Criterio di Eisenstein

In matematica , il " criterio di Eisenstein ", pubblicato in precedenza da Theodor Schönemann , fornisce condizioni sufficienti perché un polinomio a coefficienti interi sia irriducibile sul corpo dei numeri razionali . Se questo polinomio è anche primitivo (cioè se non ha divisori costanti non banali), allora è irriducibile anche sull'anello degli interi (infatti, è questa irriducibilità che il criterio afferma; l'irriducibilità sui numeri razionali segue da Gauss lemma ).

stati

Considera un polinomio $P ( X )$ con coefficienti interi, che indichiamo con

P (X) = a_nX ^ n + a_ {n-1} X ^ {n-1} + \ ldots + a_1X + a_0.

Supponiamo che esista un numero primo $p$ tale che:

$\ forall i \ in \ {0,1, \ ldots, n-1 \},$ $p$ divide ; $avere}$
$p$ non divide $a n$ ;
$p 2$ non divide $uno 0$ .

Allora $P ( X )$ è irriducibile nell'anello dei polinomi con coefficienti razionali. Se inoltre $P$ $($ $X$ $)$ è primitivo, allora secondo il lemma di Gauss , $P$ $($ $X$ $)$ è irriducibile nell'anello dei polinomi a coefficienti interi. $\ mathbb {Q} [X]$ $\ mathbb {Z} [X]$

Dimostrazione

Riduciamo i coefficienti di $P ( X )$ modulo $p$ . Otteniamo un polinomio di F p [ X ] della forma $cX n$ con elemento $c$ diverso da zero del campo finito F p .

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che $P = P ( X ) sia$ fattori in $P = QR$ , dove $Q$ e $R$ sono polinomi di gradi diversi da zero. Dal lemma di Gauss , possiamo supporre che $Q$ e $R$ abbiano coefficienti interi. Riducendo modulo $p$ , vediamo che $Q$ $mod$ $p$ e $R$ $mod$ $p$ sono necessariamente monomi $dX$ $k$ ed $eX$ $n - k$ , dove $de = c$ . In particolare, $Q$ $(0)$ e $R$ $(0)$ sono divisibili per $p$ , quindi $a$ $0$ $=$ $Q$ $(0)$ $R$ $(0)$ è divisibile per $p$ $2$ , il che è una contraddizione. Quindi $P$ è irriducibile in . $\ mathbb {Q} [X]$ $\ mathbb {Q} [X]$

Esempi

Considera il polinomio $P (X) = 3X ^ 4 + 15X ^ 2 + 10.$

Esaminiamo casi diversi per i seguenti valori p :

p = 2. 2 non divide 15, non possiamo concludere;
p = 3. 3 non divide 10, non possiamo concludere;
p = 5. 5 divide 15, il coefficiente di $X 2$ , e 10 il coefficiente costante. 5 non divide 3, il coefficiente dominante. Inoltre, 25 = 5 2 non divide 10. Quindi, grazie al criterio di Eisenstein, concludiamo che $P ( X )$ è irriducibile.

In alcuni casi, la scelta del numero primo può non essere ovvia, ma può essere semplificata modificando una variabile della forma $Y = X + a$ , chiamata traduzione .

Ad esempio, considera $H ( X ) = X 2 + X + 2$ . Gli appare criterio compromesse dal momento che nessun numero primo non divide 1, il coefficiente di $X$ . Ma se traduciamo $H$ in $H ( X + 3) = X 2 + 7 X + 14$ , vediamo immediatamente che il numero primo 7 divide il coefficiente di $X$ e il coefficiente costante, e che 49 non divide 14. Quindi traducendo abbiamo fatto in modo che il polinomio soddisfacesse il criterio di Eisenstein.

Un altro caso noto è quello del polinomio ciclotomico di indice a intero primo $p$ , ovvero il polinomio

\ frac {X ^ p - 1} {X - 1} = X ^ {p - 1} + X ^ {p - 2} + \ cdots + X + 1.

Qui, il polinomio soddisfa il criterio di Eisenstein, in una nuova variabile $Y$ dopo una traslazione $X = Y + 1$ . Il coefficiente costante è quindi uguale a $p$ , il coefficiente dominante è uguale a 1 e gli altri coefficienti sono divisibili per $p$ secondo le proprietà dei coefficienti binomiali .

Generalizzazione

Sia A un anello integrale e sia $P$ un polinomio con coefficienti in A , indicato con

P (X) = \ sum_ {i = 0} ^ n a_i X ^ i.

Supponiamo che nessun elemento non invertibile di A divida (tutti i coefficienti di) $P$ , e che esista un ideale primo $I$ di A tale che

$a_i \ in I$ per tutto ; $i \ in \ {0,1, \ ldots, n-1 \}$
$a_n \ notin I$ ;
$a_0 \ notin I ^ 2$ , Dove $ho 2$ è il prodotto di un ideale $che$ di per sé.

Allora $P ( X )$ è irriducibile in A [ X ]. La dimostrazione è simile a quella data sopra, riducendo modulo $I$ una supposta decomposizione di $P ( X )$ come prodotto di polinomi non costanti; l'argomento centrale è che sull'anello integra A / $I$ , un polinomio con un solo termine può essere scomposto solo in polinomi che sono anche con un solo termine.

Se A è un anello fattoriale , possiamo prendere per $I$ l'ideale generato da qualsiasi elemento irriducibile. In questo caso, possiamo anche concludere che $P ( X )$ è irriducibile in K [ X ] dove K è il campo delle frazioni di A , grazie al lemma di Gauss . Per questa conclusione, la condizione che $P ( X )$ non sia divisibile per nessuna costante non invertibile diventa superflua, perché tale costante (che rende $P ( X )$ riducibile in A [ X ]) è invertibile in K [ X ], n 'quindi non impedisce l'irriducibilità. Quindi, troviamo la versione base del criterio per A = . In effetti, Gotthold Eisenstein ha formulato il suo criterio per i casi in cui A è o l'anello degli interi relativi o quello degli interi gaussiani . $\ mathbb {Z}$

Note e riferimenti

(De) T. Schönemann, " Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind " , J. queen angew. Matematica. , vol. 32,1846, p. 93-118 ( leggi in linea ), p. 100 .
(De) G. Eisenstein, " Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt " , J. queen angew. Matematica. , vol. 39,1850, p. 160-179 ( leggi in linea ), p. 167 .

Vedi anche

Link esterno

(it) Keith Conrad , " numeri primi totalmente ramificati e polinomi di Eisenstein "