Analisi di sensibilità

L' analisi di sensitività è lo studio di come l' incertezza dell'output di un codice o di un sistema (digitale o altro) possa essere attribuita all'incertezza nelle sue voci. Ciò comporta la stima degli indici di sensibilità che quantificano l'influenza di un input o di un gruppo di input sull'output.

introduzione

Applicazioni

L'analisi di sensibilità può essere utile per molte applicazioni:

• Verifica la robustezza di un modello o di un sistema in presenza di incertezza.
• Una migliore comprensione delle relazioni tra le variabili di input e di output in un sistema o modello.
• Riduzione dell'incertezza, attraverso l'identificazione di input del modello che causano significative incertezze nella produzione e quindi dovrebbero essere al centro dell'attenzione.
• La ricerca di errori nel modello (dall'incontro inaspettato delle relazioni tra gli input e gli output).
• Semplificazione del modello, correzione di input che non hanno alcun effetto sull'output o identificazione e rimozione di parti ridondanti della struttura del modello.
• Migliorare la comunicazione tra modellatori e decisori (ad esempio formulando raccomandazioni più credibili, comprensibili, convincenti o persuasive).
• Trova le regioni nello spazio di input per le quali l'output del modello è massimo o minimo o soddisfa un certo criterio di ottimalità (vedi ottimizzazione e metodo Monte Carlo ).
• Per la calibrazione di modelli con un numero elevato di parametri, un'analisi di sensibilità può facilitare la regolazione dei parametri concentrandosi sui parametri sensibili. Senza conoscere la sensibilità dei parametri, è possibile sprecare molto tempo e fatica nella regolazione dei parametri insensibili.
• Cercare di identificare collegamenti importanti tra osservazioni, input del modello e previsioni o previsioni, portando allo sviluppo di modelli migliori.

Notazioni e vocabolario

L'oggetto di studio dell'analisi di sensitività è una funzione , (chiamata " modello matematico" o " codice "). Può essere visto come una scatola nera da cui conosciamo solo la sua uscita . Le sue voci sono annotate . Queste sono le impostazioni della scatola nera che influiscono sull'output del sistema. f{\ displaystyle f} Y{\ displaystyle Y}X1,...,Xp{\ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {p}}

Y=f(X){\ displaystyle Y = f (X)} con . X=(X1,...,Xp){\ displaystyle X = (X_ {1}, ..., X_ {p})}

Problemi

La scelta del metodo di analisi della sensibilità è generalmente determinata per soddisfare i vincoli imposti dalla funzione . I più comuni sono: f{\ displaystyle f}

• Costo di calcolo: tranne in casi molto rari, eseguire un'analisi di sensibilità richiede una valutazione un numero elevato di volte. Diventa una barriera quando: f{\ displaystyle f}
  • Una singola esecuzione del codice richiede molto tempo (è comunemente il caso).
  • Il codice ha un numero elevato di voci. Lo spazio da esplorare diventa troppo grande (vedi "Maledizione della dimensionalità" ).
• Input correlati: l'assunzione di indipendenza tra gli input del modello semplifica notevolmente l'analisi di sensitività, ma a volte non si può trascurare che gli input sono fortemente correlati. Le correlazioni tra gli input devono quindi essere prese in considerazione nell'analisi.
• Non linearità: a seconda che il codice da analizzare sia lineare o meno, saranno preferite tecniche diverse (punteggio di regressione lineare quando è lineare, punteggi basati sulla varianza quando non lo è).
• Interazioni: quando gli input hanno solo effetti additivi, diciamo che non stanno interagendo. Alcune semplici tecniche (nuvola di punti, OAT) sono quindi applicabili. Quando questo non è il caso, sono più indicate altre tecniche (calcolo di indici di Sobol semplici e totali).
• Uscite multiple o funzionali: introdotta generalmente per codici con una sola uscita, l'analisi di sensitività si estende ai casi in cui l'uscita Y è un vettore, una funzione, una serie storica o un campo.
• Dai dati: capita che non abbiamo la possibilità di valutare il codice su tutti i punti desiderati. L'output del codice è disponibile solo in determinati punti (per un'analisi retrospettiva o un esperimento non riproducibile, ad esempio). La risposta del codice in punti diversi da quelli dati deve quindi essere dedotta dai punti noti. Quindi costruiamo un modello statistico del codice (o "meta-modello").
• Codice stocastico: un codice si dice deterministico quando, per più valutazioni del codice con gli stessi input, si ottiene sempre lo stesso output. Quando questo non è il caso (l'output è diverso nonostante input identici), il codice è detto stocastico. È quindi necessario separare la variabilità dell'output dovuta alla variabilità sugli input da quella dovuta al carattere stocastico.

Metodologie

Esistono numerosi approcci per eseguire analisi di sensibilità, molti dei quali sono stati sviluppati per affrontare uno o più dei vincoli discussi sopra. Si distinguono anche per il tipo di misurazione della sensibilità (scomposizione della varianza, derivate parziali , effetti elementari, ecc.). In generale, il seguente piano si trova nella maggior parte delle procedure:

1. Quantificare l'incertezza in ogni voce (possibili intervalli di valori, distribuzioni di probabilità). Questo può essere un problema in sé perché esistono molti metodi per ottenere l'incertezza delle distribuzioni soggettive dei dati.
2. Identificare gli output del modello che verranno analizzati (il target di interesse dovrebbe idealmente avere una relazione diretta con il problema affrontato dal modello). L'unica razionalizzazione imposta da questo compito è uno dei vantaggi dell'analisi di sensitività.
3. Eseguire il modello più volte seguendo un disegno sperimentale (diverso a seconda dell'approccio scelto e dell'incertezza degli input).
4. Calcola la misura di sensibilità scelta per il problema.

In alcuni casi questa procedura verrà ripetuta, ad esempio in problemi di dimensioni elevate, in cui l'utente deve prima ordinare le variabili non importanti ("screening") prima di eseguire un'analisi di sensibilità completa.

Le diverse metodologie (vedi sotto) si distinguono per le misure di sensibilità calcolate. Queste metodologie a volte si sovrappongono e possono essere testate altre misure di sensibilità, adattate ai vincoli del problema.

One-at-a-time (OAT)

Il modo più semplice e comune per studiare la sensibilità degli input è cambiarli uno alla volta ("One-At-a-Time": OAT), gli altri rimanendo fissati su un valore nominale. Vediamo quindi l'effetto che questo ha sull'output. Il metodo OAT di solito prevede:

• Spostare una variabile di input, lasciando le altre su un valore di riferimento (nominale)
• Quindi resettare la variabile di ingresso al suo valore nominale; quindi fallo per ciascuna delle altre voci allo stesso modo.

La sensibilità può quindi essere misurata monitorando i cambiamenti nell'output, ad esempio mediante derivate parziali o regressione lineare . Sembra logico che qualsiasi cambiamento osservato nell'output possa essere attribuito in modo inequivocabile alla singola variabile modificata. Inoltre, modificando una variabile alla volta, si possono mantenere tutte le altre variabili fisse ai loro valori centrali o di riferimento. Ciò aumenta la comparabilità dei risultati (tutti gli "effetti" sono calcolati con riferimento allo stesso punto "centrale" nello spazio di input). Il metodo OAT è spesso preferito dai modellisti per motivi pratici. Quando il modello non converge durante un'analisi OAT, il modellatore sa immediatamente quale parametro è responsabile del guasto.

Tuttavia, nonostante la sua semplicità, questo approccio non consente l'esplorazione completa dello spazio d'ingresso. Infatti, non tiene conto della variazione simultanea delle variabili di input. Ciò significa che il metodo OAT non è in grado di rilevare la presenza di interazioni tra le variabili di input. Inoltre, la scelta del valore nominale e del campionamento può essere problematica. Ad esempio, sul modello con il valore nominale , l'influenza di sarà invisibile da un metodo OAT. Y=peccato⁡(X1)cos⁡(X2){\ displaystyle Y = \ sin (X_ {1}) \ cos (X_ {2})}(0,0){\ displaystyle (0,0)}X2{\ displaystyle X_ {2}}

Metodi locali

I metodi locali prevedono di prendere la derivata parziale dell'output Y rispetto a un input X i :

|∂Y∂Xio|X0{\ Displaystyle \ left \ vert {\ frac {\ partial Y} {\ partial X_ {i}}} \ right \ vert _ {{\ bf {x}} ^ {0}}}

dove l'indice indica che la derivata è presa in un punto fisso nello spazio di input (da qui l'aggettivo "locale"). Questi metodi sono la modellazione aggiuntiva e la differenziazione automatizzata . Simile a OAT, i metodi locali non tentano di esplorare lo spazio di input. Guardano solo piccoli disturbi, di solito una variabile alla volta. X0{\ displaystyle {\ bf {x}} ^ {0}}

Nuvole di punti

Uno strumento semplice ma utile è quello di tracciare nuvole di punti della variabile di output rispetto alle variabili di input, dopo che il modello è stato valutato su un campione casuale (rispettando le distribuzioni degli input). Il vantaggio di questo approccio è che si applica anche ai dati. Fornisce anche un'indicazione visiva diretta della sensibilità.

Analisi di regressione

L' analisi di regressione , nel contesto dell'analisi di sensibilità, implica l'utilizzo dei coefficienti di regressione standardizzati come misure dirette di sensibilità. La regressione dovrebbe essere lineare rispetto ai dati. Altrimenti è difficile interpretare i coefficienti standardizzati. Questo metodo è quindi più appropriato quando il modello di risposta è di fatto lineare; la linearità può essere confermata, ad esempio, se il coefficiente di determinazione è grande. I vantaggi dell'analisi di regressione sono che è semplice e ha un basso costo computazionale.

Scomposizione della varianza

I metodi basati sulla scomposizione della varianza trattano gli input come variabili casuali e guardano solo la varianza dell'output. Questo è suddiviso in termini attribuibili a una voce o a un gruppo di voci. Gli indici di sensibilità calcolati sono gli indici di Sobol  : rappresentano la proporzione di varianza spiegata da una voce o da un gruppo di voci.

Per la voce , l'indice semplice di Sobol è dato da:Xio{\ displaystyle X_ {i}}

Sio=V(E[Y|Xio])V(Y){\ displaystyle S_ {i} = {\ frac {V (\ mathbb {E} [Y \ vert X_ {i}])} {V (Y)}}} dove e denotano la varianza e la media. V(⋅){\ displaystyle V (\ cdot)}E[⋅]{\ displaystyle \ mathbb {E} [\ cdot]}

Il semplice indice di Sobol non tiene conto dell'incertezza causata dalle interazioni di con le altre variabili. Per includere tutte le interazioni in cui è coinvolto utilizziamo l'indice di Sobol totale:Xio{\ displaystyle X_ {i}}Xio{\ displaystyle X_ {i}}

SioT=1-V(E[Y|X∼io])V(Y){\ displaystyle S_ {i} ^ {T} = 1 - {\ frac {V (\ mathbb {E} [Y \ vert X _ {\ sim i}])} {V (Y)}}} dove . X∼io=(X1,...,Xio-1,Xio+1,...,Xp){\ displaystyle X _ {\ sim i} = (X_ {1}, ..., X_ {i-1}, X_ {i + 1}, ..., X_ {p})}

I metodi basati sulla scomposizione della varianza consentono di esplorare completamente lo spazio di input e di prendere in considerazione le interazioni e le risposte non lineari. Per questi motivi sono ampiamente utilizzati. Il calcolo degli indici di Sobol richiede numerose valutazioni del modello (dell'ordine del mille). Esistono diversi stimatori. Generalmente utilizziamo meta-modelli (emulatori) per rendere possibile il calcolo.

Selezione

I metodi di "screening" si applicano ai modelli su larga scala per i quali si vuole distinguere rapidamente quali input sono significativi, senza cercare l'esaustività. Si tratta di osservare l'effetto dei disturbi elementari degli ingressi sulle uscite. Il metodo Morris è uno dei più conosciuti.

Test di sensibilità all'ampiezza di Fourier (FAST)

Il principio è quello di avvicinarsi a una funzione per armoniche utilizzando la trasformazione di Fourier. Gli indici di Sobol vengono poi espressi analiticamente in funzione dei coefficienti della serie di Fourier.

Polinomi del caos

Il principio è proiettare la funzione di interesse sulla base di polinomi ortogonali . Gli indici di Sobol vengono poi espressi analiticamente in funzione dei coefficienti di questa scomposizione.

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link esterno

• International Journal of Chemical Kinetics - Settembre 2008 - Numero speciale sull'analisi della sensibilità
• Affidabilità del sistema e ingegneria della sicurezza (volume 91, 2006) - numero speciale sull'analisi della sensibilità
• la pagina web sull'analisi di sensibilità - (Centro comune di ricerca della Commissione europea)
• SimLab , il software gratuito per l'analisi della sensibilità globale del Centro comune di ricerca
• Il componente aggiuntivo Excel Sensitivity Analysis è un software gratuito (per uso privato e commerciale) Excel Add-In che consente semplici analisi della sensibilità basate su campioni
• Progetto MUCM : molte risorse per l'analisi dell'incertezza e della sensibilità dei modelli computazionali che richiedono.
• GEM-SA - un programma per eseguire analisi di sensibilità con processi gaussiani.
• Analisi della sensibilità della libreria SALib in Python (Numpy). Contiene metodi Sobol, Morris, Fattoriale frazionario e FAST.
• OpenTURNS  : iniziativa open source per affrontare incertezze, rischi e statistiche. Codice multipiattaforma (C ++, Python) per creare meta-modelli.
• sensibilità  : pacchetto R contenente molti stimatori di indici di Sobol.

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