindro, chiamato manovella o ruota motrice, ruota continuamente, con una velocità regolare, e porta un dito. Il dito entra in una scanalatura nella croce maltese (la ruota condotta), facendola ruotare di 1 / n giro, dove n è il numero di scanalature nella croce ( n = 4 nella figura a fianco, 6 nell'animazione l sopra).

Quindi, il dito esce dal solco, il cilindro del motore continua il suo corso mentre la croce maltese rimane immobile. Il cilindro centrale, parzialmente incavato, è complementare all'arrotondamento della croce maltese; ciò serve a stabilizzare la posizione del dispositivo quando il dito non è impegnato in una scanalatura.

Il numero di scanalature può assumere valori pari o dispari, solitamente compresi tra 4 e 10.

Varianti

Croce di Malta interna.
Operazione di una croce di Malta interna.
Croce di Malta sferica.

Ci sono due varianti: la croce maltese interna e la croce maltese sferica, "a tulipano" (sistema con assi concomitanti).

Nel caso della croce maltese interna, l'albero motore (che porta la ruota motrice) è montato su un albero a sbalzo (a sbalzo , è tenuto solo su un lato). L'albero è quindi più sensibile alla flessione, che può essere un problema se il carico è pesante.

Inoltre, il tempo di guida è maggiore di mezzo periodo: è necessario più di mezzo giro della ruota motrice per far girare la ruota motrice di un incremento. La durata dell'allenamento (tempo motore) è quindi maggiore della durata del riposo, a differenza di una croce maltese esterna. Di conseguenza, l'accelerazione massima è inferiore, ma presenta ancora discontinuità all'inizio e alla fine del movimento.

Nel caso della croce maltese sferica, anche l'albero deve essere a sbalzo. Il tempo di formazione è mezzo periodo; la durata dell'allenamento è uguale alla durata del riposo.

Tributi

Alcuni registi hanno reso omaggio a questo meccanismo, fondamentale per le riprese e la proiezione:

Wim Wenders , in The American Friend (1977): un bambino, figlio di Jonathan e Marianne Zimmermann, gioca con una croce di legno di Malta; e in Au fil du temps (1976) “il cinema non esisterebbe senza questa invenzione” secondo Bruno Winter, il protagonista, riparatore di proiettori.
Martin Scorsese in Hugo Cabret (2011): quando Georges Méliès finisce il suo automa, l'ultimo pezzo che mette a posto è una croce di Malta.

La Croce di Malta era il logo del marchio di proiettori Cinemeccanica (it) . Il logo attuale così come il logo del suo marchio CineCloud è una croce maltese stilizzata (vedi il logo sulla pagina ufficiale ).

Studio meccanico

Vincoli geometrici

Il punto critico dell'operazione è quando il dito entra nella scanalatura. Ciò impone una relazione tra il raggio della pedivella R, cioè la distanza tra il centro del dito e il centro della ruota motrice che lo sostiene, e l'interasse E, cioè la distanza tra il centro della ruota motrice e il centro della croce maltese. Affinché non vi siano urti, il vettore della velocità deve trovarsi sull'asse della scanalatura.

Chiamiamo α metà dell'angolo di rotazione della ruota condotta per giro della ruota motrice

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ pi} {n}}}

in radianti

sia $α = π / 4 = 45 °$ per quattro scanalature e $α = π / 6 = 30 °$ per sei scanalature. Abbiamo quindi le seguenti relazioni tra l'interasse E, il raggio della ruota motrice R 1 e il raggio della ruota motrice R 2 :

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {E} \ cos \ alpha}

Tra 0 e $π / 4$ (0 e 90 °), la funzione seno aumenta e la funzione coseno diminuisce in α. Deduciamo che per un dato interasse, più scanalature abbiamo (maggiore è n ), minore α è quindi minore R 1 e maggiore R 2 .

Dimostrazione

Rappresentiamo il sistema mentre il dito entra nel solco. Posizioniamo la linea che collega i centri delle ruote all'orizzontale. La scanalatura forma quindi un angolo α con l'orizzontale Il vettore velocità è perpendicolare alla traiettoria; poiché il dito descrive un cerchio, la linea che porta il vettore velocità è quindi tangente al cerchio, cioè perpendicolare al raggio in questo punto. Abbiamo dunque un triangolo rettangolo di hypotenuse E, di cui uno degli angoli è $π / n$ ed il cui lato opposto all'angolo ha lunghezza R 1 . Quindi abbiamo:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

Il raggio del cerchio circoscritto alla croce maltese è anche la lunghezza del lato adiacente del triangolo rettangolo, ad es.

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} = \ mathrm {E} \ cos \ alpha.}

Inoltre, la larghezza nominale della scanalatura deve essere uguale al diametro nominale 2 r del dito: più piccolo, il dito non potrebbe entrare, troppo grande, ci sarebbe uno shock. In pratica c'è un gioco: il solco deve essere leggermente più largo del dito per consentire il movimento. È possibile utilizzare una regolazione cosiddetta “scorrevole senza gioco”, o più precisamente “guida precisa”, indicata con H7 / g6, per limitare gli urti, ma è costosa da ottenere.

L'estremità dei rami deve avere una larghezza diversa da zero. È infatti necessario imporre una larghezza minima e 1 , che dipende dalla resistenza desiderata. Ciò impone un raggio massimo per il cilindro dell'immobilizzatore. Inoltre il contatto deve essere efficace, c'è quindi un raggio minimo, ovvero:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ right) <\ mathrm {R } _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

la dimensione e 1 è lo spessore che si desidera mantenere all'estremità del ramo per avere una resistenza sufficiente.

Dimostrazione

Abbiamo quote nominali (assumendo gioco zero):

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {R} _ {3} + r + e_ {1}}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} = \ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

A causa dello spazio necessario, è infatti necessario

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

la differenza (R 1 - r - e 1 ) - R 3 è il gioco.

Il contatto deve essere efficace, quindi abbiamo necessariamente anche:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {2}}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {R} _ {1} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha }} \ right) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}}}

La lunghezza minima della scanalatura L si ottiene considerando la posizione per la quale il dito è più impegnato. Abbiamo quindi, orientando le lunghezze a sinistra:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ min} = \ mathrm {R} _ {1} - \ mathrm {E} + \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {R} _ {1} \ sinistra (1 - {\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ right) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {\ cos \ alpha + \ sin \ alpha -1} {\ sin \ alpha}}.}

La lunghezza massima è quella che lascia materiale sufficiente per la croce maltese per resistere allo stress. Se chiamiamo r a il raggio del fusto della croce di Malta ed e 2 lo spessore minimo di materiale che vogliamo, allora abbiamo:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ max} = \ mathrm {R} _ {2} -r_ {a} -e_ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} - r_ {a} -e_ {2}.}

Studio cinematico

Si presume che la ruota motrice (manovella) ruoti con una velocità angolare costante ω (movimento rotatorio uniforme). La figura a fianco rappresenta il meccanismo in funzione. Se notiamo come prima

n il numero di scanalature nella croce di Malta (ruota condotta);
α = 2π / n l'angolo tra due scanalature

e che introduciamo il rapporto

{\ displaystyle k = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ mathrm {R} _ {1}}} = {\ frac {1} {\ sin \ alpha}}}

poi notiamo che:

la velocità angolare massima della ruota condotta è ;
${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}$
vale la massima accelerazione angolare, a seconda del numero di scanalature:
- n = 4: α 0 ≃ 3,82 × ω 2 ,
- n = 6: α 0 ≃ 0,375 × ω 2 ,
- n = 8: α 0 ≃ 0,268 × ω 2 ;
l'accelerazione angolare iniziale e finale non zero, che significa che la ruota motrice è sottoposto sono scossoni infinito angolari ( diracs ) in pratica limitata dalla elasticità e l'attrito del sistema.

Questi picchi di jerk non rappresentano un problema finché si rimane a basse velocità e inerzie. D'altra parte, diventano proibitivi per sistemi ad alta velocità e carico elevato.

Dimostrazione

Chiamiamo angolo di entrata, e indichiamo con θ e , l'angolo formato dal raggio che passa per il dito con l'asse x , e che caratterizza l'orientamento della ruota motrice. Chiamiamo angolo di uscita, e indichiamo con θ s , l'angolo formato dall'asse di una scanalatura rispetto all'asse x , e che caratterizza l'orientamento della ruota condotta.

Studio dell'intermittenza

L'angolo di entrata θ e cambia in modo uniforme

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {e}} = \ omega}

la velocità angolare ω è negativa nel disegno. Viene quindi scritta l'equazione oraria dell'angolo di ingresso

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {e}} = \ omega t + \ varphi}

dove $φ$ è l'angolo a t = 0, scelti arbitrariamente. Per la rappresentazione grafica, abbiamo scelto $φ$ in modo che il dito entra nella scanalatura t = 0, cioè

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ pi} {2}} - \ alpha}

La durata dell'allenamento $τ$ corrisponde a una rotazione della ruota motrice da un angolo $φ$ all'angolo simmetrico - $φ$ , ad es.

{\ Displaystyle \ omega \ tau = (- \ varphi) - \ varphi = -2 \ varphi = 2 \ alpha - \ pi.}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {2 \ alpha - \ pi} {\ omega}}.}

Il periodo totale è uguale a $T = -2π / ω$ , quindi la fase di allenamento è una frazione del valore del periodo totale

{\ displaystyle {\ frac {\ tau} {T}} = {\ frac {- (2 \ alpha - \ pi)} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {n}}.}

Successivamente, per semplicità, determiniamo θ s in funzione di θ e anziché t .

Studio delle relazioni angolari

L'angolo di entrata è correlato all'angolo di uscita dal fatto che i due triangoli rettangoli hanno lo stesso lato opposto h :

{\ Displaystyle h = \ mathrm {R} _ {1} \ sin \ theta _ {e} = \ mathrm {R} _ {3} \ tan \ theta _ {s}.}

Quindi abbiamo

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {3}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {1}}} \ times {\ frac {1} {\ mathrm {E} / \ mathrm {R} _ {1} - \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}}}

{\ Displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} }

{\ Displaystyle \ theta _ {\ mathrm {s}} = \ operatorname {arctan} \ left ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ right)}

Leggi del moto

In via preliminare, calcoliamo le seguenti derivate:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ cos (\ omega t )} {\ mathrm {d} t}} = - \ omega \ sin (\ omega t) = - \ omega \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}}

e allo stesso modo

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = \ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}

La velocità angolare della ruota condotta è ottenuta per derivazione. Riprendiamo l'espressione di tan θ s . Se deriviamo l'arto sinistro, abbiamo

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left (1+ \ tan ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {s}} \ right) = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} \ left (1 + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left ({\ frac {k ^ {2} -2 \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2 }}} \ giusto)}

e derivando il lato destro:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ right) = {\ frac {\ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} (k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) - \ omega \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega} {( k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)}

Scrivendo l'uguaglianza dei due membri, otteniamo

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}}}

Derivando si determina l'accelerazione angolare:

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ theta _ {\ mathrm {e} }} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}}}

Notiamo che questa accelerazione svanisce per θ e = 0, quindi la velocità è massima a questo punto, e

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}

All'origine abbiamo θ e = φ e quindi

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} (0) = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ varphi} {(k ^ {2} -2k \ cos \ varphi +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2 } -2k \ sin \ alpha +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2} -1 ) ^ {2}}} \ neq 0}

c'è quindi uno strappo infinito all'origine. Per simmetria, c'è uno strappo infinito alla fine del movimento.

Derivando l'accelerazione, si ottiene lo strappo durante il movimento:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t ^ {3}}} \ & = { \ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}} \ sinistra (\ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} - {\ frac {4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}} \ right) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (- 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1 )} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k) \ end {allineato}}}

L'accelerazione è massima quando il jerk viene annullato, il che equivale a risolvere:

{\ Displaystyle 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k = 0}

cioè impostando x = cos θ e

{\ displaystyle 2kx ^ {2} + (k ^ {2} +1) x-4k = 0 {\ text {; }} \ sin \ alpha \ leqslant | x | \ leqslant 1}

che è un'equazione quadratica di discriminante strettamente positivo

{\ displaystyle \ Delta = (k ^ {2} +1) ^ {2} + 32k ^ {2} = k ^ {4} + 34k ^ {2} +1> 0}

L'equazione ammette quindi due soluzioni reali

{\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {- (k ^ {2} +1) \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {4k}}}

Otteniamo, per alcuni valori di n :

non	K	x 1	x 2	θ e	Acc. max.
4	√2	0.980	1.33	-0.200 rad (-11,5 °)	3,82 × ω 2
6	2	0.921	1.17	-0,400 rad (-22,9 °)	0,675 × ω 2
8	2.61	0.851	1.04	-0.552 rad (-31.6 °)	0,268 × ω 2

Applicazione digitale

Considera un proiettore cinematografico con una croce maltese a quattro scanalature. Quindi abbiamo:

una ruota motrice della frequenza di rotazione N = 24 Hz (24 fotogrammi al secondo), oppure ω = 2π N ≃ 151 rad / s ;
un rapporto di $k = 1 / sin (π / 4) = \sqrt 2 ≃ 1,41$ ;

e così

ω 0 ≃ 364 rad / s ; N 0 = 57,9 rpm ;
α 0 ≃ 8,69 × 10 4 rad / s 2 .

Note e riferimenti

" Maltese Cross " , sujector.mip.free.fr (accesso 30 giugno 2016 )

Vedi anche

Bibliografia

(en) John H. Bickford , Mechanisms for intermittent motion , New York, Industrial Press inc.,1972, 264 p. ( ISBN 0-8311-1091-0 , letto online ) , cap. 9 ("Meccanismi di Ginevra") , p. 127-138

link esterno

La croce maltese sul sito dell'Università di Nantes (animazione per bambini Java )
The Maltese Cross : sito relativo agli inizi della storia del cinema visti attraverso i libri d'epoca

Croce maltese (meccanismo)

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Note e riferimenti

Vedi anche

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