Modello Verhulst

Nella dinamica della popolazione , il modello di Verhulst è un modello di crescita proposto da Pierre François Verhulst intorno al 1840. Verhulst propose questo modello in risposta al modello di Malthus che proponeva un tasso di aumento costante senza freni che porta ad una crescita esponenziale della popolazione.

Il modello di Verhulst immagina che il tasso di natalità e il tasso di morte stiano rispettivamente diminuendo e aumentando le funzioni affini della dimensione della popolazione. In altre parole, più aumenta la dimensione della popolazione, più il suo tasso di natalità diminuisce e il suo tasso di morte aumenta. Verhulst, d'altra parte, ipotizza che quando le popolazioni sono piccole , tendono a crescere.

Lo stesso modello può essere utilizzato per le reazioni autocatalitiche , in cui l'aumento degli individui affetti è proporzionale sia al numero di individui già affetti sia al numero di individui che possono essere ancora affetti.

Questo modello porta, in tempo continuo, ad una funzione logistica e in tempo discreto ad una sequenza logistica la cui particolarità è di essere, in determinate circostanze, caotica .

Implementazione matematica

Se chiamiamo:

$y$ la dimensione della popolazione;
$m ( y )$ il tasso di mortalità;
$n ( y )$ il tasso di natalità,

la dimensione della popolazione segue l' equazione differenziale

{\ frac {{\ mathrm d} y} {{\ mathrm d} t}} = y \ sinistra (n (y) -m (y) \ destra)

Se $m$ e $n$ sono rispettivamente funzioni affini crescenti e decrescenti, $n - m$ è una funzione affine decrescente. Se invece, per $y$ tendente a 0, la crescita è positiva, l'equazione può essere scritta

{\ frac {{\ mathrm d} y} {{\ mathrm d} t}} = y (a-by)

con

un

b

due reali positivi

Quindi, ponendo $K = a / b$ , l'equazione diventa quindi:

{\ frac {{\ mathrm d} y} {{\ mathrm d} t}} = ay \ left (1 - {\ frac yK} \ right) \ quad {\ text {con}} \ quad a, K> 0.

L'osservazione immediata mostra che:

la funzione costante $y = K$ è la soluzione di questa equazione;
se $y < K$ allora la popolazione aumenta;
se $y > K$ allora la popolazione diminuisce.

Il parametro $K$ è chiamato capacità di carico .

Il modello autocatalitico porta alla stessa equazione (aumento proporzionale alla popolazione interessata e alla popolazione rimanente)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} = \ alpha y (Ky) = \ alpha Ky \ left (1 - {\ frac {y} {K}} \ giusto).}

Risoluzione temporale continua

La ricerca di funzioni strettamente positive definite e di verifica del sistema $[0; + \ infty [$

$y (0) = y_ {0} ~$
$y '= ay \ sinistra (1 - {\ frac yK} \ destra)$

porta alla soluzione logistica

y (t) = K {\ frac 1 {1+ \ left ({\ frac K {y_ {0}}} - 1 \ right) e ^ {{- at}}}}

dove si osserva che la popolazione tende verso la capacità di accoglienza K, che aumenta se la popolazione iniziale è inferiore alla popolazione di accoglienza e diminuisce altrimenti.

Risoluzione temporale discreta

A tempo discreto, il modello si trasforma in

u _ {{n + 1}} - u_ {n} = au_ {n} \ sinistra (1 - {\ frac {u_ {n}} {K}} \ destra)

Quindi, mettendosi in posa

$a + 1 = \ mu$
$v_ {n} = {\ frac {au_ {n}} {\ mu K}}$

la relazione di ricorrenza diventa

v _ {{n + 1}} = \ mu v_ {n} (1-v_ {n}) \,

È in questa forma che viene studiato come follow-up logistico . Questa sequenza, sebbene molto semplice nella sua espressione, può portare a risultati molto vari; il suo comportamento varia in base ai valori di μ:

per μ compreso tra 1 e 3, cioè tra 0 e 2, la sequenza converge verso e troviamo infatti una sequenza convergente verso K $a$ $(v_ {n})$ ${\ frac {\ mu -1} {\ mu}}$ $(un})$
per μ maggiore di 3, la sequenza può, a seconda dei valori di μ, oscillare tra 2, 4, 8, 16… valori oppure essere caotica . $(v_n)$

Nota e fonti

Nota

Cfr. In particolare Martial Schtickzelle , “ Pierre-François Verhulst (1804-1849). La prima scoperta della funzione logistica ", Population , National Institute of Demographic Studies, vol. 36, n o 3,Maggio-giugno 1981, p. 541-556 ( DOI 10.2307 / 1532620 , leggi in linea ).
Secondo fonti 1838 in [1] , 1844 in [2] , 1846 in (en) John J. O'Connor e Edmund F. Robertson , "Pierre François Verhulst" , in MacTutor History of Mathematics archive , università di St Andrews ( leggi online )..

Fonti

Pierre-François Verhulst , " Avviso sulla legge secondo cui la popolazione continua a crescere ", Corrispondenza mathématique et physique , n . 10,1838, p. 113-121 ( leggi in linea )
Pierre-François Verhulst , " Ricerca matematica sulla legge della crescita demografica ", Nuove memorie dell'Accademia reale delle scienze e Belles-Lettres de Bruxelles , n . 18,1845, p. 1-42 ( leggi in linea )
Pierre-François Verhulst , " Secondo memoriale sulla legge della crescita demografica ", Memorie dell'Accademia reale delle scienze, lettere e belle arti del Belgio , n . 20,1847, p. 1-32 ( leggi in linea )
Bernard Delmas, Pierre-François Verhulst e il diritto logistico della popolazione , in Matematica e scienze sociali (n ° 167, 2004)
Nicolas Bacaër , Storie di matematica e popolazioni , Éditions Cassini, coll. "Sale e ferro",2008, 212 p. ( ISBN 9782842251017 ) , "Verhulst e l'equazione logistica"

Vedi anche

Articolo correlato

Modello r / K scalabile

link esterno

Matematica nella dinamica della popolazione di Christelle Magal