Equazione di Eulero-Lagrange

L' equazione di Eulero-Lagrange (in inglese, equazione di Eulero-Lagrange o ELE ) è un risultato matematico che gioca un ruolo fondamentale nel calcolo delle variazioni . Questa equazione si trova in molti problemi di minimizzazione della lunghezza dell'arco reale , come il problema del brachistocrone o anche i problemi geodetici . Prende il nome da Leonhard Euler e Joseph-Louis Lagrange .

Notazioni

$E$ denoterà uno spazio vettoriale normalizzato , $[ t 0 , t 1 ]$ un intervallo reale , e lo spazio affine delle funzioni $x$ $: [$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $] \to$ $E$ di classe C 1 tale che , dove $x$ $0$ $,$ $x$ $1$ sono due vettori set di $E$ . ${\ mathcal {G}}$ ${\ displaystyle x \ left (t_ {i} \ right) = x_ {i}}$

Il vettore derivato da una funzione in un punto $t$ $\in [$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $]$ è indicato . ${\ displaystyle x \ in {\ mathcal {G}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} (t)}$

Ci diamo anche una funzione di classe C 1 . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}: \ left [t_ {0}, t_ {1} \ right] \ times E ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$

I suoi tre variabili essendo noti (che possa creare confusione con la notazione precedente, ma è di uso comune), i suoi tre parziali applicazioni differenziali sono noti ${\ displaystyle t, x, {\ dot {x}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}}}$ (da dentro ) e ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times E ^ {2}}$ $\ mathbb {R}$
${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}}, {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} }$ (da in $E '$ , il duale di $E$ ). ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times E ^ {2}}$

Quando le componiamo dalla funzione per una data funzione , otteniamo tre funzioni definite su $[$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $]$ (sempre con valori rispettivamente in , $E '$ ed $E'$ ), che di solito denotiamo allo stesso modo ( anche se, ancora una volta, questo è fonte di confusione), che in particolare dà significato alle due funzioni ${\ displaystyle \ left [t_ {0}, t_ {1} \ right] \ to \ mathbb {R} \ times E ^ {2}, \; t \ mapsto \ left (t, x (t), {\ punto {x}} (t) \ right)}$ ${\ displaystyle x \ in {\ mathcal {G}}}$ $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}} {\ text {et}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}}: \ left [t_ {0}, t_ {1} \ right] \ to E '}

stati

Sia $J$ il funzionale definito da: ${\ mathcal {G}}$

{\ displaystyle J (x) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ mathcal {L}} \ left (t, x (t), {\ dot {x}} (t ) \ right) \, \ mathrm {d} t}

Per qualsiasi funzione stazionaria per $J$ , è derivabile e ${\ displaystyle x \ in {\ mathcal {G}}}$ ${\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac { \ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} \ right) = 0}

. Dimostrazione parziale

La dimostrazione che segue è annunciata come “parziale” perché suppone che e siano di classe C 1 (nel qual caso la differenziabilità di è assicurata sin dall'inizio). Per una dimostrazione assumendo solo che e siano di classe C 1 , vedere l' applicazione del lemma di Du Bois-Reymond al calcolo delle variazioni . $\ punto x$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}}}$ ${\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} \ left (t, x (t), {\ dot {x}} ( t) \ right)}$ $X$ ${\ mathcal {L}}$

L'espressione “stazionario”, nell'enunciato, significa: soddisfare la condizione di Eulero , condizione necessaria affinché la funzione renda l'estremo funzionale (limitato in questa dimostrazione alle funzioni di classe C 2 ). $X$ $J$ ${\ mathcal {G}}$

Questa condizione Eulerian è scritto :, per qualsiasi funzione $h$ $: [$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $] \to$ $E$ (di classe C 2 ) zero $t$ $0$ e $t$ $1$ . Oro ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = 0}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left (\ left \ langle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}}, h \ right \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}}, {\ dot {h}} \ right \ rangle \ right) \, \ mathrm {d} t}

(dov'è la parentesi dualità )

{\ displaystyle \ langle ~, ~ \ rangle: E '\ times E \ to \ mathbb {R}}

e il secondo termine dell'integrale è espresso, grazie ad un'integrazione per parti (consentita dagli ulteriori presupposti di regolarità), nella forma

{\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}}, {\ dot {h}} \ right \ rangle \, \ mathrm {d} t = \ left [\ left \ langle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x} }}}, h \ right \ rangle \ right] _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ sinistra ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} \ right), h \ right \ rangle \, \ mathrm {d} t}

Essendo il gancio zero poiché $h ( t 0 ) = h ( t 1 ) = 0$ , la condizione di Eulero è quindi scritta:

{\ displaystyle 0 = {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = \ int _ {t_ {0} } ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} \ right), h \ right \ rangle \, \ mathrm {d} t}

Applicando il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni , si deduce:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac { \ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} \ right) = 0}

Esempio

Un esempio è un'applicazione del principio di Fermat . L'obiettivo è quello di determinare un piano di cammino ottico , le cui coordinate sono notati orizzontalmente $t$ e verticalmente x , per conformarsi con le notazioni della dichiarazione di cui sopra. Il raggio luminoso attraversa il vuoto, ad eccezione della zona corrispondente ai valori di $t$ compresi tra –1 e 1. Su questa banda si assume che l'indice $n t$ non sia più uguale a 1 ma a 1 / | t |. Tra le due bande, il percorso ottico ha la lunghezza :

{\ displaystyle \ mathrm {L} = \ int _ {- 1} ^ {1} f \ sinistra (t, x (t), {\ dot {x}} (t) \ destra) \, \ mathrm {d } t \ quad {\ text {con}} \ quad f (t, x, y) = n_ {t} {\ sqrt {1 + y ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {1 + y ^ {2}}} {| t |}}}

Poiché qui l'equazione di Eulero-Lagrange afferma che la derivata parziale di $f$ rispetto alla sua terza variabile è una costante, qui annotata $C$ , se applicata alle variabili $t$ , $x$ e alla sua derivata. Otteniamo : ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} = 0}$

{\ displaystyle C = {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ dot {x}}}} = {\ frac {\ dot {x}} {| t | {\ sqrt {1 + {\ dot { x}} ^ {2}}}}} \ quad {\ text {quindi}} \ quad {\ dot {x}} ^ {2} = C ^ {2} t ^ {2} (1 + {\ dot {x}} ^ {2})}

Questo risultato viene riscritto impostando $u = C | t |$ :

\ dot x = \ frac {u} {\ sqrt {1 - u ^ 2}}

Riconosciamo l'equazione di una porzione di una cicloide .

Identità Beltrami

Un caso speciale frequente è quello in cui la funzione è indipendente da $t$ . Un corollario dell'equazione di Eulero-Lagrange è quindi l'identità di Beltrami : ${\ mathcal {L}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} {\ dot {x}} = C}

La lettera $C$ designa una costante reale, che è anche la trasformata di Legendre della funzione $f$ rispetto alla variabile . ${\ textstyle \ dot {x}}$

Dimostrazione

Assumendo due volte differenziabili, deriviamo il lato sinistro dell'identità di Beltrami: $X$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ mathcal {L}} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} {\ dot {x}} \ right) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} {\ ddot {x}} - \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} \ right) {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} {\ ddot {x}} \ right) = \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ x parziale}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x} }}} \ right) \ right) {\ dot {x}} = 0}

Un famoso esempio storico è la curva brachistocrona . La domanda posta equivale a trovare la curva che collega un punto A ad un punto B, situato ad una quota inferiore, come un punto materiale che parte dal punto A senza velocità iniziale e scivolando senza attrito sulla curva congiunge il più rapidamente possibile il punto B .

Quando è una funzione omogenea della variabile , implica il teorema di Eulero applicato all'identità di Beltrami . ${\ mathcal {L}}$ $\ punto x$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = C}$

link esterno

(en) Eric W. Weisstein , " Euler-Lagrange Differential Equation " , su MathWorld