Equalizzatore (matematica)

L' equalizzatore è una costruzione categorica associata a due morfismi paralleli, che in un certo senso generalizza la nozione di kernel in algebra . La costruzione duale, il coequalizzatore, può essere interpretata come una generalizzazione categorica della nozione di quoziente mediante una relazione di equivalenza . A volte troviamo la variante dell'equalizzatore .

Motivazione e definizione

Sia C una categoria e due oggetti X e Y di questa categoria. Lasciare f e g essere due parallele morfismi tra questi oggetti:

X⇉fgY{\ displaystyle X {\ underset {g} {\ overset {f} {\ rightrightarrows}}} \; Y}

Diciamo che una freccia equalizza la coppia quando i morfismi composti coincidono. e:E→X{\ displaystyle e: E \ to X} f∘e=g∘e{\ Displaystyle f \ circ e = g \ circ e}

Esistono, potenzialmente, più modi per legare una coppia. L'equalizzatore lo fa in modo universale , nel senso che ogni altra soluzione ne viene considerata univocamente.

Per una coppia di morfismi paralleli f , g , un equalizzatore è una freccia che equalizza la coppia e tale che, per ogni freccia che equalizza la coppia, esiste un'unica freccia tale che . In altre parole, abbiamo il seguente diagramma: eq:E→X{\ displaystyle \ mathrm {eq}: E \ to X}m:O→X{\ displaystyle m: O \ to X}u:O→E{\ displaystyle u: O \ to E}m=eq∘u{\ displaystyle m = \ mathrm {eq} \ circ u}

Un altro modo per dirlo è che l'equalizzatore è il limite del diagramma . X⇉fgY{\ displaystyle X {\ underset {g} {\ overset {f} {\ rightrightarrows}}} \; Y}

Si costruisce il co-equalizzatore invertendo la direzione delle frecce in figura, o come colimite di , o anche come un equalizzatore nel doppio categoria . X⇉fgY{\ displaystyle X {\ underset {g} {\ overset {f} {\ rightrightarrows}}} \; Y}VSop{\ displaystyle \ mathbf {C} ^ {\ mathrm {op}}}

Esempi

• Nella categoria Set di set, abbiamo e l'iniezione è un equalizzatore.E={X∈X|f(X)=g(X)}{\ displaystyle E = \ {x \ in X \, | \, f (x) = g (x) \}}eq:E↪X{\ displaystyle \ mathrm {eq}: E \ hookrightarrow X}
• Nella categoria R - Mod di moduli su un anello R , noi e l'inclusione è ancora un equalizzatore.E=Ker(f-g){\ displaystyle E = \ mathrm {ker} (fg)}
• In una classe avente un oggetto zero (vale a dire avente un oggetto sia iniziale e finale ), l'equalizzatore un morfismo e nullo morfismo definisce il nucleo nel senso di categorie  (a)  : .Ker(f)=eq(f,0X→Y){\ Displaystyle \ mathrm {ker} (f) = \ mathrm {eq} (f, 0_ {X \ to Y})}
• Al contrario, in una categoria preadditiva, qualsiasi equalizzatore è ottenuto come un certo kernel.

Proprietà

• Qualsiasi equalizzatore è un monomorfismo .
• Qualsiasi prodotto in fibra si scompone come la composizione di un prodotto seguita da un equalizzatore. Se una categoria ha prodotti e prodotti in fibra, allora ha equalizzatori.
• Se una categoria ammette tutti i prodotti finiti (risp. Co-prodotti) e tutti gli equalizzatori (risp. Co-equalizzatori), allora ammette tutti i limiti finiti (risp. Colimiti).

Riferimento

(it) Saunders Mac Lane , Categories for the Working Mathematician [ dettaglio dell'edizione ]