Sistema di coordinate

In matematica , un sistema di coordinate rende possibile abbinare ogni punto di uno spazio N- dimensionale con una (e solo una) N-tupla di scalari . In molti casi, gli scalari considerati sono numeri reali , ma è possibile utilizzare numeri complessi o elementi di qualsiasi campo commutativo . Più in generale, le coordinate possono provenire da un anello o da un'altra struttura algebrica correlata.

Si considera che lo spazio esista di per sé indipendentemente dalla scelta di un particolare sistema di coordinate.

Esempi

Il caso più comune è la nozione di coordinate in geometria , vedere l'articolo Localizzazione nel piano e nello spazio  : scegliamo un punto di riferimento chiamato "origine", e tre "assi" (i "righelli graduati") di direzioni distinte che sono non nello stesso piano (nell'aereo, due direzioni sono sufficienti). Le coordinate di questo punto sono chiamati “ascissa”, “ordinata” e “dimensione”, e sono indicati rispettivamente x , y e z . Vedi anche l'articolo Geometria analitica .

In geografia , longitudine e latitudine sono associate a posizioni geografiche; è un sistema di coordinate. In questo caso, la parametrizzazione non è unica per i poli Nord e Sud.

Un sistema di coordinate per esempio per descrivere un punto P nello spazio euclideo da un n -tuple: Rnon{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

 P=(r1,...,rnon){\ displaystyle \ P = (r_ {1}, ..., r_ {n})}

 r1,...,rnon{\ displaystyle \ r_ {1}, ..., r_ {n}}sono numeri reali chiamati coordinate del punto P .

Se un sottoinsieme S di uno spazio euclideo viene applicato in modo continua ad altro spazio topologico , definisce le coordinate dell'immagine di S . Possiamo parlare di parametrizzazione dell'immagine, poiché questo processo assegna dei numeri ai punti. La corrispondenza è univoca solo se l'applicazione è biiettiva .

Trasformazioni

Una trasformazione di coordinate è una conversione da un sistema a un altro per descrivere lo stesso spazio.

Alcune scelte di sistema di coordinate possono portare a paradossi , ad esempio in prossimità di un buco nero , che possono essere risolti modificando il sistema. Tuttavia, questo non è possibile in una vera singolarità matematica .

Sistemi comuni

Alcuni sistemi di coordinate comunemente usati:

• il sistema di coordinate cartesiane utilizzato in uno spazio vettoriale o uno spazio affine di dimensione finita.
• per qualsiasi spazio vettoriale a dimensione finita e qualsiasi base , i coefficienti dei vettori espressi in questa base possono essere usati come coordinate. La modifica della base è una trasformazione di coordinate, una trasformazione lineare che può essere definita da una matrice .
• il sistema di coordinate curvilinee è una generalizzazione, basata su intersezioni di curve.
• sistemi di coordinate polari  :
  • il sistema di coordinate cilindriche rappresenta un punto nello spazio da un angolo , una distanza dall'origine e un'altezza.
  • il sistema di coordinate sferiche rappresenta un punto nello spazio di due angoli e una distanza dall'origine. Il sistema di coordinate geografiche è derivato da esso.
• i sistemi di coordinate generalizzate sono usati nella meccanica lagrangiana .

Sistemi utilizzati in astronomia

L' astronomia utilizza diversi sistemi di coordinate per annotare la direzione di un oggetto celeste:

• sistemi di coordinate celesti  :
  • sistema di coordinate orizzontali , coordinate locali collegate a un dato punto sulla Terra  ;
  • sistema di coordinate orarie , definito dal piano equatoriale terrestre e dalla direzione del Nord geografico locale;
  • sistema di coordinate equatoriali , definito dal piano equatoriale terrestre, e dal punto γ (direzione corrispondente al passaggio della declinazione del Sole da un valore negativo a un valore positivo);
  • sistema di coordinate eclittiche , definito dal piano di rivoluzione della Terra attorno al Sole; questo sistema può essere geocentrico o eliocentrico (quest'ultima scelta permette di determinare coordinate non soggette a precessione );
  • sistema di coordinate galattiche , definito da un piano fondamentale, scelto una volta per tutte, e situato in prossimità del piano di simmetria della nostra Galassia (contenuto nel disco, dove si trova il Sole); queste coordinate non sono soggette a precessione secolare, a causa dello spostamento del sistema solare (circa 250  km / s ) all'interno della nostra Galassia;
• sistemi di coordinate extragalattiche:
  • sistema di coordinate supergalattico , basato sul piano del superammasso locale di galassie

Altro

Nella relatività generale , alcuni sistemi di coordinate vengono scelti in modo da semplificare i calcoli.

• Un sistema di coordinate armoniche rappresenta un sistema di coordinate che, visti come campi vettoriali, sono di zero laplaciano .
• Più in generale, il sistema di coordinate è essenzialmente arbitrario nella relatività generale, la struttura delle equazioni non dipende dalla scelta delle coordinate. Tuttavia, quando arriva la fase di risoluzione delle equazioni del campo gravitazionale, alcuni sistemi di coordinate si dimostrano più convenienti di altri, o consentono una semplice interpretazione fisica dei risultati ottenuti. Le classi di sistemi di coordinate che hanno questa o quella proprietà sono chiamate misuratore. Nel campo della teoria dei disturbi cosmologici , la scelta di un tale indicatore può presentare dei vantaggi.

Articoli Correlati

• Sistema di coordinate (mappatura)

Vedi anche